查补易混易错点02 不等式-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关(33100842)

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查补易混易错点02 不等式高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握不等式的相关性质，理解比较两数(式)大小的理论依据，特别要重视不等式性质的灵活运用.高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题.高考对线性规划的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用线性规划求最值和求取值范围的问题.高考五星高频考点，2019年~2021年高考全国卷基本在第5题进行考查.易错点1　不能正确应用不等式性质【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．易错点2　忽视基本不等式应用的条件【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．易错点3　解不等式时转化不等价【突破点】　 如求函数f(x)·≥0可转化为f(x)·>0或f(x)·＝0，否则易出错．易错点4　解含参数的不等式时分类讨论不当【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易错点5　不等式恒成立问题处理不当【突破点】　 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．易错题6 利用同向相加求范围出错【突破点】  利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.易错题7  解分数不等式忽略分母不为零【突破点】  解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如. 易错题8  连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立【突破点】 连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.易错题9  混淆单变量与双变量【突破点】(1) 恒成立的最小值大于零；(2)恒成立；(3) 使得成立的最大值大于零；(4) 使得恒成立； 【真题演练】1．（2021·山东·高考真题）不等式组表示的区域（阴影部分）是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.【详解】将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）若，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.【详解】A.根据不等式的性质可知，A正确；B.若，，，可知B不正确；C.若，，，故C不正确；D. 若，，，故D不正确.故选：A3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B4．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.5．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．6．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（       ）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.【模拟题演练】7．（2022·黑龙江·哈九中二模（理））若满足约束条件，则的最小值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，求出B点的坐标，将转化为，结合图像求出的最小值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域如阴影部分，可以看出当经过点B时，目标函数取得最小值，则B（0，1），此时.故选：A.8．（2022·陕西商洛·一模（理））已知实数满足约束条件则的最大值为（       ）A．-1 B． C．3 D．2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，数形结合根据目标函数的几何意义，即可求解.【详解】不等式组对应的可行域如下所示：数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，取得最大值，此时，故选：D.9．（2022·甘肃平凉·二模（理））设满足约束条件，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，将所求问题转化为在轴截距最大问题的求解，结合，利用数形结合的方式可得结果.【详解】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由得：，则当取最大值时，在轴截距最大；又，当过与的交点时，取得最大值，由得：，即，.故选：A.10．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）下列函数中最小值为8的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式或反例可得正确的选项.【详解】对于A，取，则，最小值不为8；对于B，因为，但无解，从而此函数的最小值不为8，对于C，取，则，此函数的最小值不为8，对于D，，当且仅当时等号成立，故此函数的最小值为8，故选：D.11．（2022·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.【详解】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.12．（2022·陕西咸阳·二模（理））若满足约束条件，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取得最大值，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，由得：，则当取最小值时，在轴截距取得最大值，由图象可知：当直线过时，轴截距最大，由得：，即，.故选：C.13．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（       ）A．40 B． C．42 D．【答案】D【解析】【分析】将表示成的函数，利用均值不等式求出的范围即可求解作答.【详解】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D14．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】，分，和三种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：，①当，即时，，则的最大值为1，符合题意；②当，即时，则，所以，所以，当且仅当时取等号，此时有最小值，无最大值，与题意矛盾；③当，即时，则，当，即时，，所以，不妨设，则，即，故，此时无最大值，与题意矛盾；当，即时，，所以，当且仅当时取等号，此时有最大值，符合题意；当，即时，恒不成立，不符题意，综上所述，若存在最大值，.故选：C.15．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（       ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】因为，所以，，利用基本不等式可得，当且仅当即时等号成立.故选：D.16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】【分析】根据变形得，进而转化为，用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.17．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解公比，再由求出，利用均值不等式求最值即可.【详解】设等比数列的公比为q，前三项的和为7，则，即，解得或（舍去），又由，得，即，得，所以，当且仅当时，等号成立，且m，，故选：B18．（2022·福建·三模）若，则“”的一个必要不充分条件是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据命题的定义，逐个选项进行赋值验证即可【详解】因为，对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；故选：B19．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，当时，，此时；，故；，；当时，，此时，，故；，；故ABC均错误；D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确故选：D20．（2022·河南·模拟预测（理））设则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先根据对数函数单调性得到所在区间范围，从而得到，再用作差法比较的大小，进而比较出三者的大小关系.【详解】又，即，则，，又，由于，所以，故，即，综上：故选：A21．（2022·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于，所以，A选项正确.，BD选项错误.，C选项错误.故选：A22．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知，，且，则下列不等式恒成立的个数是（       ）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】构造函数，由导数可确定，再根据，为增函数判断①②，做差判断③，特殊值判断④.【详解】易知.设，则.设，则.所以在上单调递减.所以，即.所以在上单调递减.因为，，且，所以.因为为增函数，所以，①恒成立.设，则该函数为R上的增函数.因为，所以，即，②恒成立..因为，所以，但ab小于1时，③不恒成立.因为当，时，，所以④不恒成立.故选：B23．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知得，对于A、B、C选项取特例可判断；对于D选项，分，，，讨论判断可得选项.【详解】解：因为，所以.取，，得，故A选项不正确；取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得，故C选项不正确；当时，则，所以，所以，当时，则，，所以，当时，，所以，综上得D选项正确，故选：D.24．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，将与和进行比较，将与进行比较，将与和进行比较确定a、b、c三个数的大小，从而完成求解.【详解】，所以，，所以，，所以，所以.故选：B.25．（2022·安徽六安·一模（理））已知，，则下列结论正确的有（       ）①             ②             ③             ④A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】【分析】求出、的值，比较、的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为，，则，.对于①，，则，从而，，则，则，即，①对；对于②，，因为，则，，所以，，②错；对于③，，所以，，所以，，③错；对于④，构造函数，其中，则.当时，，则函数在上单调递增，因为，则，即，可得，所以，，④对.故选：B.26．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、计算的符号，作商比较的大小即可得解.【详解】因为，所以，又因为，所以，又因，所以且，所以，所以，故选：D27．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.