精练08 导数在研究函数中的应用-备战2022年新高考数学选填题分层精练

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精练08 导数在研究函数中的应用基础练1.函数的图象大致是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性确定正确答案.【详解】的定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，所以A选项错误.，当时，，；当时，，，递增.所以在上递增，BD选项错误.故选：C2.已知函数，.若存在实数使不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先作差分离参数，构造函数，将问题转化为的图象在直线上方的图象对应的，再利用导数研究三次函数的单调性和极值进行求解.【详解】由得，即，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，的极小值为，由解集为，得：的图象在直线上方的图象对应的，则实数的取值范围为.故选：A.3.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．【详解】由已知，，则．设，则．因为，则．又，则，即，从而．当时，，则在内单调递增，所以，即，故选：B．4.已知函数，，直线与函数，的图象分别交于，两点，记，函数的极大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，利用导数研究其单调性，进一步求得极值得答案．【详解】，，由，得，，，解得，或．由，得，，，解得．所以h（t）在时单调递增，在时单调递减，在时单调递增，∴当时，函数有极大值．故选：D.5.已知函数若函数有三个零点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.【详解】由题意，与图象有三个交点，当时，，则，∴在上，递增，在上，递减，∴时，有最大值，且在上，在上.当时，单调递增，∴图象如下∴由图知：要使函数有三个零点，则.故选：C.6．（多选题）已知函数R则下列判断正确的是（    ）A．函数的图象关于y轴对称B．函数在上单调递增C．函数的最小值为2，无最大值D．不等式的解集为【答案】ACD【分析】根据给定函数逐一分析各选项中的条件即可判断作答.【详解】函数，则函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，A正确；当时，，则，函数在上单调递增，而为偶函数，则函数在上单调递减，B错误；因函数在上单调递增，在上单调递减，，函数的最小值为2，无最大值，C正确；不等式，于是得，即，解得，D正确.故选：ACD7．（多选题）对于函数，，下列说法正确的是（    ）A．存在c，d使得函数的图像关于原点对称B．是单调函数的充要条件是C．若，为函数的两个极值点，则D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条【答案】BC【分析】对A，可证函数不为奇函数；对B，求得，要使是单调函数，则，可求的范围；要使函数有两极值点，则，结合指数性质和韦达定理可求范围；对D，可判断为函数的两个极值点，画出大致图象，可判断有三条切线.【详解】若存在c，d使得函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，，则，对于任意的，并不满足，故函数不为奇函数，A错；由得，要使是单调函数，必满足，解得，故B正确；若函数有两极值点，必满足，即，此时，，，因为，所以，故，C正确；若，则，，画出函数大致图象，如图：
 三条虚线代表三条相切的切线，故D错误.故选：BC8．（多选题）关于函数，下列说法不正确的是（    ）A．当或时，；当时，B．函数在定义域上单调递增C．若方程恰有两个不同的实数解，则D．若恒成立，则【答案】BCD【分析】解不等式得A正确；在，上单调递增.故的单调递增区间为.所以B不正确；转化为，设切点为，得，可知不是方程的解，C不正确；当，且时，不成立，D不正确.【详解】.对于A，解不等式得或，解不等式得，所以A正确；对于B，设，则，当时，在，上单调递增，，则，即在上单调递增.当时，在上单调递减，，则，即在，上单调递增.故的单调递增区间为.所以B不正确；对于C，可将问题转化为方程有两个不同的解的问题，即，根据数形结合，可知切点在第一象限，设切点为，解方程组消去，可得，可知不是方程的解.对于，当，且时，不成立，D不正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是选项C的判断，实际上是零点问题，关键是利用切点求解.9．若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________.【答案】        【分析】对求导可得，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值.【详解】设，，则，则，，由于恒成立故有如下性质：.则，∴的最大值为，故答案为：，.10．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线与在处的曲率分别为，______；设正弦曲线曲率为，则的最大值为_______．【答案】    1    【分析】根据曲率的定义求得，从而求得.求得的表达式，结合导数求得的最大值.【详解】，，，，所以.，.令，，所以在上递增，当即时，有最大值.故答案为：； 提升练1.已知函数，.若，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据函数的的单调性得到两个函数的值域，并通过求导求得的取值范围，再根据值域的交集非空进行求解.【详解】当时，，，当，时，，当，时，.令，则，，当时，，；当时，，；综上所述，；由题意，得两个函数的值域的交集非空，所以，解得.故选：B.2.已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件构造函数和函数，再求导，借助导数即可推理判断作答.【详解】令，则，即在上单调递增，，因此，，即，于是得以，设，则，令，则，从而有在上单调递减，即，则在上单调递减，于是得，即有，取，则，即，综上，.故选：C【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，借助导数分析、运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.3.若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性，即可判断；【详解】解：令，，则对任意的恒成立，所以在上单调递增，从而.①若，则当时，恒成立，符合题意.②若，，易知在上单调递增，因为，所以，所以，即，所以.因为，，所以，，所以.因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线，且，所以存在唯一的，使得，当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去.综上，实数a的取值范围为.故选：B4.已知函数若函数在上有6个零点，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出函数的图象，问题转化为方程在区间上有2个不同的根.【详解】当时，，故当时，；当时，，且；当时，，故当时，，当时，，且.作出函数的大致图象如图所示，若在上有6个零点，则方程有2个不同的根，且与的图象有3个不同的交点，则这2个根都在区间上，故解得，故选:B.5.已知函数，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将不等式变为，将问题转化为图象在下方的部分恰有两个横坐标为整数的点，利用导数可求得的图象，由此可确定，进而得到参数范围.【详解】由题意知：定义域为，则由得：；设，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；又，可得图象如下图所示：如图所示：，，，，将解集中恰有两个整数转化为图象在下方的部分恰有两个横坐标为整数的点，恒过点，当时，图象在下方的部分恰有两个横坐标为整数的点，又，，，即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数不等式整数解的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为直线与曲线位置关系的判断问题，结合导数确定曲线的图象后，采用数形结合的方式，根据整数解的个数确定临界点，进而确定参数范围.6．（多选题）函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】判断函数在上的单调性，再根据函数的值域即可求出的范围，即可判断A；根据函数在上的单调性即可判断B；利用导数判断函数在上的单调性，令，求出函数在上的单调性，即可判断与的大小，从而可判断C；令，求出函数在上的单调性，再根据函数在上的单调性即可判断D.【详解】解：当时，，则，所以函数在上递增，，当时，在上递减，则，解得，故A正确；则，所以，故B错误；则，故，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，即，所以，故C正确；令，则，当时，，所以函数在上递增，所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.7．（多选题）函数，则下列判断正确的是（    ）A．是的极小值点B．函数有且只有一个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，且，若，则【答案】ABD【分析】对于A，分析导函数即可判断；对于B，考查函数的单调性可作判断；对于C，分离参数，再分析函数最值情况而作出判断；对于D，构造函数讨论其单调性，确定即可判断作答.【详解】对于A选项：定义域为，，时,时，是的极小值点，A正确；对于B选项：令，在上递减，，有唯一零点，B正确；对于C选项：令，令，时,时,，在上递减，在上递增，则，，在上递减，图象恒在x轴上方，与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增，任意正实数，，且，，则，当时，令，，即在上递减，于是有，从而有，又 ，所以，即成立，D正确.故选：ABD.8．（多选题）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.下列说法正确的是（    ）A．定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点B．定义在上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点D．满足函数在区间上存在不动点的正整数不存在【答案】BC【分析】举反例偶函数，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断A选项；对于B选项结合奇函数定义及性质即可判断；C选项首先利用“不动点”定义得到及利用“次不动点”的定义得，再分离变量，利用函数单调性即可求得a的取值范围；D选项利用“不动点”得到，分离变量后得到，将问题转化为函数零点问题即可求解.【详解】对A选项，取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故A错误，对B选项，定义在上的奇函数满足，故B正确；对C选项，当时，，即.令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解，则.当时，，即.令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解，则.综上号.故C正确；对D选项，因为函数在区间上存在不动点，则在上有解，则在上有解，令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，，所以实数满足（为自然对数的底数），存在正整数满足条件，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解9．已知函数，，则关于x的方程的实数根之和为______；定义区间，，，长度均为，则解集全部区间长度之和为______．【答案】8    3    【分析】根据题意得以函数关于点对称，进而利用导数研究函数性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x的方程的实数根之和；令整理得方程的实数根满足，再数形结合得解集为，最后根据定义求解区间长度的和即可.【详解】解：因为，所以函数关于点对称，由于，所以函数在上单调递减， 由于时，，，，，，，，，，且时，.故作出函数简图如图：根据图像可知，函数与函数的图像共有4个交点，且关于点对称，所以的实数根之和为；令，整理得，由图像知方程有三个实数解，不妨设为，所以由三次方程的韦达定理得，由函数图像得解集为 所以全部区间长度之和为.故答案为：；.10．已知函数（a>0且a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________，若关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________.【答案】        【分析】(1)分段函数在R上单调递增，则在x＝0左右两侧均递增，且在分界线x＝0处，左边函数值小于或等于右边函数值；(2)将方程的根的个数转化为两个函数图像的交点个数进行求解．【详解】①当时，，因为该函数在上单调递增，所以，若要在上单调递增，还需满足，即，所以②作出图像：当时，易知直线与曲线一定只有一个公共点，故只需直线与曲线只有一个公共点即可；由，得，令，得，代入，得，由，得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点；当，即时，直线与曲线有且只有一个公共点．又1，所以综上可知，的取值范围是故答案为：﹒