精练05 概率与统计-备战2022年新高考数学选填题分层精练

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精练0 5 概率与统计
基础练
1．下图是国家统计局2021年11月发布的全国居民消费价格的涨跌幅情况，现有如下说法：

①2021年10月份，全国居民消费价格的同比和环比均呈现增涨趋势；
②2020年10月至2021年10月，全国居民消费价格同比增涨的月份个数是下跌的5倍；
③从2020年10月至2021年10月中任取1个月，全国居民消费价格的同比呈现增涨的概率为．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折线图和古典概型的概率判断每一个选项即得解.
【详解】
解：2021年10月份，全国居民消费价格的同比和环比的涨幅均为正数，故①正确；
2020年10月至2021年10月，全国居民消费价格同比增涨的月份有10个，下跌的月份有3个，故②错误；
2020年10月至2021年10月，全国居民消费价格同比增涨的月份有10个，下跌的月份有3个，所以全国居民消费价格的同比呈现增涨的概率为．故③正确.
故选：C．
2．为了解户籍和性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（ ）


A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别无关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用柱形图即可直接求解．
【详解】
对A，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例80%，
∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；
对B，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，
∴是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；
对C，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为60×60%＝36人，
女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为40×60%＝24人，
∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；
对D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50×（1﹣80%）＝10人，
城镇户籍人数为50×（1﹣40%）＝30人，
∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．
故选：C．
3．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.
【详解】
设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.
4．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧増智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
甲以获胜为事件，甲以胜为事件，则，互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率．
【详解】
解：甲以获胜为事件，甲以胜为事件，则，互斥，
且，，
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为：.
故选：C．
5．某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例.对随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（ ）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）
A．10.2% B．12.2% C．24.4% D．30.6%
【答案】B
【解析】
【分析】
利用概率估计整体，可得回答第一个问题与第二个问题各1000人，再根据偶数天估计第一个问题回答“是”的人数，进而可估计第二个问题回答“是”的人数，可得解.
【详解】
由题意可知，每个学生摸出1个白球或红球的可能性都是，
即大约有1000人回答了第一个问题，另1000人回答了第二个问题，
在摸出白球的情况下，回答“是”的概率为，
所以在回答第一个问题的1000人中，大约有490人回答了“是”，
所以可以推测在回答第二个问题的1000人中，大约有人回答了“是”，
即估计抄袭过作业的学生所占百分比为，
故选：B.
6．下列说法正确的是（ ）
A．设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n，若，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．设随机变量x服从正态分布且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】
解：由题意知，
对于A：，，故A正确；
对于B：设随机变量服从二项分布，则，B错误；
对于C，因为且，
，故C正确；
对于D，随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是．
，所以
，
，D错误；
故选：AC．
7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，下列结论正确的是（ ）（参考数据：若，则，
A．
B．的取值在内的概率与在内的概率相等
C．
D．记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题干可知，平均数为，标准差为，结合正态分布曲线计算可直接判断ABC正误；正难则反，算出一只口罩过滤率小于的概率，求出50只口罩全小于的概率，用1减去即可求解.
【详解】
由题可知，，，故，，故A正确；
区间和长度都为一个，但两区间并非关于对称，故的取值在内的概率与在内的概率不相等，B错；
，故，C正确；
一只口罩过滤率小于的概率为，50只口罩全小于的概率为，故，D正确.
故选：ACD
8．为了调查某地大学应届毕业生的工资情况，并绘制相应的频率分布直方图，研究人员得到数据后将他们的工资分为5组，分别为[1000，2000），[2000，3000），[3000，4000），[4000，5000），[5000，6000]，其对应的频率为（）．已知绘制的频率分布直方图关于直线对称，则不能确定该频率分布的数据是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
由频率分布直方图的对称性，A项代值可直接判断能确定；B项结合对称性代换可得，则B项不能确定；C项由对称性可知，只能确定的值；由对称性和等号性质可知D项等号全部能取到，从而确定至为确切值.
【详解】
对于A，，，，故A能确定频率分布；
对于B，因为，所以，又，所以，故B不能确定频率分布；
对于C，，只能确定的值，不能确定，，，的值，故C不能确定频率分布；
对于D，，又，，故，而，解得，，，故D能确定频率分布．
故选：BC．
9．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，两组工人完成生产任务的工作时间（单位：min）如下：
第一种生产方式所需时间：68，72，76，77，79，82，83，83，84，85，86，87，87，88，89，90，90，91，91，92；第二种生产方式所需时间：65，65，66，68，69，70，71，72，72，73，74，75，76，76，78，81，84，84，85，90．
估计40名工人完成生产任务所需时间数据的第20百分位数为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】
根据题意，将这40个数据从小到大排列，如下所述，
65，65，66，68，68，69，70，71，72，72，72，73，74，75，76，76，76，77，78，79，
81，82，83，83，84，84，84，85，85，86，87，87，88，89，90，90，90，91，91，92，
由，可知第20百分位数为第8项数据与第9项数据的平均数.
故答案为：.
10．某校高二级学生会主席团共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名女生的概率为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意，可知5名成员中有4女1男或3女2男，分类讨论4女1男和3女2男两种情况，利用列举法列出所有基本事件，再根据古典概型的概率求法，即可求出结果.
【详解】
解：由题可知，5名成员中有4女1男或3女2男，
若5名成员中有4女1男，设3名女生分别为，2名男生分别为，
则随机抽取2名成员的所有情况为：
，共10种情况，
所以抽到一男一女的情况为：，共4种情况，
此时抽到一男一女的概率为：，不符合题意；
若5名成员中有3女2男，设3名女生分别为，2名男生分别为，
则随机抽取2名成员的所有情况为：
，共10种情况，
所以抽到一男一女的情况为：，共6种情况，
此时抽到一男一女的概率为：，符合题意，
则抽到2名女生的情况为：，共3种情况，
所以抽到2名女生的概率为：.
故答案为：.
提升练
1．如图是国家统计周公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据图中信息选出错误的选项（ ）

A．2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月
B．2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率(注.增长率指相对前一个月而言)
C．2020年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系
D．2020年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上
【答案】D
【解析】
【分析】
根据统计图表中的数据计算可得答案.
【详解】
对于A，由图可看出，同城和异地快递量最高都在11月份，故A正确；
对于B，因为，9月异地快递增长率明显高于10月异地快递增长率，故B正确；
对于C，由图可看出，除2020年12月异地快递量较11月略少，其余都有较明显增加，因此可以判断异地快递量与月份呈正相关关系，故C正确；
对于D，2020年7月的异地快递量为572812.9万件，同城快递量为105191.1万件，异地快递量不到同城快递量的6倍，故D不正确.
故选：D.
2．同学们都知道，在需要评委打分的比赛中，为防止极端值对平均分的影响，计算最终平均分的时候，需要去掉最高分和最低分．如果在某次比赛中，位评委所打分数去掉一个最高分算得平均分记为，去掉一个最低分算得平均分记为，同时去掉一个最高分和一个最低分算得平均分记为，那么，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数的定义直接判断.
【详解】
解：假设最高分为，最低分为，去掉最高分和最低分的平均分为，其余分数的和为，
由题意可知，
评委所打分数去掉一个最高分算得平均分，
去掉一个最低分算得平均分为，
所以，，的大小关系为：，
故选：D.
3．从某市市郊乘车前往该市的高铁站有1号线和2号线可走，1号线穿过市区、路程短但交通拥挤，所需时间X（单位：分钟）服从正态分布；2号线走绕城公路、路程长但阻塞较少，所需时间Y（单位：分钟）服从正态分布N（60，16）．若住该市市郊同一小区的明明和亮亮两人分别有69分钟和64分钟可用，要使两人按时到达高铁站的可能性更大，则明明、亮亮两人应选择的路线分别是（ ）
A．1号线、2号线 B．2号线、1号线
C．1号线、1号线 D．2号线、2号线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正态分布的应用求出两人分别走1号线和2号线到达高铁站的概率，然后分别比较大小即可.
【详解】
对于明明，有69分钟可走，
若走1号线，则到达高铁站的概率为：
若走2号线，则到达高铁站的概率为
因为，所以明明应选择2号线；
对于亮亮，有64分钟可走，
若走1号线，则到达高铁站的概率为
若走2号线，则到达高铁站的概率为
因为，所以亮亮应选择1号线，
故选：B．
4．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是.则，，的值分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可
【详解】
如图所示，连接长方体的四个顶点A，B，C，D，可得鳖臑ABCD.

（1）从鳖臑ABCD的六条棱中任取两条，有种取法，
其中互相垂直的取法有5种：
，，，，，
所以.
（2）从鳖臑ABCD的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），有种取法，
它们互相垂直的取法有2种：平面BCD，平面ABC，
所以.
（3）从鳖臑ABCD的四个面中任取两个面，有种取法，
它们互相垂直的取法有3种：
平面平面BCD，平面平面ACD，平面平面ABD，
所以.
故选：A.
5．若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（ ）
A．
B．
C．
D．.
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知得数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，当时， ，由此判断A选项；
将代入，求得；将代入，求得；将代入，求得；将代入，求得，再运用作差比较法，可判断得选项.
【详解】
解：因为数列的通项公式为，所以数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，
又数列的前项中，任取两项都是正数的概率为，
当时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为，故A正确；
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
所以，所以，故B正确；
，所以，故C错误；

，
所以，故D错误，
故选：AB.
6．以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率是；
B．只有甲小组受到奖励的概率是；
C．已知该技术难题一定能被攻克，只有丙小组受到奖励的概率是
D．受到奖励的小组数的期望值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据独立事件的概率计算后判断选项ABC，求出受到奖励的小组数对应的概率，计算出期望值后判断D．
【详解】
设甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题分别为事件，即，相互独立，
，A正确；
，B错；
该技术难题一定能被攻克的概率是，
只有丙小组受到奖励的概率是，
因此在该技术难题一定能被攻克的条件下只有丙小组受到奖励的概率是，C正确；
设受到奖励的小组数为，则的值为，
，
，
，
．
所以．D正确．
故选：ACD．
7．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是（ ）

A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【答案】BC
【分析】
根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】
由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
A：小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；
B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；
C：小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；
D：由题意知：事件的走法有18条即，事件的走法有2条即，所以，错误.
故选：BC
8．随着高三毕业日期的逐渐临近，有()个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ）
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
【答案】ACD
【分析】
考虑个同学时的情况，若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，由此能推导出结论．
【详解】
解：考虑个同学时的情况，
若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，
若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，
，故正确；
，
，，，，
代入数据可得，
当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为，故正确；
当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故错误；
甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故正确．
故选：ACD．
【点睛】
结论点睛：记表示个元素错位排列的方法数，则．
9． 假设抛掷质地均匀的硬币时只有正面向上或反面向上两种情况，甲、乙各抛掷若干枚硬币，甲抛掷的硬币总数恰好比乙少一枚，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
假设甲抛掷的硬币总数为枚，则乙抛掷的硬币总数为枚，设甲得到的正面数为，则且，利用独立重复试验的概率公式结合二项式定理可求得结果.
【详解】
假设甲抛掷的硬币总数为枚，则乙抛掷的硬币总数为枚，
设甲得到的正面数为，则且，
此时，甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率为，
因此，所求概率为，
因为




，
故，
因此，所求概率为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查独立重复试验概率的求解，在正面求解较为复杂时，本题充分利用对二项式系数的对称性，结合二项式定理进行求解.
10．有人玩都硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到）.若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第7站（胜利大本营）或跳到第8站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意求出，，，，，变形后推导出是公比为，首项为的等比数列，进而利用累加法求出，，，求出
【详解】
由题意得：，，，，，从而当时， ，而，所以是以公比为，首项为的等比数列，即，（）所以
所以
故答案为：