精练03 平面向量与复数-备战2022年新高考数学选填题分层精练

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精练0 3 平面向量与复数基础练1．已知复数满足，则的虚部为（    ）A．4 B．-4 C．3 D．-3【答案】A【分析】根据复数的乘方得到，再根据复数代数形式的除法运算求出复数，即可得到，从而得到的虚部；【详解】解：因为，，，所以，因为，所以，，于是所以的虚部为4.故选：A.2．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.【详解】，，由，P，M共线，存在，使①，由N，P，B共线，存在，使得②，由①② ，故.故选：B.3．以下四个命题中，正确的是（    ）A．若，则，，三点共线B．C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底D．三角形ABC为直角三角形的充要条件是【答案】C【分析】对于三点共线时，；设，则； 时，为直角，反之也可以是，为直角.【详解】对于，若，因为，则、、三点不共线，故不正确；对于， 设，则，故不正确；对于，向量是空间的一个基底，则不共面，则，，也不共面，所以能构成空间的另一个基底，故正确；对于， 时，为直角，故△为直角三角形，即必要性成立，反之也可以是，为直角，故不正确；故选:．4．已知四边形是矩形，，，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设，进而利用坐标法求解即可；解法二：用为基底表示向量，，再根据得得，，再根据计算得，进而得答案.【详解】解：解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，. ∴，，，.∴，.∴，.∵，∴，即.又，所以，.∴.∴.∵，∴.故选：C.解法二：∵，，∴.∵，∴，得.∴，.∴.故选：C.5．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）A．B．C．D．若，，则【答案】D【分析】A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．【详解】A．，时，，，时，，成立，时，，，综上，A不恒成立；B．是一个实数，无意义，B不成立；C．若，，则，，，，，，C错误；D．若，，则，，，，所以，成立．故选：D．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．6．设是复数，则下列命题中的真命题是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】根据，得到，结合共轭复数的定义，可判断A正确；由共轭复数的定义与运算，可判定B正确；设，利用复数的运算法则，可判定C正确；令，可判定D错误.【详解】对于A中，由，可得，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，则和互为共轭复数，所以，所以B正确；对于C中，设，由，可得，即，所以，所以，所以C正确；对于D中，若，则，而，此时，所以D错误.故选：ABC.7．已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】ABC【分析】由给定条件用坐标表示、，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.【详解】因平面向量，满足，，在平面直角坐标系中，令，设，由可得：，表示以点为圆心，1为半径的圆，由得：，整理得：，表示一条直线l，依题意，同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量的个数， 点C到直线l的距离，显然，当时，，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量有2个，C满足；当时，，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量有1个，B满足；当时，，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量满足条件，即有0个，A满足. 故选：ABC【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.8．在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（    ）A．B．若F为AE的中点，则C．若，，，则D．若，且，则【答案】ACD【分析】取的中点，则也是的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.【详解】解：对于A，取的中点，则也是的中点，则有，所以，故A正确；对于B，若F为AE的中点，则，故B错误；对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，，，故C正确；对于D，由A选项得，，由，因为，所以，即，因为，所以，平分，在中，，所以，所以为等边三角形，所以，故选：D.故选：ACD.9．写出一个同时满足下列条件的复数________.①；②复数z在复平面内对应的点在第四象限.【答案】（答案不唯一）【分析】根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.【详解】不妨令，则，复数z在复平面内对应的点位于第四象限，满足①②，故符合题意（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）10．在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________.【答案】【分析】由得到，再根据得到，即得解.【详解】解：在中，即所以，故，即，故解得或，B为直角的内角，故，又，故在方向上的投影向量的模为.故答案为： 提升练1．已知为坐标原点，点，，，，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．记取最大值，，则中有且只有个元素D．记是的最大值，则【答案】D【分析】根据平面向量数量积的坐标表示、两角差的余弦公式及余弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，，，，所以，，，，所以，，所以不一定等于，故A错误；，，故B错误；因为，所以，因为，所以，所以当，即时取最大值，故中有无数个元素，故C错误，D正确；故选：D2．“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：①，，有②如，，，有；③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ）A．，则为一个群B．，则为一个群C．，则为一个群D．{平面向量}，则为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确；B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误；C. ，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确；D. {平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确.故选：B3．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据向量共线可得,,化简可得，转化为，根据，再利用三角形的面积表示出来即可得解.【详解】如图，连接AD并延长交BC与点M,设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,因为，所以设，因为AM与向量AD共线，设,,所以，即，,所以故选：A4．已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立坐标系，设，根据已知条件得到所设未知数的关系，利用向量模的坐标表示求出的取值范围，代换之后即可逐项判断.【详解】解：因为向量夹角为，设，因为， ①，若，则由①得，这与矛盾.∴，代入（1）得，由得，综上：，，令，则，所以，，又，，故，故A正确；，令，则，所以，，，故， ，则，故B、C、D都错误.故选：A【点睛】平面向量的解题思路：(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题.5．在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由条件可知点C的轨迹为椭圆，容易验证直线MN不垂直与x轴，设，直线MN的方程为：，与椭圆方程联立，根据的面积为求出t，继而可求出结果．【详解】设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由，知G为的重心，则G的坐标为，由，知点P在角的平分线上，又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，如图，设角平分线交于，则，故，由为角平分线可得，而，故，故即,因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为．若直线MN垂直于x轴，则，此时，不符合题意；所以直线MN不垂直于x轴，设直线MN的方程为：，，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直线MN的方程为：，则原点O到直线MN的距离为：．故选：C．6．已知复数在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．当时，C．满足的点表示的轨迹为直线D．满足的点表示的轨迹为椭圆【答案】AD【分析】根据复数模值的定义以及复数的几何意义逐项验证即可.【详解】对于A选项：表示以为邻边的平行四边形对角线相等，则四边形为矩形，，故A选项正确；对于B选项：在复平面中，设，，，又，，，，，若，则，故B选项不正确对于C选项：在复平面中，表示以为圆心，为半径的圆，故C选项不正确；对于D选项：在复平面中，点到间距离为，设，,点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D选项正确；故选：AD7．如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.【详解】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，又D，G，E三点共线，即，则有，而，，又，于是得，而与不共线，因此，，，A正确；边AD上的高为，边AB上的高为，则，B正确；由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，即，而，于是得，C正确，D错误.故选：ABC8．平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ）A． B．在方向上的投影是1C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是【答案】ACD【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项.【详解】解：因为，且，则，所以，又，则，则，故A正确；由于在方向上的投影是，故B错误；设，由于，即，故，因为，取，则，所以，所以动点在以为直径的圆上，如图，，则，，设的中点为，的中点为，过作的垂线，则，因为，所以的最大值是，故C正确；设，因为，即，则，所以，故在垂线上，而，又是的中点，所以，则，过作的垂线，垂足为，则，又，所以，所以的最小值是，故D正确.故选：ACD.9．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则______【答案】4【分析】由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果．【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根，所以复数是关于的实系数方程的一个根，所以，即，所以.故答案为：.10．已知平面向量，其中是是单位向量且夹角为，向量满足，则的最大值与最小值之差为__________.【答案】【分析】设，由，得，由得，令与联立，利用判别式可得答案.【详解】根据题意不妨设，因为，所以，整理得，由得，令，联立得，所以，即，解得，所以.故答案为：.