北京市五年（2017-2021）高考物理真题知识点分类汇编-计算题（16题，含答案）

这是一份北京市五年（2017-2021）高考物理真题知识点分类汇编-计算题（16题，含答案），共25页。试卷主要包含了类比是研究问题的常用方法等内容，欢迎下载使用。

北京市五年（2017-2021）高考物理真题知识点分类汇编-计算题（16题，含答案）

一．平抛运动（共1小题）
1．（2020•北京）无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求包裹释放点到落地点的水平距离x；
（2）求包裹落地时的速度大小v；
（3）以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
二．动量定理（共1小题）
2．（2018•北京）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点。质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。

三．动量守恒定律（共1小题）
3．（2021•北京）如图所示，小物块A、B的质量均为m＝0.10kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h＝0.45m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s＝0.30m，取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能ΔE。

四．动能定理（共1小题）
4．（2019•北京）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1＞r2）的雨滴在空气中无初速下落的v﹣t图线，其中　 　对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v﹣t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

五．功能关系（共1小题）
5．（2021•北京）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l1，人站立时摆长为l2。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）如果摆长为l1，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a．人蹲在踏板上从最大摆角θ1开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为θ2。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明θ2＞θ1。
b．实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角θ后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能ΔEk应满足的条件。
六．能量转化和转移的方向性（共1小题）
6．（2021•北京）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f＝kv（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程G﹣kv＝m（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率vm。
（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I﹣t图线。
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量
　 　
物体动能的增加量
　 　
　 　
电阻R上消耗的电能

七．电势差和电场强度的关系（共1小题）
7．（2018•北京）（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2．我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。

八．带电粒子在匀强电场中的运动（共1小题）
8．（2017•北京）如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°．已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。

九．闭合电路的欧姆定律（共1小题）
9．（2018•北京）如图1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。

（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U﹣I图象的示意图，并说明U﹣I图象与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a．请在图2画好的U﹣I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；
b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
一十．带电粒子在匀强磁场中的运动（共2小题）
10．（2017•北京）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出的α粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程。
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。
（3）设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损△m。
11．（2020•北京）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线MN，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
（1）可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a．在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场。
当电压为U0或磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度v0。
（2）撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。

一十一．带电粒子在混合场中的运动（共1小题）
12．（2021•北京）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。

一十二．法拉第电磁感应定律（共1小题）
13．（2020•北京）如图甲所示，N＝200匝的线圈（图中只画了2匝），电阻r＝2Ω，其两端与一个R＝48Ω的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。
（1）判断通过电阻R的电流方向：
（2）求线圈产生的感应电动势E；
（3）求电阻R两端的电压U。

一十三．导体切割磁感线时的感应电动势（共3小题）
14．（2020•北京）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小a车随速度v的变化曲线。
（1）求列车速度从20m/s降至3m/s经过的时间t及行进的距离x。
（2）有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为R，不计金属棒MN及导轨的电阻。MN沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的P点。论证电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系，并在图1中画出图线。
（3）制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从100m/s减到3m/s的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强？（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

15．（2019•北京）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B．纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：
（1）感应电动势的大小E；
（2）拉力做功的功率P；
（3）ab边产生的焦耳热Q。

16．（2017•北京）发电机和电动机具有装置上的类似性，源于它们机理上的类似性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2所示的情景。

在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，以速度v（v平行于MN）向右做匀速运动。
图1轨道端点MP间接有阻值为r的电阻，导体棒ab受到水平向右的外力作用。图2轨道端点MP间接有直流电源，导体棒ab通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为I。
（1）求在△t时间内，图1“发电机”产生的电能和图2“电动机”输出的机械能。
（2）从微观角度看，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导体棒中的自由电荷为正电荷。
a．请在图3（图1的导体棒ab）、图4（图2的导体棒ab）中，分别画出自由电荷所受洛伦兹力的示意图。
b．我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请以图2“电动机”为例，通过计算分析说明。


参考答案与试题解析
一．平抛运动（共1小题）
1．（2020•北京）无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求包裹释放点到落地点的水平距离x；
（2）求包裹落地时的速度大小v；
（3）以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
【答案】（1）包裹释放点到落地点的水平距离x为；
（2）包裹落地时的速度大小v为；
（3）以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，该包裹运动的轨迹方程为y＝。
【解析】解：（1）包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有：
解得：
水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为：x＝v0t＝
（2）包裹落地时，竖直方向速度为：vy＝gt＝
落地时速度为：v＝＝
（3）包裹做平抛运动，分解位移，水平方向上有：x＝v0t′
竖直方向上有：y＝gt′2
两式消去时间得包裹的轨迹方程为：y＝
二．动量定理（共1小题）
2．（2018•北京）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点。质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力的大小。

【答案】（1）长直助滑道AB的长度为100m；
（2）运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小为1800N•s；
（3）若不计BC段的阻力，运动员经过C点时的受力图如图所示，其所受支持力的大小为3900N。

【解析】解：（1）从A到B根据速度﹣位移关系可得：vB2﹣vA2＝2aL，
解得：L＝m＝100m；
（2）根据动量定理可得：I＝mvB﹣mvA＝60×30﹣0N•s＝1800N•s；
（3）运动员经过C点时受到重力和支持力，如图所示；
根据动能定理可得：mgh＝mvC2﹣mvB2，
根据第二定律可得：FN﹣mg＝m
解得：FN＝3900N。
三．动量守恒定律（共1小题）
3．（2021•北京）如图所示，小物块A、B的质量均为m＝0.10kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h＝0.45m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s＝0.30m，取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能ΔE。

【答案】（1）两物块在空中运动的时间为0.30s；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小为2m/s；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能为0.10J。
【解析】解：（1）竖直方向为自由落体运动，由h＝
代入数据解得t＝0.30 s
（2）设A、B碰后速度为v，
水平方向为匀速运动，由s＝vt
代入数据解得v＝1.0m/s
根据动量守恒定律，规定向右为正方向，由mv0＝2mv
得v0＝2m/s
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能ΔE＝
代入数据解得ΔE＝0.10J
四．动能定理（共1小题）
4．（2019•北京）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1＞r2）的雨滴在空气中无初速下落的v﹣t图线，其中　①　对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v﹣t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

【答案】（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，这一过程中克服空气阻力所做的功W为。
（2）a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式为vm＝；
b．①，如图；
（3）证明见上。
【解析】解：（1）对雨滴，下落得过程中重力做正功，阻力做负功，由动能定理可得：mgh﹣W＝
所以：W＝
（2）a．当雨滴的速度最大时：mg＝f
其中：m＝，空气阻力f＝kr2vm2，
联立可得：vm＝
b．由vm＝可知雨滴的半径越大则末速度越大，所以末速度较大的①对应半径为r1的雨滴。
若没有空气的阻力，则雨滴做自由落体运动，则：v＝gt
其v﹣t图象如图：

（3）取圆盘△t时间内扫过柱体内分子的个数为N，则：N＝v•△t•Sn
由题意，由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，若取上下左右前后6个方向，则各方向的分子各占；
设分子的平均速率为v0，碰撞为弹性碰撞，则：
对上表面，向下运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，则分子碰撞后的速率：v1＝2v﹣v0
对分子则：
沿前后左右方向运动的分子与盘的下表面碰撞，获得向下的速率，大小为2v，所以：
对下表面，向上运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，则分子碰撞后的速率：v2＝v0+2v
对分子则：
圆盘受到的阻力：f＝f2+f3﹣f1
联立可得：f＝
则：f∝v2
五．功能关系（共1小题）
5．（2021•北京）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l1，人站立时摆长为l2。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）如果摆长为l1，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a．人蹲在踏板上从最大摆角θ1开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为θ2。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明θ2＞θ1。
b．实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角θ后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能ΔEk应满足的条件。
【答案】（1）如果摆长为l1，“摆球”通过最低点时的速度为v，此时“摆球”受到拉力T的大小为mg+。
（2）a．证明过程见解析。
b．在最低点“摆球”增加的动能ΔEk应满足的条件为ΔEk≥mgl2﹣mgl1（1﹣cosθ）。
【解析】解：（1）根据牛顿运动定律T﹣mg＝
得T＝mg+
（2）a．设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2，根据功能关系得mgl1（1﹣cosθ1）＝
mgl2（1﹣cosθ2）＝
已知v1＝v2，得mgl1（1﹣cosθ1）＝mgl2（1﹣cosθ2）
因为l1＞l2，得cosθ1＞cosθ2
所以θ2＞θ1
b．设“摆球”由最大摆角θ摆至最低点时动能为Ek，根据功能关系得
Ek＝mgl1（1﹣cosθ）
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为vm
根据牛顿运动定律得mg＝
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得
Ek+ΔEk≥2mgl2+
得ΔEk≥mgl2﹣mgl1（1﹣cosθ）
六．能量转化和转移的方向性（共1小题）
6．（2021•北京）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f＝kv（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程G﹣kv＝m（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率vm。
（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I﹣t图线。
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量
　电源提供的电能　
物体动能的增加量
　线圈磁场能的增加量　
　克服阻力做功消耗的机械能　
电阻R上消耗的电能

【答案】（1）物体下落的最大速率为；
（2）电流I随时间t变化的方程为E﹣IR＝L；画出I﹣t图线见解析；
（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，填写的表格如下图：
情境1
情境2

电源提供的电能

线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械能

【解析】解：（1）当物体下落速度达到最大速度vm时加速度为零，则有：G＝kvm
解得：vm＝；
（2）a、电路中电流I随时间t的变化规律为：E﹣IR＝L（其中L为线圈的自感系数）
b、根据E﹣IR＝L可得：＝，由于E、R、L不变，I逐渐增大，则I﹣t图像的斜率逐渐减小，最后稳定时I＝；
I﹣t图像如图所示；

（3）情境1物体重力势能的减少量是整个过程中能量的来源，对应情境2中电源提供的电能；
情境1中物体动能的增加量，对应情境2中线圈磁场能的增加量；
情境2电阻R上消耗的电能，相当于情景1中克服阻力做功消耗的机械能。
七．电势差和电场强度的关系（共1小题）
7．（2018•北京）（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2．我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比。
（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。

【答案】（1）b．S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比为；
（2）a．FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功P2为25P1；
b．FAST能够观测到的此类天体数目N为125N0。
【解析】解：（1）a．设试探电荷q距点电荷Q的距离为r，由库仑定律可得：试探电荷q受到的库仑力，那么，根据场强定义可得：场强；
b．电场线疏密程度反映了空间区域电场强度的大小，故；
（2）a．直径为D的望远镜能接受到射电信号的有效面积（即垂直射电信号的方向的投影面积）；
那么，根据来自某天体的电磁波的信号均匀分布可得：功率和有效面积成正比，故有：，所以，，即P2＝25P1；
b．天体空间分布均匀，设望远镜能观测到的最远距离为L，望远镜直径为D，望远镜能观测到此类天体的电磁波总功率最小值为P0，
则有：，那么，能够观测到的此类天体数目；
根据望远镜能观测到此类天体的电磁波总功率最小值P0相等可得：，，所以，N＝125N0；
八．带电粒子在匀强电场中的运动（共1小题）
8．（2017•北京）如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°．已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。

【答案】（1）小球所受电场力F的大小为3.0×10﹣3 N。
（2）小球的质量为4×10﹣4kg。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小为2m/s。
【解析】解：（1）根据电场力的计算公式可得电场力F＝qE＝1.0×10﹣6×3.0×103 N＝3.0×10﹣3 N；
（2）小球受力情况如图所示：

根据几何关系可得mg＝，
所以m＝＝＝4×10﹣4kg；
（3）电场撤去后小球运动过程中机械能守恒，则mgl（1﹣cos37°）＝，
解得：v＝2m/s。
九．闭合电路的欧姆定律（共1小题）
9．（2018•北京）如图1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。

（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U﹣I图象的示意图，并说明U﹣I图象与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a．请在图2画好的U﹣I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；
b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
【答案】（1）U﹣I图象如图所示；图象与纵坐标的坐标值为电源电动势，与横轴交点表示短路电流；
（2）a、如图中网格图形所示；b、R＝r时输出功率最大，最大电功率Pm＝；
（3）电源电动势定义式E＝；证明见解析。

【解析】解：（1）根据闭合电路的欧姆定律可得E＝U+Ir，解得U＝E﹣Ir，
画出的U﹣I图象如图所示；
图象与纵坐标的坐标值为电源电动势，与横轴交点表示短路电流；
（2）a、如图中网格图形所示；
b、电路中的电流强度为I＝
输出电功率P＝I2R＝（）2R＝
当R＝即R＝r时输出功率最大，最大电功率Pm＝；
（3）电动势的定义式为E＝，
根据能量守恒，在图1中，非静电力做的功W产生的电能等于外电路和内电路产生的电热，
即：W＝I2rt+I2Rt，
所以EIt＝U内It+U外It，
解得E＝U内+U外。
一十．带电粒子在匀强磁场中的运动（共2小题）
10．（2017•北京）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出的α粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程。
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。
（3）设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损△m。
【答案】（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，则该α衰变的核反应方程为→+；
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，则圆周运动的周期为，环形电流大小为；
（3）设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，则衰变过程的质量亏损△m为损。
【解析】解：（1）由质量数守恒及电荷守恒可得该α衰变的核反应方程为→+；
（2）α粒子做圆周运动，洛伦兹力做向心力，设圆周运动的速率为v，则有：，
则圆周运动的周期；
那么相当于环形电流在周期T内通过的电量为q，则等效环形电流大小；
（3）因为衰变时间极短，且衰变时内力远远大于外力，故认为在衰变过程中外力可忽略，则有动量守恒，设新核的速度为v′，则有：mv+Mv′＝0；
由（2）可得：，所以，，则衰变过程使两粒子获得动能＝；
由于衰变过程，质量亏损产生的核能全部转化为粒子的动能，故衰变过程的质量亏损；
11．（2020•北京）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线MN，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
（1）可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a．在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场。
当电压为U0或磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度v0。
（2）撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。

【答案】（1）a．在柱面和导线之间，只加恒定电压，出射电子的初速度为；
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场，出射电子的初速度为；
（2）单位长度导线单位时间内出射电子的总动能为。
【解析】解：（1）a．在柱面和导线之间，只加恒定电压U0，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根据动能定理得：﹣eU0＝0﹣
解得：v0＝
b．在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场，磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半径为r，粒子俯视图，如图所示：

根据几何关系有：2r＝R
根据洛伦兹力提供向心力，得：B0ev0＝
解得：v0＝
（2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数为：N＝
金属片上形成电流为：I＝＝＝Ne
所以：n＝
根据动量定理得金属片上的压强为：p＝＝＝
解得：v＝
故总动能为：Ek＝＝
一十一．带电粒子在混合场中的运动（共1小题）
12．（2021•北京）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。

【答案】（1）加速电压为；
（2）场强E的方向垂直于导体板向下，大小为Bv；
（3）粒子离开N时的动能为。
【解析】解：（1）根据功能关系：
得：；
（2）电场力与洛伦兹力平衡：qE＝qBv
得：E＝Bv；
由左手定则判定电场的方向垂直导体板向下。
（3）电场力做正功，根据功能关系：Ek＝qU+qEd
得：
一十二．法拉第电磁感应定律（共1小题）
13．（2020•北京）如图甲所示，N＝200匝的线圈（图中只画了2匝），电阻r＝2Ω，其两端与一个R＝48Ω的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。
（1）判断通过电阻R的电流方向：
（2）求线圈产生的感应电动势E；
（3）求电阻R两端的电压U。

【答案】（1）通过电阻R的电流方向为a→b；
（2）线圈产生的感应电动势为10V；
（3）电阻R两端的电压为9.6V。
【解析】解：（1）线圈相当于电源，由楞次定律可知a相当于电源的正极，b相当于电源的负极；
通过电阻R的电流方向a→b；
（2）由法拉第电磁感应定律得：E＝N＝200×V＝10V；
（3）由闭合电路的欧姆定律得：I＝＝A＝0.2A
又由部分电路的欧姆定律得：U＝IR＝0.2×48V＝9.6V。
一十三．导体切割磁感线时的感应电动势（共3小题）
14．（2020•北京）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小a车随速度v的变化曲线。
（1）求列车速度从20m/s降至3m/s经过的时间t及行进的距离x。
（2）有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为R，不计金属棒MN及导轨的电阻。MN沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的P点。论证电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系，并在图1中画出图线。
（3）制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从100m/s减到3m/s的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强？（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】（1）列车速度从20m/s降至3m/s经过的时间为24.3s，行进的距离为279.3m；
（2）电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系为a＝，图象见解析；
（3）列车从100m/s减到3m/s的过程中，在速度为3m/s附近所需机械制动最强。

【解析】解：（1）由题图1可知，列车速度从20m/s降至3m/s的过程是加速度为a＝0.7m/s2的匀减速直线运动，
由加速度定义式可得：a＝
所以t＝＝s≈24.3s；
由速度﹣位移公式v2﹣v02＝﹣2ax得：
x＝＝279.3m；
（2）MN沿导轨向右运动切割磁场线产生感应电动势E＝BLv
回路中感应电流I＝
MN受到的安培力F＝BIL
加速度为a＝
联立上面几式得a＝；
所以棒的加速度与棒的速度为正比例函数。
又因为列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比，所以列车电气制动产生的加速度与列车的速度成正比，为过P点的正比例函数，画出的图线如下图所示：

（3）由（2）可知，列车速度越小，电气制动的加速度越小。由题设可知列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力，所以电气制动和空气阻力产生的加速度都随速度的减小而减小。
由图1可知，列车速度从100m/s降至3m/s的过程中加速度大小a车随速度v减小而增大，20m/s以后不变，所以列车速度从100m/s降至3m/s的过程中所需的机械制动逐渐变强，所以列车速度为3m/s附近所需机械制动最强。
15．（2019•北京）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B．纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：
（1）感应电动势的大小E；
（2）拉力做功的功率P；
（3）ab边产生的焦耳热Q。

【答案】（1）感应电动势的大小为BLv；
（2）拉力做功的功率为；
（3）ab边产生的焦耳热为。
【解析】解：（1）根据导体切割磁感应线处的感应电动势计算公式可得：E＝BLv；
（2）拉力做功功率等于回路中产生的电功率，则P＝＝；
（3）进入磁场的运动时间t＝
产生的总热量Q总＝Pt＝
ab边产生的热量Q1＝Q总＝。
16．（2017•北京）发电机和电动机具有装置上的类似性，源于它们机理上的类似性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2所示的情景。

在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，以速度v（v平行于MN）向右做匀速运动。
图1轨道端点MP间接有阻值为r的电阻，导体棒ab受到水平向右的外力作用。图2轨道端点MP间接有直流电源，导体棒ab通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为I。
（1）求在△t时间内，图1“发电机”产生的电能和图2“电动机”输出的机械能。
（2）从微观角度看，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导体棒中的自由电荷为正电荷。
a．请在图3（图1的导体棒ab）、图4（图2的导体棒ab）中，分别画出自由电荷所受洛伦兹力的示意图。
b．我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请以图2“电动机”为例，通过计算分析说明。

【答案】（1）在△t时间内，图1“发电机”产生的电能为；图2“电动机”输出的机械能为BILv△t。
（2）a．自由电荷所受洛伦兹力的示意图见解析。
b．图2“电动机”导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力是将电能转化为机械能。
【解析】解：（1）导体平动切割磁感应线产生的感应电动势为：E＝BLv，
感应电流为：I＝，
图1“发电机”产生的电能为：
E电＝EI△t＝；
图2中，电动机输出的机械能等于重物增加的重力势能
△Em＝mgv△t
mg＝F安
F安＝BIL
联立解得：△Em＝BILv△t。

（2）a、图3中的导体棒是由于外力作用发生移动，根据右手定则可知电流方向从b到a；图4是由于通电使得导体棒中形成电流，所以电流方向由a到b，同时电荷还要匀速向右运动，根据左手定则可知受到的洛伦兹力方向如下图所示：
b、以图2“电动机”为例，所受到的洛伦兹力方向如图4所示，导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力在水平向右的方向上对电荷产生向右的作用力，此分力对电荷做正功，即W1＝F′洛xx；在沿导体棒方向上洛伦兹力的分力对导体棒做负功，即W2＝﹣F′洛yy，总体情况洛伦兹力还是对运动电荷不做功，但通过洛伦兹力将电能转化为机械能。