天津市五年（2017-2021）高考物理真题知识点分类汇编-计算题（15题，含答案）

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天津市五年（2017-2021）高考物理真题知识点分类汇编-计算题（15题，含答案）

一．动量定理（共1小题）
1．（2018•天津）真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。
（1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由；
（2）求刚接通电源时列车加速度a的大小；
（3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？

二．动量守恒定律（共1小题）
2．（2021•天津）一玩具以初速度v0从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1：4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
三．功率、平均功率和瞬时功率（共1小题）
3．（2018•天津）我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103m时才能达到起飞所要求的速度v＝80m/s。已知飞机质量m＝7.0×104kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取g＝10m/s2．求飞机滑跑过程中
（1）加速度a的大小；
（2）牵引力的平均功率P。

四．动能定理（共1小题）
4．（2019•天津）完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L1＝150m，BC水平投影L2＝63m，图中C点切线方向与水平方向的夹角θ＝12°（sin12°≈0.21）。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t＝6s到达B点进入BC．已知飞行员的质量m＝60kg，g＝10m/s2，求
（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；
（2）舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力FN多大。

五．功能关系（共1小题）
5．（2017•天津）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h＝1.8m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g＝10m/s2。
（1）B从释放到细绳绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。

六．机械能守恒定律（共1小题）
6．（2020•天津）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能Ek至少多大？
七．电势差和电场强度的关系（共1小题）
7．（2019•天津）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。
（1）若引擎获得的推力为F1，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使尽量大，请提出增大的三条建议。

八．带电粒子在匀强电场中的运动（共1小题）
8．（2020•天津）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m。

九．带电粒子在匀强磁场中的运动（共2小题）
9．（2018•天津）如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N．一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。
（1）求粒子从P到M所用的时间t；
（2）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出。粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度v0的大小。

10．（2017•天津）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，求：
（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。

一十．带电粒子在混合场中的运动（共1小题）
11．（2021•天津）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿﹣z方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。

一十一．导体切割磁感线时的感应电动势（共4小题）
12．（2021•天津）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。

13．（2020•天津）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t均匀变化。正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直，电阻R＝0.1Ω，边长l＝0.2m。求

（1）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中的感应电动势E；
（2）t＝0.05s时，金属框ab边受到的安培力F的大小和方向；
（3）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中电流的电功率P。
14．（2019•天津）如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计。
（1）闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；
（2）断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W。

15．（2017•天津）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：

（1）磁场的方向；
（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；
（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。

参考答案与试题解析
一．动量定理（共1小题）
1．（2018•天津）真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。
（1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由；
（2）求刚接通电源时列车加速度a的大小；
（3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？

【答案】（1）要使列车向右运行，启动时图1中M接电源正极，理由见解答；
（2）刚接通电源时列车加速度a的大小为；
（3）若恰好为整数，则需设置n块磁场，若不为整数，整数部分为N，则需设置N+1块磁场。
【解析】解：（1）M接电源正极，列车要向右运动，安培力方向向右，根据左手定则，接通电源后，金属棒中电流方向由a到b、由c到d，故M接电源正极。
（2）由题意，启动时ab、cd并联，设回路总电阻为R总，由电阻的串并联知识可得：

设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有：

设两根金属棒所受安培力之和为F，有：
F＝BIl
根据牛顿第二定律有：
F＝ma
得：a＝
（3）设列车减速时，cd进入磁场后经△t时间ab恰好进入磁场，此过程中穿过金属棒与导轨所围回路的磁通量的变化量为△φ，平均感应电动势为E1，则由法拉第电磁感应定律有：

其中△φ＝Bl2
设回路中平均电流为I′，由闭合电路欧姆定律有：

设cd受到的平均安培力为F′，有：
F′＝BI′l
以向右为正方向，设△t时间内cd受到安培力冲量为I冲，有：
I冲＝﹣F′△t
同理可知，回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值，设回路进出一块有界磁场区域安培力冲量为I0，有：
I0＝2I冲
设列车停下来受到的总冲量为I总，由动量定理有：
I总＝0﹣mv0
联立上式解得：

讨论：若恰好为整数，设其为n，则需设置n块磁场，若不为整数，整数部分为N，则需设置N+1块磁场。
二．动量守恒定律（共1小题）
2．（2021•天津）一玩具以初速度v0从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1：4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【答案】（1）玩具上升到最大高度时的速度大小为；
（2）两部分落地时速度大小之比为2：1。
【解析】解：（1）设玩具上升的最大高度为h，玩具上升到最大高度时的速度大小为v，取竖直向上为正方向，由运动学公式有
0﹣v02＝﹣2gh
v2﹣v02＝﹣2g（h）
联立解得v＝
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为m1、m2，水平速度大小分别为v1、v2，依题意，动能关系为：
+＝
玩具到达最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，取质量为m1的部分速度方向为正方向，有
m1v1﹣m2v2＝0
分开后两部分都做平抛运动，根据动能定理得
对m1有，m1gh＝﹣
对m2有，m2gh＝﹣
结合m1：m2＝1：4
联立解得两部分落地时速度大小之比v1′：v2′＝2：1
三．功率、平均功率和瞬时功率（共1小题）
3．（2018•天津）我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103m时才能达到起飞所要求的速度v＝80m/s。已知飞机质量m＝7.0×104kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取g＝10m/s2．求飞机滑跑过程中
（1）加速度a的大小；
（2）牵引力的平均功率P。

【答案】（1）飞机滑行过程中加速度大小是2m/s2；
（2）牵引力的平均功率是8.4×106W。
【解析】解：（1）根据速度位移公式得，v2＝2as
代入数据得 a＝2m/s2。
（2）由v＝at得：
t＝s
飞机受到的阻力：F阻＝0.1mg
设牵引力做的功为W，则由动能定理可得：W﹣F阻•x＝
牵引力的平均功率：
代入数据联立可得：P＝8.4×106W
四．动能定理（共1小题）
4．（2019•天津）完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L1＝150m，BC水平投影L2＝63m，图中C点切线方向与水平方向的夹角θ＝12°（sin12°≈0.21）。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t＝6s到达B点进入BC．已知飞行员的质量m＝60kg，g＝10m/s2，求
（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；
（2）舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力FN多大。

【答案】（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W为7.5×104J；
（2）舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力FN大小为1.1×103N。
【解析】解：（1）舰载机做初速度为零的匀加速直线运动，
设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则舰载机在AB上滑行过程：L1＝t，
由动能定理得：W＝﹣0，
代入数据解得：W＝7.5×104J；
（2）设上翘甲板对应的圆弧半径为R，由几何知识得：L2＝Rsinθ，
以飞行员为研究对象，由牛顿第二定律得：FN﹣mg＝m，
代入数据解得：FN＝1.1×103N；
五．功能关系（共1小题）
5．（2017•天津）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h＝1.8m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g＝10m/s2。
（1）B从释放到细绳绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。

【答案】（1）运动时间为0.6s；
（2）A的最大速度的大小为2m/s；
（3）初始时B离地面的高度为0.6m。
【解析】解：（1）B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有：h＝gt2
代入数据解得：t＝0.6 s。
（2）根据动量定理得：
对A（取向上为正方向），则有：F2t′﹣mAgt′＝mAv′，
对B（取向下为正方向），则有：﹣F1t′+mBgt′＝mBv′﹣mBvB；
而F1＝F2
且vB＝6m/s，
得：﹣gt′＝2v′+v′﹣6
由于碰撞时间极短，因此有：v′＝2 m/s
（3）细绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，
这一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有：
（mA+mB）v′2+mBgH＝mAgH
代入数据解得：H＝0.6 m。
六．机械能守恒定律（共1小题）
6．（2020•天津）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能Ek至少多大？
【答案】（1）A受到的水平瞬时冲量的大小为；
（2）碰撞前瞬间B的动能Ek至少。
【解析】解：（1）A恰好能通过圆周运动最高点，此时轻绳拉力恰好为零，设A在最高点的速度为v，由牛顿第二定律，有
①
A从最低点到最高点过程机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度为vA，有
②
由动量定理，有
I＝m1vA③
联立①②③式，得
I＝④
（2）设两球粘在一起时速度v′，AB粘在一起恰能通过圆周运动轨迹最高点，需满足
v′＝vA⑤
要达到上述条件，碰撞后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬时速度大小为vB，由动量守恒定律，有
m2vB﹣m1vA＝（m1+m2）v′⑥
又
⑦
联立①②⑤⑥⑦
⑧
七．电势差和电场强度的关系（共1小题）
7．（2019•天津）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。
（1）若引擎获得的推力为F1，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使尽量大，请提出增大的三条建议。

【答案】（1）若引擎获得的推力为F1，单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为；
（2）加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，的表达式为；
（3）为提高能量的转换效率，要使尽量大，三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子：减小加速电压。
【解析】解：（1）设正离子经过电极B时的速度为v，根据动能定理，有
ZeU＝mv2﹣0 ①
设正离子束所受的电场力为F1′，根据牛顿第三定律，有
F1′＝F1②
设引擎在△t时间内飘入电极间的正离子个数为△N，由牛顿第二定律，有
F1′＝△Nm③
联立①②③式，且N＝得
N＝④
（2）设正离子束所受的电场力为F′，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
P＝F'ν ⑤
考虑到牛顿第三定律得到F′＝F，联立①⑤式得
⑥
（3）为使尽量大，分析⑥式得到
三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子：减小加速电压。
八．带电粒子在匀强电场中的运动（共1小题）
8．（2020•天津）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m。

【答案】（1）质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间为；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，离子能进入反射区的最大距离为；
（3）待测离子质量为0。
【解析】解：（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，根据动能定理可得：qU＝mv2 …①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则：T1＝…②
联立①②式，得：T1＝…③
（2）从开始加速到反射区速度为零过程中，根据动能定理，有：qU﹣qEx＝0…④
解得：x＝…⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为，有：＝…⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为L1，在无场区的总路程设为L2，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为t总，有：
t总＝+…⑦
联立①⑥⑦式，得：t总＝（2L1+L2）…⑧
可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比，依题意可得：
＝
解得：m1＝0
所以待测离子质量为：m＝m1＝0
九．带电粒子在匀强磁场中的运动（共2小题）
9．（2018•天津）如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N．一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。
（1）求粒子从P到M所用的时间t；
（2）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出。粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度v0的大小。

【答案】（1）粒子从P到M所用的时间是；
（2）所用的时间最少时，粒子在Q时速度v0的大小是。
【解析】解：（1）设粒子第一次在磁场中运动的速度为v，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，可得：

可得：v＝
粒子在电场中受到的电场力为qE，设运动的时间为t，则：
qEt＝mv﹣0
联立可得：t＝
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的过程中，其周期：T＝，可知粒子在磁场中运动的周期与其速度、半径都无关；
根据：
可知粒子在磁场中运动的时间由轨迹的圆弧对应的圆心角有关，圆心角越小，则时间越短；所以当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短，设粒子此时的半径为r，如图：

由几何关系可得：
设粒子进入磁场时速度的方向与ab的夹角为θ，则圆弧所对的圆心角为2θ，由几何关系可得：
tanθ＝
粒子从Q点抛出后做类平抛运动，在电场方向向上的分运动与从P释放后的情况相同，所以粒子进入磁场时，沿竖直方向的分速度同样也为v，在垂直于电场方向的分速度始终为v0，则：
tanθ＝
联立可得：v0＝
10．（2017•天津）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，求：
（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。

【答案】（1）粒子到达O点时速度的大小为，方向x轴方向的夹角为45°角斜向上。
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比为。
【解析】解：（1）在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴的距离为L，到y轴的距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有
沿x轴正方向：2L＝v0t，①
竖直方向根据匀变速直线运动位移时间关系可得：L＝②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy
根据速度时间关系可得：vy＝at ③
设粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为α，有tanα＝④
联立①②③④式得：α＝45° ⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上。
设粒子到达O点时的速度大小为v，由运动的合成有
v＝＝；
（2）设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，
由牛顿第二定律可得：qE＝ma ⑧
由于
解得：E＝⑨
设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m⑩

由于P点到O点的距离为2L，则由几何关系可知R＝
解得：B＝⑪
联立⑨⑪式得。
一十．带电粒子在混合场中的运动（共1小题）
11．（2021•天津）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿﹣z方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。

【答案】（1）刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力沿+z方向；
（2）单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小为e（+E）；
（3）Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数为nacvnzΔt，空穴数为pacvpzΔt，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。
【解析】解：（1）根据左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿+z方向；
（2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有：In＝①
设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx，可导出自由电子的电流微观表达式为：In＝neabvnx②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为：F洛＝evnxB ③
霍尔电场力大小为：F电＝eE ④
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，可得其合力大小为：
Fnz＝e（+E）；
（3）设Δt时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为Nn、空穴数为Np，
则：Nn＝nacvnzΔt
Np＝pacvpzΔt
霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应Nn＝Np，
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。
一十一．导体切割磁感线时的感应电动势（共4小题）
12．（2021•天津）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。

【答案】（1）拉力的功率P为4W；
（2）该过程中ab沿导轨的位移大小x为0.1m。
【解析】解：（1）在ab棒运动过程中，由于拉力功率恒定，ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力大小为F，安培力大小为FA。
由平衡条件得
F＝mgsinθ+FA
此时ab棒产生的感应电动势为E＝BLv
设回路中感应电流为I，根据闭合电路欧姆定律得
I＝
ab棒受到的安培力大小为FA＝BIL
拉力的功率P＝Fv
联立以上各式解得P＝4W
（2）ab棒从v1到v2的过程中，由动能定理得
Pt﹣W﹣mgxsinθ＝﹣
解得x＝0.1m
13．（2020•天津）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t均匀变化。正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直，电阻R＝0.1Ω，边长l＝0.2m。求

（1）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中的感应电动势E；
（2）t＝0.05s时，金属框ab边受到的安培力F的大小和方向；
（3）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中电流的电功率P。
【答案】（1）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中的感应电动势为0.08V；
（2）t＝0.05s时，金属框ab边受到的安培力大小为0.016N，方向垂直ab向左；
（3）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中电流的电功率为0.064W。
【解析】解：（1）在t＝0到t＝0.1s的时间Δt内，磁感应强度的变化量ΔB＝0.2T，设穿过金属框的磁通量变化量ΔΦ，则有：ΔΦ＝ΔBl2…①
由于磁场均匀变化，金属棒中产生的感应电动势恒定，有：E＝…②
联立①②代入数据有：E＝0.08V…③；
（2）设金属框中电流I，由闭合电路欧姆定律，有：
I＝…④
由图知t＝0.05s时，磁感应强度B1＝0.1T，金属框ab边受到的安培力为：F＝B1Il…⑤
联立①②④⑤式，代入数据得：F＝0.016N…⑥
方向垂直ab向左…⑦
（3）在t＝0到t＝0.1s时间内，金属框中电流的电功率为：
P＝I2R…⑧
联立①②④⑧式，代入数据得：P＝0.064W…⑨
14．（2019•天津）如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计。
（1）闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；
（2）断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W。

【答案】（1）闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加的水平恒力为，方向水平向右；
（2）该过程安培力做的功为﹣。
【解析】解：（1）设线圈中产生的感应电动势为E，根据法拉第电磁感应定律可得E＝，
则E＝k
设PQ与MN并联的电阻为R并，有：R并＝
闭合S后，设线圈中的电流为I，根据闭合电路的欧姆定律可得：
I＝
设PQ中的电流为IPQ，则IPQ＝I
设PQ受到的安培力为F安，有：F安＝BIPQl
保持PQ静止，根据平衡条件可得F＝F安，
联立解得F＝，方向水平向右；
（2）设PQ由静止开始到速度大小为v的过程中，PQ运动的位移为x，所用的时间为△t，回路中磁通量的变化为△Φ，
平均感应电动势为
其中△Φ＝Blx，
PQ中的平均电流为
根据电流强度的定义式可得：
根据动能定理可得Fx+W＝，又有：F＝，
联立解得：W＝﹣。
15．（2017•天津）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：

（1）磁场的方向；
（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；
（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。
【答案】（1）磁场的方向为垂直于导轨平面向下；
（2）MN刚开始运动时加速度a的大小为；
（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是。
【解析】解：（1）电容器上端带正电，通过MN的电流方向向下，由于MN向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下。
（2）电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有：
I＝…①
设MN受到的安培力为F，有：
F＝IlB…②
由牛顿第二定律有：
F＝ma…③
联立①②③式：得a＝…④
（3）当电容器充电完毕时，设电容器上电量为Q0，有：
Q0＝CE…⑤
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vmax时，设MN上的感应电动势为E′，有：E′＝Blvmax…⑥
依题意有：…⑦
设在此过程中MN的平均电流为，MN上受到的平均安培力为，有：…⑧
由动量定理，有…⑨
又…⑩
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：Q＝。