专题27 涉及圆的证明与计算问题-2021年中考数学点对点突破的55个特色专题

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专题27 涉及圆的证明与计算问题

圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律
1.圆的性质：
（1）圆具有旋转不变性；
（2）圆具有轴对称性；
（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．圆内接四边形的特征
①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
① 点在圆内点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径
2.直线与圆有3种位置关系
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
① 直线和⊙O相交；
② 直线和⊙O相切；
③ 直线和⊙O相离。
3．圆与圆的位置关系
设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：
两圆外离 ；两圆外切 ；
两圆相交 ；两圆内切 ；
两圆内含
四、切线的规律
1.切线的性质
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角。
四、求解圆的周长和面积的公式
设圆的周长为r，则：
1. 求圆的直径公式d=2r
2.求圆的周长公式 C=2πr
3.求圆的面积公式S=πr2
五、解题要领
1.判定切线的方法
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑
类型1图形：
（1）如图1,AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点.

基本结论有：在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
（2） 如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。

（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：

①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;
②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB
（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD于E时（如图5），则：

①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2





类型2图形：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。
（2）①G是⊿BCD的内心；② ；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；
（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。
（4）如图（3），若①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
类型3图形：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如图：

（1）DE切⊙OE是BC的中点；
（2）若DE切⊙O，则：
①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,

图形特殊化：在（1）的条件下
如图：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；

如图：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：

① ;②
类型4图形：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，

基本结论有：
（1）DE⊥ACDE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：
①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；③D是 的中点。④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD，产生母子三角形。


类型5图形：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：

（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC＝2=R2；
（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.
类型6图形：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。

基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)；
（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一
（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
类型7图形：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；③∠AIB=90°+∠ACB;


（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.

类型8图形：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC
于E、F。基本结论有：

（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE
(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)
（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②

【例题1】（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）

A．523 B．33 C．32 D．42
【答案】D
【解析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
连接OD，交AC于F，
∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF=12BC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∠DFE=∠ACB=90°∠DEF=∠BECDE=BE
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF=12DF，
∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC=AB2−BC2=62−22=42，

【对点练习】（2019•山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　）

A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】C．
【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，
连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°

【例题2】（2020•牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝23，则弦AB的长为　 　．
【答案】12或4．
【解析】分∠OAM＝30°，∠AOM＝30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，
若∠OAM＝30°，
则tan∠OAM=OMAM=23AM=33，
∴AM＝6，
∴AB＝2AM＝12；

若∠AOM＝30°，
则tan∠AOM=AMOM=AM23=33，
∴AM＝2，
∴AB＝2AM＝4．

【对点练习】(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　 　．

【答案】．
【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，
∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝

【例题3】（2020贵州黔西南）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【答案】（1）见解析；（2），解析
【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．

【点拨】本题考查切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，掌握相关性质及定理是解题的关键．
【对点练习】（2019•湖北十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

【答案】见解析。
【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．


一、选择题
1．（2020•宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用圆周角定理对各选项进行判断．
∵∠FEG＝50°，
若P点圆心，
∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．
2．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【解析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．

3．（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（　　）

A．14° B．28° C．42° D．56°
【答案】D
【解析】根据垂径定理，可得AC=BC，∠APC＝28°，根据圆周角定理，可得∠BOC．
∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵∠APC＝28°，
∴∠BOC＝2∠APC＝56°
4．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点．则∠CED的大小可能是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【解析】连接OD、OE，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DEO和∠CEO，即可求出答案．
连接OD、OE，

∵OC＝OA，
∴△OAC是等腰三角形，
∵点D为弦的中点，
∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，
设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，
∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+12x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+12x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+12x）﹣（20°+12x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°，
∴20°＜∠CED＜40°
5．（2020•内江）如图所示，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB=12∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
连接OB，如图，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB＝∠COB=12∠AOC=12×120°＝60°，
∴∠D=12∠AOB＝30°．

6．（2020•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【解析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°
7．（2020•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．43 C．833 D．23
【答案】B
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，
∵AD＝8，∴CD=12AD＝4，
∴AC=AD2−CD2=82−42=43，

8．（2020•嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）

A．23 B．343 C．323 D．3
【答案】C
【解析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM=12BC=32，∠BAM＝30°，
∴AM=3BM=332，
∴△ABC的面积=12BC×AM=12×3×332=934，
∴重叠部分的面积=69△ABC的面积=69×934=332；

9．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　）

A．h＝R+r B．R＝2r C．r=34a D．R=33a
【答案】C
【解析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得：R＝2r；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论．
如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设OE＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R+r，故A正确；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=12∠BAC=12×60°＝30°，
在Rt△AOE中，
∴R＝2r，故B正确；
∵OD＝OE＝r，
∵AB＝AC＝BC＝a，
∴AE=12AC=12a，
∴（12a）2+r2＝（2r）2，（12a）2+（12R）2＝R2，
∴r=3a6，R=33a，故C错误，D正确；

10．（2020•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）

A．22：3 B．2：3 C．3：2 D．3：22
【答案】B
【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH=12AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH=12AB，得出AD=2OA，AH=32OA，则AB＝2AH=3OA，进而得出答案．
【解析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH=12AB，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=12×120°＝60°，
∴AD=2OA，AH＝OA•sin60°=32OA，
∴AB＝2AH＝2×32OA=3OA，
∴ADAB=2OA3OA=23

二、填空题
11．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　 　°．

【答案】50．
【解析】根据圆周角定理即可得到结论．
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°
12．（2020•无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为＝　 　cm2．
【答案】2π．
【解析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl计算即可．
根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h=3cm，
∴圆锥的母线l=r2+ℎ2=2，
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
13．（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　 　．

【答案】3．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH=52−42=3，
所以CD与AB之间的距离是3．

14．（2020•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　 　．

【答案】27°．
【解析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B=12∠AOP＝27°．
15．（2020•连云港）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　 　cm．
【答案】5．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=90π×20180，然后解关于r的方程即可．
【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=90π×20180，
解得r＝5（cm）．
16.（2019•南京）如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则
∠A+∠C＝　 　．

【答案】219°．
【解析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
连接AB，
∵PA.PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°

17. （2019山东东营）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是____________．

【答案】
【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴MN=AB．
当AB为⊙O的直径时，AB有最大值，则MN有最大值．
当AB为直径时，∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=，
∴MN=．
18.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．

【答案】60°.
【解析】∵OA⊥BC，∴ ，∴∠AOB＝2∠ADC,
∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.
19.（2020山东济宁模拟 ）如图，O 为Rt△ ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】 ．
【解析】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
在Rt△ ABC 中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝ ＝2 ，
∵BC⊥OC，∴BC 是圆的切线，
∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣ ＝ ；
在 Rt△ ABC 中，∵sinA＝＝ ＝ ，∴∠A＝30°，

∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵ ＝tanA＝tan30°，∴ ＝ ，∴OD＝1，
∴S 阴影＝＝ ．
20.（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．

【答案】16．
【解析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16。
三、解答题
21.（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．

【解析】见解析。
【分析】（1）连接OD，由切线性质得∠ODF＝90°，进而证明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解析】（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；

（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，

∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴r=138．
故圆的半径为138．
22．（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．

【解析】见解析。
【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；
（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，
∵CA＝CD，且∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠ACO＝30°，
∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴∠CBG＝60°，
又∵CG⊥AD，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，
又∵∠GCD＝60°，
∴CB是∠GCD的角平分线，
∵BF⊥CD，BG⊥CG，
∴BF＝BG，
又∵BC＝BC，
∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），
∴CF＝CG．
∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，
∴∠EAD＝60°，
又∵∠CAD＝30°，
∴AC是∠EAG的角平分线，
∵CE⊥AE，CG⊥AB，
∴CE＝CG，
∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，
∴△AEC∽△CFB，
∴AECF=CEBF，即AE•BF＝CF•CE，
又CE＝CG，CF＝CG，
∴AE•BF＝CG2．

23．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，BECE=12，求CD的长．

【答案】见解析。
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴BCAC=CDAD=12，
∵AD＝8，
∴CD＝4．

24．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙O的半径．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，
∴AC=AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC=BD，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，

∵AC=AD，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1=25，
∴EB＝DE•tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2=25，
∴AE=DEtan∠2=252，
∴AB＝AE+EB=292，
∴⊙O的半径为294．
25．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．

【答案】见解析。
【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．
（2）证明△AEC∽△BCA，推出CEAC=ACAB，求出EC即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴AC=CD，
∴∠CAD＝∠CBA．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴CEAC=ACAB，
∴CE6=610，
∴CE＝3.6，
∵OC=12AB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．

26．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连结OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．

【答案】见解析。
【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】证法错误；
证明：连结OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
27．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．

【答案】见解析。
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得CD=AC，由弧长公式可求解．
【解析】（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π．
28．（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【答案】见解析。
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解析】（1）连接OD，如图：

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，
∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
29．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB=OC2−BC2=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，∴△PBD是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，
∴OB=OC2−BC2=3，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×1×3−30⋅π×(3)2360=32−π4．

30．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．

【答案】见解析。
【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．
【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．