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中考专题四 圆的证明与计算课件PPT
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这是一份中考专题四 圆的证明与计算课件PPT，共24页。
考点一 与三角形有关的证明和计算【示范题1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
【自主解答】(1)连接OD,如图1,∵过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F,∴∠ODF=90°,∴∠ADO+∠BDF=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD+∠BDF=90°,∵∠C=90°,∴∠OAD+∠B=90°,∴∠B=∠BDF,∴BF=DF.
(2)连接OF,OD,如图2,设半圆O的半径为r,则OD=OE=r,∵AC=4,BC=3,CF=1,∴OC=4-r,DF=BF=3-1=2,∵OD2+DF2=OF2=OC2+CF2,∴r2+22=(4-r)2+12,∴r= .故半圆O的半径为 .
【跟踪训练】1.(2020·防城港模拟)如图,∠C=90°,☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连接OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(1)求证:四边形OECF为正方形;(2)求☉O的半径;(3)求AB的长.
【解析】(1)∵☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°,∴四边形CFOE是矩形,∵OF=OE,∴四边形OECF为正方形.
(2)由题意可得:EO∥AC,∴△DEO∽△DCA,∴ ,设☉O的半径为x,则 ,解得:x=1.5,故☉O的半径为1.5.
(3)∵☉O的半径为1.5,AC=6,∴CF=1.5,AF=4.5,∴AG=4.5,设BG=BE=y,∴在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,∴62+(y+1.5)2=(4.5+y)2,解得:y=3,∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
【解析】(1)BC与☉O相切,理由:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∵OD为半径,∴BC是☉O的切线.
(2)连接DE,∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°,∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C,∵∠EAD=∠DAC,∴△ADE∽△ACD,∴ ,∴AC= ,∴CD= ,
∵OD⊥BC,AC⊥BC,∴△OBD∽△ABC,∴ ,∴ ,∴BD= .
考点二 与锐角三角函数有关的证明与计算【示范题2】(2020·福建中考)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是 上不与B,D重合的点,sinA= .(1)求∠BED的大小;(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3 ,求证:DF与☉O相切.
【自主解答】(1)连接OB,如图1,∵AB与☉O相切于点B,∴∠ABO=90°,∵sinA= ,∴∠A=30°,∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,∴∠BED= ∠BOD=60°.
(2)连接OF,OB,如图2,∵AB是切线,∴∠OBF=90°,∵BF=3 ,OB=3,∴tan∠BOF= ,∴∠BOF=60°,∵∠BOD=120°,∴∠BOF=∠DOF=60°,在△BOF和△DOF中,
∴△BOF≌△DOF(SAS),∴∠OBF=∠ODF=90°,∴DF与☉O相切.
【跟踪训练】1.(2020·凉山州中考)如图,AB是半圆ADB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.(1)求证:DH是半圆的切线;(2)若DH=2 ,sin∠BAC= ,求半圆的直径.
【解析】(1)连接OD,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD,∴∠CAD=∠ADO,∴AH∥OD,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH是半圆的切线.
(2)连接BC交OD于E,∵AB是半圆ADB的直径,∴∠ACB=90°,∴四边形CEDH是矩形,∴CE=DH=2 ,∠DEC=90°,∴OD⊥BC,∴BC=2CE=4 ,∵sin∠BAC= = ,∴AB=12,即半圆的直径为12.
2.(2020·营口中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作☉O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若tanA= ,AD=2,求BO的长.
【解析】(1)过O作OH⊥AB于H,∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC,∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB,∴OH=OC,即OH为☉O的半径,∵OH⊥AB,∴AB为☉O的切线.
(2)设☉O的半径为3x,则OH=OD=OC=3x,在Rt△AOH中,∵tanA= ,∴ ,∴ ,∴AH=4x,∴AO= =5x,
∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,∴AC=OA+OC=5+3=8,在Rt△ABC中,
考点一 与三角形有关的证明和计算【示范题1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
【自主解答】(1)连接OD,如图1,∵过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F,∴∠ODF=90°,∴∠ADO+∠BDF=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD+∠BDF=90°,∵∠C=90°,∴∠OAD+∠B=90°,∴∠B=∠BDF,∴BF=DF.
(2)连接OF,OD,如图2,设半圆O的半径为r,则OD=OE=r,∵AC=4,BC=3,CF=1,∴OC=4-r,DF=BF=3-1=2,∵OD2+DF2=OF2=OC2+CF2,∴r2+22=(4-r)2+12,∴r= .故半圆O的半径为 .
【跟踪训练】1.(2020·防城港模拟)如图,∠C=90°,☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连接OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(1)求证:四边形OECF为正方形;(2)求☉O的半径;(3)求AB的长.
【解析】(1)∵☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°,∴四边形CFOE是矩形,∵OF=OE,∴四边形OECF为正方形.
(2)由题意可得:EO∥AC,∴△DEO∽△DCA,∴ ,设☉O的半径为x,则 ,解得:x=1.5,故☉O的半径为1.5.
(3)∵☉O的半径为1.5,AC=6,∴CF=1.5,AF=4.5,∴AG=4.5,设BG=BE=y,∴在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,∴62+(y+1.5)2=(4.5+y)2,解得:y=3,∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
【解析】(1)BC与☉O相切,理由:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∵OD为半径,∴BC是☉O的切线.
(2)连接DE,∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°,∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C,∵∠EAD=∠DAC,∴△ADE∽△ACD,∴ ,∴AC= ,∴CD= ,
∵OD⊥BC,AC⊥BC,∴△OBD∽△ABC,∴ ,∴ ,∴BD= .
考点二 与锐角三角函数有关的证明与计算【示范题2】(2020·福建中考)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是 上不与B,D重合的点,sinA= .(1)求∠BED的大小;(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3 ,求证:DF与☉O相切.
【自主解答】(1)连接OB,如图1,∵AB与☉O相切于点B,∴∠ABO=90°,∵sinA= ,∴∠A=30°,∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,∴∠BED= ∠BOD=60°.
(2)连接OF,OB,如图2,∵AB是切线,∴∠OBF=90°,∵BF=3 ,OB=3,∴tan∠BOF= ,∴∠BOF=60°,∵∠BOD=120°,∴∠BOF=∠DOF=60°,在△BOF和△DOF中,
∴△BOF≌△DOF(SAS),∴∠OBF=∠ODF=90°,∴DF与☉O相切.
【跟踪训练】1.(2020·凉山州中考)如图,AB是半圆ADB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.(1)求证:DH是半圆的切线;(2)若DH=2 ,sin∠BAC= ,求半圆的直径.
【解析】(1)连接OD,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD,∴∠CAD=∠ADO,∴AH∥OD,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH是半圆的切线.
(2)连接BC交OD于E,∵AB是半圆ADB的直径,∴∠ACB=90°,∴四边形CEDH是矩形,∴CE=DH=2 ,∠DEC=90°,∴OD⊥BC,∴BC=2CE=4 ,∵sin∠BAC= = ,∴AB=12,即半圆的直径为12.
2.(2020·营口中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作☉O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若tanA= ,AD=2,求BO的长.
【解析】(1)过O作OH⊥AB于H,∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC,∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB,∴OH=OC,即OH为☉O的半径,∵OH⊥AB,∴AB为☉O的切线.
(2)设☉O的半径为3x,则OH=OD=OC=3x,在Rt△AOH中,∵tanA= ,∴ ,∴ ,∴AH=4x,∴AO= =5x,
∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,∴AC=OA+OC=5+3=8,在Rt△ABC中,
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