2021-2022学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知函数的定义域为，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义可求得的值.

【详解】由导数的定义可得.

故选：D.

2．已知等比数列的公比为正数，且，，则（       ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】D

【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出

【详解】设等比数列的公比为（），

由题意得，且，即，

，

因为，所以，，

故选：D

3．函数在（0，e]上的最大值为（       ）

A．－1 B．1 C．0 D．e

【答案】A

【分析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值

【详解】由，得，

当时，，当，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得最大值，

故选：A

4．已知数列的前项和为．若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可得结果.

【详解】由得：，

数列是以为首项，为公差的等差数列，.

故选：C.

5．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（       ）

A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减

C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值

【答案】D

【分析】根据导函数图象可知，的单调性，进而可得的极值，即可得出答案．

【详解】解：根据导函数图象可知，

在区间，上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以在处取得极小值，没有极大值，

故正确，错误，

故选：．

6．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据参变分离法,可将原问题转化为在上恒成立,再由配方法,即可得解.

【详解】因为在上单调递增,

所以在上恒成立,即在上恒成立.

而,当且仅当x=1时,等号成立,所以,即，所以实数a的取值范围为.

故选：C

7．在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列可能正确的序号是（       ）

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

【答案】A

【分析】利用导数与函数之间的关系．把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出不恰当的图象，从而可得出答案．

【详解】解：根据时，递增，时，递减可得，

①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；

而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，

④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．

故选：A.

8．若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值，即求.

【详解】∵数列的前项积，

当时，，

当时，，，

时也适合上式，

∴，

∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，

故的最大值为，最小值为，

∴的最大值与最小值之和为2.

故选：C.

9．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（       ）

A．55 B．58 C．60 D．62

【答案】A

【分析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.

【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，

∴，

又∵;

;

;

;

;

,

故选：A.

10．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，可令，化简得，令，然后做出的图象，即可判断的范围

【详解】

由已知，，令，可得，

当时，方程无解，所以，，可得，令，

当时，，单增，当时，，单减，

当时，，单减

作出的图象，，因为函数有两个极值点，

即方程有两个变号的实根，即与有两个交点，

所以，由图可得，

故选：B

二、多选题

11．已知数列的首项为1，前项和为，若，则下列说法正确的是（       ）

A．数列是等比数列

B．数列为单调递增数列

C．

D．

【答案】ABC

【分析】根据递推关系可得，即可判断数列是等比数列，进而求出和，判断BC，进而判断出D选项.

【详解】因为，所以，即，即，

所以数列的奇数项和偶数项分别是公比为16的等比数列，

因为，所以，所以，

所以

所以，，

所以，，

 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；

所以，则数列为单调递增数列，故B正确；

所以，故C正确；

因为，，

所以，故D不正确.

故选：ABC.

12．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（       ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点

C．函数必有2个零点 D．

【答案】BD

【解析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．

【详解】函数，则，

当时，，故在上为增函数，A错误；

当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；

若，则有两个零点，

若，则有一个零点，

若，则没有零点，故C错误；

在上为增函数，则，即，化简得，D正确；

故选：BD

【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．

三、填空题

13．已知，那么单调递增区间为__________.

【答案】

【分析】求导分析导函数的正负即可求原函数的单调区间.

【详解】因为，

故.

令可得，即.

∴单调递增区间为当.

故答案为：.

14．如图，直线是曲线在处的切线，若，则实数的值是__________.

【答案】3

【分析】利用导数的几何意义，即可求解.

【详解】由图象可知直线过点和，所以直线的斜率，

根据导数的几何意义可知，得.

故答案为：

15．已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t 的最大值是________.

【答案】162

【分析】将数列通项化为，裂项求和求得，又对于任意的，，分类参数t，得到关于n的表达式，借助基本不等式求得最值.

【详解】由题知，，

则

，

又对于任意的，，

则，即，

由，当时等号成立，

则实数t 的最大值是162.

故答案为：162

16．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.

【详解】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，

对于有，则上的切线方程为，即，

对于有，则上的切线方程为，即，

所以，有，即，

令，，

令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，故，即.

∴正实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列是公比为正数的等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；

（2）根据题意，求出，结合组合法求和，即可求解.

【详解】(1)根据题意，设公比为，且，

∵，，

∴，解得或（舍），

∴.

(2)根据题意，得，故，

因此

.

18．已知函数，

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）对求导，求出的值，再由点斜式方程即可求出答案.

（2）对求导，令得，或，讨论的大小，即可求出函数的单调区间.

【详解】(1)当时，，∴，，，

∴函数在点处的切线方程为：，即.

(2)∵，

∴，

由得，或，

∴当时，，函数在上单调递增，

当时，时，，时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数单调增区间为，当时，函数单调增区为，单调减区为.

19．设是等差数列的前项和，其中，且.

(1)求的值，并求出数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出，由为等差数列，则，求出，从而得出通项公式.

（2）由题意得,由错位相减法求和即可.

【详解】(1)解：令，则，则，令，则，得，

由为等差数列，∴，∴，解得，

则，，，所以，

所以，数列的通项公式为；

(2)由题意得，∴，

，

两式相减可得

∴.

20．已知函数

(1)求的极值.

(2)若，证明：对任意的时，恒成立.

【答案】(1)极小值为

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数的单调区间，根据函数增减性得出极值；

（2）由的导数，判断函数在上单调递增，即可求出函数最小值为0，问题得证.

【详解】(1)已知函数的定义域为，

∴.

令即，又因为，所以即.

令即，又因为，所以即

∴的减区间为；增区间为.的极小值为.

(2)因为定义域为

，令，，

∴则在单调递增，且

则在单调递增

∴.

即对任意的时，恒成立.

21．已知数列的前n项和为Sn，满足．

(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

【答案】(1)证明见详解；

(2)

【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案；

（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.

【详解】(1)①

②

①-②得，即，

变形可得，

又，得

故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，

由等比数列的通项公式可得，

.

(2)令，则

当或时，，

当时，

又，，

因为不等式对任意的正整数恒成立，

，解得.

22．椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.

(1)求曲线的方程；

(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得曲线的方程.

（2）利用弦长公式、点到直线的距离公式求得的表达式，再结合导数求得的取值范围.

【详解】(1)，

椭圆方程为.

(2)设，线段的中点为，

，，

以为直径的圆的半径为，

以为直径的圆的方程为，

即，又圆，

两式相减，

由 ，消去并化简得，

，，

，

，

，

由于，所以，，

对于函数，在上递增.

，

所以，

，

，

.

【点睛】求解椭圆中三角形面积的取值范围，关键步骤有两个，一个是利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式.二个是利用基本不等式、导数、二次函数等知识来求面积的取值范围.