新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数5对数与对数函数专题检测含解析

对数与对数函数

专题检测

[教师专用题组]

【3年模拟】

1.(2019全国名校模拟示范卷一,5)已知函数f(x)=若f(a)=-3,则f(a-7)= (　　)

A.-　　B.-　　C.　　D.

答案　B　∵函数f(x)=f(a)=-3,

∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,无解;

当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7,

∴f(a-7)=f(7-7)=f(0)=20-1-2=-.故选B.

2.(2018山东淄博模拟,10)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln+,对任意a∈R,存在b∈(0,+∞),使f(a)=g(b),则b-a的最小值为              (　　)

A.2-1　　B.e2-

C.2-ln2　　D.2+ln2

答案　D　令y=ea,则a=lny,令y=ln+,可得b=2,令h(y)=b-a,则h(y)=2-lny,∴h'(y)=2-.显然,h'(y)是增函数,观察可得当y=时,h'(y)=0,故h'(y)有唯一零点.故当y=时,h(y)取得最小值,为2-ln=2+ln2,故选D.

3.(2019北京东城期末,8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为E1和E2,则的值所在的区间为              (　　)

A.(1,2)　　B.(5,6)

C.(7,8)　　D.(15,16)

答案　B　由lgE=4.8+1.5M可得lgE1=4.8+1.5×8=16.8,lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05,∵lgE1-lgE2=0.75=,∴lg=,∴=1=,∵5=<<=6,∴选B.

4.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=loga|x|(0<a<1)的图象的大致形状是 (　　)

答案　C　f(x)=loga|x|=

故选C.

5.(2018北京二十七中期中,8)对于函数f(x)=lg|x-2|+1,有如下三个命题:

①f(x+2)是偶函数;

②f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;

③f(x+2)-f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.

其中正确命题的序号是 (　　)

A.①②　　B.①③

C.②③　　D.①②③

答案　A　令g(x)=f(x+2)=lg|x|+1,则g(x)=g(-x),故①正确;

∵函数t=|x-2|在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,且y=lgt在(0,+∞)上是增函数,

∴f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,故②正确;

f(x+2)-f(x)=lg|x|-lg|x-2|=lg=lg,在(2,+∞)上是减函数,故③错误.

故选A.

6.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设a>0,b>0,则“log2a+log2b≥log2(a+b)”是“ab≥4”的              (　　)

A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件

答案　A　若log2a+log2b≥log2(a+b),则ab≥a+b.又a>0,b>0,则ab≥a+b≥2,即ab≥4,故充分性成立;若a=4,b=1,则满足ab≥4,但log2a+log2b=2,log2(a+b)=log25>2,∴log2a+log2b≥log2(a+b)不成立,故必要性不成立,故选A.

7.(2018天津新华中学模拟,4)关于x的函数y=lo(x2-ax+2a)在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2]　　B.(-1,+∞)

C.(-1,2]　　D.(-∞,-1)

答案　C　∵函数y=lo(x2-ax+2a)在[1,+∞)上为减函数,∴t=x2-ax+2a在[1,+∞)上为增函数,且在[1,+∞)上t>0恒成立,

则解得-1<a≤2.

∴实数a的取值范围是(-1,2].

8.(2017陕西西安4月模拟,6)若实数x满足log2x=2+sinθ,则|x+1|+|x-10|= (　　)

A.2x-9　　B.9-2x　　C.11　　D.9

答案　C　因为sinθ∈[-1,1],所以2+sinθ∈[1,3],即log2x∈[1,3],解得x∈[2,8],所以|x+1|+|x-10|=(x+1)+(10-x)=11,故选C.

9.(2018浙江9+1高中联盟期中,11)随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N⇔b=logaN.

现在已知2a=3,3b=4,则ab=　　　　. 

答案　2

解析　因为2a=3,3b=4,所以a=log23,b=log34,

故ab=log23×log34=×==2.

10.(2018江苏镇江高三上学期期末,14)已知k为常数,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k的取值范围为　　　　. 

答案　∪(-e,-1)

解析　当x=0时,=kx+2成立,

故当x≠0时,方程有三个根,

当x<0时,=kx+2⇒k=,

当x>0时,|lnx|=kx+2⇒k=-=

故k=令k=g(x),当0<x<1时,g'(x)==,令g'(x)=0,则x=,g=-e,

当x≥1时,g'(x)==,

令g'(x)=0,则x=e3,g(e3)=.

画出图象可得k∈(-e,-1)∪.

11.(2018北京石景山期末,9)若a=ln,b=,c=,则a,b,c的大小关系为　　　　. 

答案　a<b<c

解析　∵a=ln<0,0<b=<1,c=>1,∴a<b<c.

12.(2019贵州质量测评卷一,15)已知函数y=loga(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则b=　　　　. 

答案　-7

解析　令x-1=1,得x=2,∴定点为A(2,2),将定点A的坐标代入函数f(x)中,得2=32+b,解得b=-7.

13.(2018浙江萧山九中12月月考,11)若函数f(x)=+lgx,则f(x)的定义域为　　　　;不等式f(x)>1的解集是　　　　. 

答案　;(1,+∞)

解析　由1+lgx≥0,得x≥,则f(x)的定义域为.

令=t,t≥0,则不等式f(x)>1可转化为t2+t-2>0,

∵t≥0,∴t>1.

∴1+lgx>1,∴x>1,故不等式f(x)>1的解集是(1,+∞).

14.(2018江苏南通一中期中)已知函数f(x)=-x+log2.

(1)求f+f的值;

(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1)时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

解析　(1)由题意易得f(x)的定义域是(-1,1).

由f(x)=-x+log2,

可得f(-x)=x+log2=-(-x)+log2=-=-f(x),即f(x)+f(-x)=0,

所以f+f=0.

(2)令t==-1+,

则t=-1+在(-1,1)内单调递减.

又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,

所以f(x)=-x+log2在(-1,1)内单调递减,

所以当x∈(-a,a],其中a∈(0,1)时,函数f(x)存在最小值f(a)=-a+log2.

15.(2018江苏盐城中学上学期第一次检测,16)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).

(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;

(2)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域;

(3)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.

解析　(1)∵函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x),

∴解得-2<x<2.

∴函数f(x)的定义域为(-2,2).

∵f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x),

∴f(x)是偶函数.

(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).

∵g(x)=10f(x)+3x,

∴g(x)=-x2+3x+4=-+(-2<x<2),

∴g(x)max=g=,g(x)min=g(-2)=-6.

∴函数g(x)的值域是.

(3)∵不等式f(x)>m有解,∴m<f(x)max,

令t=4-x2,由于-2<x<2,∴0<t≤4,∴m<lg4.

∴实数m的取值范围为{m|m<lg4}.