2022年四川省达州通川朝阳学校九年级数学中考复习考前适应性综合练习题（含答案）

这是一份2022年四川省达州通川朝阳学校九年级数学中考复习考前适应性综合练习题（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省达州通川朝阳学校2022年春九年级数学中考复习考前适应性综合练习题（附答案）
卷
一、选择题
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）

A． B． C． D．
3．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　）
A．4.995×1011 B．49.95×1010
C．0.4995×1011 D．4.995×1010
4．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
5．下列计算正确的是（　　）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．2x2+x2＝3x2
C．（﹣2x2）3＝8x6 D．x3÷x＝x3
6．分式方程+1＝的解为（　　）
A．无解 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（　　）

A．4 B．3 C． D．
8．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3
其中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．分解因式a2+4ab+4b2﹣1＝　 　．
10．已知函数y＝（k﹣1）x﹣1，若y随x的增大而减小，则k的取值范围为　 　．
11．已知m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根，则3m2+12m＝　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝AD，CD＝2．那么BD＝　 　．

13．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝1，CE＝2，则矩形的对角线AC的长为　 　．

14．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　 　．
15．如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE＝3，BE＝2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为　 　．

16．如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为　 　，a+b的值为　 　．

17．对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足≤n≤时，则t的取值范围是 　 　．

18．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 　 　．

三、解答题
19．（1）计算：|﹣2﹣2sin45°|+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
（2）解不等式组：．
20．为了坚持以人民为中心的发展思想，以不断改善民生为发展的根本目的，某机构随机对某小区部分居民进行了关于“社区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表根据图标信息解答下列问题：
满意度
人数
所占百分比
非常满意
12
10%
满意
54
m
比较满意
n
40%
不满意
6
5%

（1）本次调查的总人数为　 　，表中m的值为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）据统计，该社区服务站平均每天接待居民约1000，若将“非常满意”和“满意”作为居民对社区服务站服务工作的肯定，请你估计该社区服务站服务工作平均每天得到多少名居民的肯定．
21．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2），观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）



22．如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．
（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；
（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tanT的值；
（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．


23．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　 　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

24．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

25．如图一，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；
（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图二，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点Q的坐标．

26．如图，在△ANC和△CMB中，AC＝BC，AN∥BC，点B、点N在AC同侧，点A，M，C共线，BM，CN交于点D，且∠ANC＝∠BMC．
（1）如图1，当∠NAC＝90°时，点E、M分别为NB、AC中点，DM＝1，求DE的长．
（2）如图2，当∠NAC＜90°时，点P、Q分别是MN、BC中点，连接PQ，与NC、BM分别交于点S、T，求证：DS＝DT．
（3）如图3，在（2）问的条件下，当∠NAC＝60°时，将△BMC沿着MC翻折到△B1MC，连接AB1.若tan∠MBC＝，请直接写出的值．


参考答案
一、选择题
1．解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：B．
2．解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．故选A．
3．解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010．
故选：D．
4．解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
5．解：A．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不合题意；
B.2x2+x2＝3x2，正确；
C．（﹣2x2）3＝﹣8x6，故本选项不合题意；
D．x3÷x＝x2，故本选项不合题意．
故选：B．
6．解：去分母得：1+x﹣3＝﹣x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
故选：B．
7．解：连接OC，

∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（8﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：C．
8．解：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x＝﹣1，
∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），
∴y＝a﹣b+c＝3，
∴y＝a﹣2a+c＝3，
即c﹣a＝3，故④正确；
故选：B．
二、填空题
9．解：原式＝（a+2b）2﹣1
＝（a+2b+1）（a+2b﹣1）．
故答案为：（a+2b+1）（a+2b﹣1）．
10．解：∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣1，
当k﹣1＜0时，即k＜1时，
一次函数图象经过第二、四象限，
y随x的增大而减小，
所以k的取值范围为k＜1．
故答案为k＜1．
11．解：∵m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根，
∴m2+4m﹣4＝0，即m2+4m＝4，
∴3m2+12m＝3（m2+4m）＝3×4＝12．
故答案为：12．
12．解：过A作AE⊥BC于E，
∵AC＝AD，CD＝2，
∴DE＝CD＝1，∠AEB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴BE＝AB＝4，
∴BD＝BE﹣DE＝3，
故答案为：3．

13．解：由作图可知：MN垂直平分线段AC，
∴EA＝EC＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴AD＝＝＝，
∴AC＝＝＝2，
故答案为2．
14．解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以+＝＝＝＝10．
故答案为10．
15．解：根据题意，AB2＝AE2+BE2＝13，
∴S正方形ABCD＝13，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF＝3，∵BE＝2，
∴EF＝1，
∴S正方形EFGH＝1，
，故飞镖扎在小正方形内的概率为 ．
故答案为．
16．解：∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，
设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），
则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，
则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，
设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，

故点G、H的坐标分别为（﹣m，0）、（0，），
同理可得，点F的坐标为（0，﹣），
则△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，
解得a＝，
而b＝a，
∴a+b＝；
故答案为，
17．解：由题干可得函数y＝﹣x2+1+t在﹣2≤x≤t时，函数最大值或最小值为n，≤n≤，
∵t＞0，抛物线y＝﹣x2+1+t开口向下，顶点坐标为（0，1+t），
∴1+t为函数最大值，
当1+t＝时，t＝，
∴0＜t≤，
当t＝2时，直线x＝﹣2与直线x＝t与抛物线交点关于对称轴对称，
∴0＜t≤时，直线x＝﹣2与抛物线交点为最低点，
把x＝﹣2代入y＝﹣x2+1+t得y＝﹣3+t，
当﹣3+t＝﹣时，t＝，
∴t≥，
当≤1+t≤时，≤t≤，
当﹣≤﹣3+t≤﹣时，t≤，
∴t≤或≤t≤满足题意．
故答案为：t≤或≤t≤．
18．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．

∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，
∴OM2＝OD•OT，
∴＝，
∵∠MOD＝∠TOM，
∴△MOD∽△TOM，
∴＝＝，
∴MT＝2DM，
∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，
又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，
∴CT＝＝＝4，
∴CM+2DM≥4，
∴CM+2DM的最小值为4，
∴答案为4．
19．解：（1）原式＝|﹣2﹣2×|+1﹣9
＝|﹣2﹣|+1﹣9
＝3+1﹣9
＝3﹣8；
（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式＜+1，得：x＞﹣7，
则不等式组的解集为﹣7＜x≤1．
20．解：（1）本次调查的总人数为12÷10%＝120（人），
表中m的值为×100%＝45%，
故答案为：120人、45%；
（2）n＝120×40%＝48，
补全图形如下：

（3）1000×（10%+45%）＝550（名）
答：估计该社区服务站服务工作平均每天得到550名居民的肯定．
21．解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15（cm），
在Rt△APE中，∠APE＝90°，sin∠AEP＝，
∴AE＝≈48（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为48cm；
（2）如图2，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，
AF＝AB•cos∠BAF＝30×cos18°≈30×0.95≈28.5（cm），
BF＝AB•sin∠BAF＝30×sin18°≈30×0.31≈9.3（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF≈9.3×tan30°＝9.3×≈5.36（cm），
∴AC＝AF+CF≈28.5+5.36≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．

22．解：（1）证明：CD是⊙O的直径，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，
∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，
∴AO2＝OE•OT，AB是圆的直径，
∴，又∠AOE＝∠BOT，
∴△AOE∽△TOB，
∴∠OBT＝∠AEO＝90°，
∴BT是⊙O的切线；
（2）CD是圆的直径，
∴∠CBD＝90°，又∠OBT＝90°，∴∠CBO＝∠DBT，
∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，
∴∠C＝∠DBT，又∠T＝∠T，
∴△DBT∽△BCT，
∴，
设DT＝m（m＞0），
则BT＝2m，CT＝4m，
则CD＝3m，OB＝OD＝1.5m，
在Rt△OBT中，
tanT＝，
（3）∵∠OBT＝90°，
∴OB2+BT2＝OT2，
设半径为r，又BT＝6，DT＝6，
r2+（6）2＝（r+6）2，
解得：r＝3，
∴△AOE∽△TOB，
∴，即：，
∴OE＝1，
AE＝2，
∵GP⊥CD于点P，∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠GPO，
又∠AOE＝∠GOP，
∴△AOE∽△GOP，
∴，
设：OP＝a，则PG＝2a，
PD＝OD﹣OP＝3﹣a，
而△PDG∽△EDF，
则，
即：，解得：a＝，
∴PD＝，PG＝，
在Rt△PDG中，
DG＝＝．
23．解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，3），
∴CE＝，
∴AE＝4﹣；
故答案为：4﹣；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴点F在y＝上，
∴F（4，），
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，

∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，

∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∵AN＝，
∴DN＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，

在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∴AN＝AD＝＝，
∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，
∵DN＝AN＝＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
24．解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；
当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；
综上所述，y＝；
（2）设每天的销售利润为w元，
当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，
∵k＝640＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；
当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560＜6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4，
当x＝2时，y＝×4﹣2﹣4＝﹣4，
∴D（2，﹣4），
设直线AD的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图1，

对于y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴OA＝OG＝2，
∵∠AOG＝90°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴∠OAG＝45°，
∵OA∥PE，
∴∠PEF＝∠OAG＝45°，
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠EPF＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE＝PF，
∴当PF最大时，PE+PF的值最大，
设F（m，﹣m﹣2），则P（m，m2﹣m﹣4），
∵点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，
∴FP＝（﹣m﹣2）﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+2，
当m＝0时，PF有最大值为2，此时点P（0，﹣4）；
（3）分两种情况：
如图2，在x轴上取一点G，使AO＝OG（A和G不重合），连接CG，过点A作AH⊥CG于H，

∴AO＝OG＝2，∠ACG＝2∠ACO，
∵OC＝4，
∴AC＝CG＝＝2，
∴S△ACG＝•AG•OC＝•CG•AH，
∴×4×4＝××AH，
∴AH＝，
∴sin∠ACG＝＝＝，
∴tan∠ACG＝，
①当Q在x轴的上方时，
∵∠QAB＝2∠ACO＝∠ACG，
∴tan∠QAB＝＝，
∴＝，
∴OM＝，
∴M（0，），
则直线AQ的解析式为：y＝x+，
∴x2﹣x﹣4＝x+，
3x2﹣14x﹣40＝0，
（x+2）（3x﹣20）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝，
∴Q（，）；
②当Q在x轴的下方时，同理得：M'（0，﹣），
直线AM'的解析式为：y＝﹣x﹣，
∴x2﹣x﹣4＝﹣x﹣，
3x2﹣14x﹣40＝0，
（x+2）（3x﹣4）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝，
∴Q（，﹣）；
综上，点Q的坐标为Q（，）或（，﹣）．
26．（1）解：∵AN∥BC，∠NAC＝90°，
∴∠BCM＝180°﹣∠NAC＝90°，
∴∠NAC＝∠BCM，
在△CAN和△BCN中，
，
∴△CAN≌△BCN（AAS），
∴AN＝CM，BM＝CN，
∵点M是AC的中点，
∴AC＝2CM，
∴AC＝2AN，
∴tan∠BMC＝tan∠ANC＝＝2，
∴＝tan∠BMC＝2，
∴DC＝2DM＝2，
∴CM＝＝＝，
∴AC＝2CM＝2，AN＝CM＝，
∴CN＝＝＝5，
∴BM＝CN＝5，
∴DN＝CN﹣DC＝5﹣2＝3，
BD＝BM﹣DM＝5﹣1＝4，
∵∠A＝90°，
∴∠ANC+∠ACN＝90°，
∵∠ANC＝∠BMC，
∴∠BMC+∠ACN＝90°，
∴∠BDN＝∠CDM＝90°，
∴BM＝＝＝5，
∵E是BN的中点，
∴DE＝；
（2）证明：如图1，

以B为圆心，BC为半径画弧交AC的延长线于E，连接BE，
∴BE＝BC，
∴∠E＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴AC＝BE，
∵AN∥BC，
∴∠A＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，
在△ACN和△EMB中，
，
∴△ACN≌△EMB（AAS），
∴CN＝BE，
取CM的中点，
∵P是MN的中点，
∴PF∥CN，PF＝，
∴∠DST＝∠FPQ，
同理可得：FQ∥BM，FQ＝，
∴∠STD＝∠PQF，PF＝FQ，
∴∠QPF＝∠PQF，
∴∠TSD＝∠STD，
∴DS＝DT；
（3）解：如图2，

延长BC交AB1于G，作MF⊥BG于F，作BL⊥AC与L，
∵AN∥BC，∠NAC＝60°，
∴∠ACG＝∠NAC＝60°，
∴∠ACB1＝∠ACB＝120°，
∴∠GCB1＝60°，
∴∠ACG＝∠GCB1，
∴AB1＝2AG，
设CM＝2a，
∴MF＝CM•sin∠ACG＝2a•sin60°＝，CF＝CM＝a，
∵tan∠MBC＝＝，
∴BF＝4MF＝4，
∴AC＝BC＝BF﹣CF＝（4﹣1）a，
∴AG＝AC•sin∠ACG＝AC•sin60°＝a，
∴AB1＝•（4﹣1）a，
∵AN∥BC，
∴∠ANC＝∠BCN，
∵∠BMC＝∠ANC，
∴∠BMC＝∠BCN，
∵∠BCN＝120°，
∴∠BCN+∠ACN＝120°，
∴∠BMC+∠ACN＝120°，
∵PE∥NC，QE∥BM，
∴∠QEC＝∠BMC，∠PEM＝∠ACN，
∴∠QEC+∠PEM＝120°，
∴∠PEQ＝60°，
又PE＝EQ，
∴△PEQ是等边三角形，
∴PQ＝EQ＝，
∴MF＝a，BF＝4，
∴BM＝a，
∴PQ＝，
∴＝＝．