湖北省武汉市部分学校2021-2022学年七年级下学期 期中数学试卷（含答案）

湖北省武汉市部分学校2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列四组数中，是方程组的解的是

A.  B.  C.  D.

4. 由可以得到用表示的式子为

A.  B.  C.  D.

5. 下列各组多项式中，没有公因式的是

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

6. 若和都是方程的解，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出文，多文；每人出文，少文，求人数及该物品的价格．小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是

A.  B.  C.  D.

8. 有四个完全相同的小方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是

A.  B.  C.  D.

9. 的个位数字

A.  B.  C.  D.

10. “幻方”最早记载于春秋时期的大戴礼记中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，，，，，填入如图所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 分解因式：______．
13. ______．
14. 若，，则 ______ ．
15. 若，，则的值为______．
16. 解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则______．
17. 将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，这个记号叫做阶行列式，定义，若，则______．
18. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是          请填上正确的序号

三、计算题（本大题共2小题，共10分）

19. 解下列方程组：
    ．．
    
    
    
    
    
     
20. 已知正实数、，满足，．
    求的值；
    若时，是完全平方式，求的值．
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共56分）

21. 计算：
    ；
    ．
    
    
     
22. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
23. 疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，甲、乙两种口罩的售价分别是元盒，元盒．
    求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
    现已知甲、乙两种口罩的数量分别是个盒，个盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用天的口罩，该校师生共计人，每人每天个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
    
    
    
     
24. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
    回答下列问题：
    解：设，
    原式第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
    该同学因式分解的结果是否彻底？______填“彻底”或“不彻底”，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．
    以上方法叫做“换元法”请你模仿以上方法对进行因式分解．
    
     
25. 阅读材料并解决问题：
    材料一：若一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”；
    材料二：若一个三位数，将它的三个数字、三个数字两两乘积、三个数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”．
    如：，所以不是“长久数”．
    最小的“长平数”为______； ______“长久数”；填“是”或“不是”
    若一个三位数既是“长平数”又是“长久数”，且它既能被整除，又能被整除，求满足这样条件的所有三位数；
    求最小的“长久数”．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，正方形和的边长分别为、，用含、的代数式表示的面积．
    如图，正方形和的边长分别为、，用含、的代数式表示的面积．
    如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，已知正方形的边长为，则的面积为______ 请直接写出结果，不需要过程

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、用幂的乘方法则计算．
B、用同底数幂的乘法法则计算；
C、用积的乘方法则计算；
D、用积的乘方法则计算．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．不能满足，所以不是方程组的解，选项不符合题意；
B.不能满足，所以不是方程组的解，选项不符合题意；
C.不能满足，所以不是方程组的解，选项不符合题意；
D.是方程组的解．选项符合题意．
故选：．
方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将、、、分别代入方程组，逐一验证．
本题主要考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
移项得，
系数化为得，，
故选：．
把方程看作是关于的一元一次方程，然后解关于的方程即可．
本题考查了解二元一次方程：二元一次方程可看作某一个未知数的一元一次方程．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意；
B、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意；
C、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意；
D、和，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用公因式的确定方法：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式或相同多项式因式；定指数，即各项相同字母因式或相同多项式因式的指数的最低次幂，进而得出答案．
此题主要考查了公因式，掌握确定公因式的方法是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：把和代入方程得：
，
由解得：，
把代入得：，
解得：，
则．
故选：．
把与的值代入方程，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

7.【答案】
 

【解析】解：每人出文，多文，且已经列出一个方程，
表示买这件物品的人数，表示这件物品的价格．
又每人出文，少文，
．
故选：．
由已经列出的方程，可得出表示买这件物品的人数，表示这件物品的价格，结合“每人出文，少文”，即可列出另一方程，此题得解．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，即，
整理得：．
则小长方形的长与宽的差是．
故选：．
设小长方形的长为，宽为，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出的值，即为长与宽的差．
此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，注意整体思想的运用．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原式
，
，，，，，，，，
的个位数字为，，，四个数字的循环．
，
的个位数字是．
故选：．
在代数式前面乘以，代数式的值不变，连续使用平方差公式，找到规律即可求出代数式的值；通过列举，找到的个位数字的循环规律即可．
本题考查了平方差公式，尾数特征，解题的关键是在代数式前面乘以，构造平方差公式．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意可得
，
所以有，，，
由图中可知，，，的值，由，，，，，中取得，
因为，
不妨取，则，，
这时，的值从，，中取得，
当和，计算验证，都不符合题意，
所以，这时，都符合题意．
具体数值如下图所示

所以，，，，
则，
故选：．
由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把相应的数据带入验证，可得，，，的值．
先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即．
本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】】解：，，
．
故答案为：．
首先提取公因式分解因式，进而将已知代入求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：当，时，





，
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】
 

【解析】解：把与代入得：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
则原式．
故答案为：．
把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出与的值，把甲结果代入第二个方程求出的值即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

17.【答案】
 

【解析】解：
，
，即，解得，
故答案为：．
由所给定义可得到关于的方程，解方程即可求得的值．
本题主要考查整式的运算及方程，正确理解阶行列式的定义是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：在图中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积，
故可得：，可以验证平方差公式；
在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，
可得：，可以验证平方差公式；
在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，
可得：，不可以验证平方差公式．
故答案为：．
针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．
 

19.【答案】解：，
由得，
解得．
将代入得，
解得：
所以原方程组的解为：．
 ，
由得，
，
由得，
由得，
．
将代入得．
．
所以原方程组的解为．
 

【解析】先用加减消元法消掉，求出值，把代入第一个方程求出．
先将方程整理，再用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是跟据方程选择合适的消元方法．
 

20.【答案】解：，
，
．

，
，
是完全平方式，
，
．
 

【解析】依据完全平方公式可知即可求解；
由题意可知的值，再依据完全平方公式的特点“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知．
本题考查了完全平方公式，关键在于要理解它的特征，灵活运用．
 

21.【答案】解：原式；
原式
．
 

【解析】原式去括号化简；
先去小括号，再合并同类项．
本题考查整式的混合运算，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则是解题关键．
 

22.【答案】解：原式
，
当时，
原式


．
 

【解析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

23.【答案】解：设甲种口罩购进了盒，乙种口罩购进了盒，
依题意得：，
解得：，
答：甲种口罩购进了盒，乙种口罩购进了盒．
个，个，
，
购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
 

【解析】设甲种口罩购进了盒，乙种口罩购进了盒，根据总价单价数量，结合用元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，列出二元一次方程组，解方程组即可；
利用购进口罩的总数量每盒的个数购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数该校师生人数，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；利用购进口罩的总数量每盒的个数购进数量，求出购进口罩的总数量．
 

24.【答案】两数和的完全平方公式  不彻底 
 

【解析】解：第二步到第三步使用的是公式，
即两数和的平方，
故答案为：两数和的完全平方公式；
，
该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是，
故答案为：不彻底，；
设，





．
完全平方式是两数的和或差的平方，等于这两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
将第四步用完全平方公式法继续进行因式分解即可；
按照例题的分解方法进行分解即可．
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
 

25.【答案】  是
 

【解析】解：一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”，
最小的“长平数”的百位数字为，十位数字与个位数字为，
最小的“长平数”为：；
，
是“长久数”；
故答案为：；是；
设这个数的百位数字为，十位数字为，
这个数是“长平数”，
这个三位数为：，
这个数是“长久数”，
．
化简可得：．
．
，
．
这个三位数为：，，，，，，，，
它既能被整除，又能被整除，
满足这样条件的三位数是．
设这个最小的“长久数”为，
则．
化简整理可得：，
或．
解得：不合题意，舍去或．
最小的“长久数”是．
利用“长平数”和“长久数”的定义进行解答即可；
设这个数的百位数字为，十位数字为，依据“长平数”和“长久数”的定义得到关于，的式子，从而确定这个三位数，再根据它既能被整除，又能被整除，进行合理的取舍；
设这个最小的“长久数”为，利用“长久数”的定义得出关于，式子，依据数位上数字的特征即可确定，的值，结论可求．
本题主要考查了因式分解的应用，数位上的数字的特征，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
 

26.【答案】
 

【解析】解：

；



；

连接，如图，

由可得的面积，
由可得：三角形的面积为，
所以，的面积，
故答案为：．
利用列式，然后化简即可；
利用列式，然后化简即可；
利用、的结论求出的面积和的面积，然后把它们相加即可．
本题考查了整式的混合运算和列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．也考查了正方形的性质和三角形面积公式，熟练掌握割补法求面积是解题的关键．