2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 北京卷 （含答案）

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷（北京卷）

数学

一、选择题

1.已知集合，则（   ）

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（   ）

A. B. C. D.

3.在的展开式中，的系数为（   ）

A. B.5 C. D.10

4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（   ）

A. B. C. D.

5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ）

A.4 B.5 C.6 D.7

6.已知函数，则不等式的解集是（   ）

A. B. C. D.

7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为，P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段的垂直平分线（   ）

A.经过点O B.经过点P C.平行于直线 D.垂直于直线

8.在等差数列中，，，记,则数列（   ）

A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项

9.已知，则“”存在使得”是“”的（   ）

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件 

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（   ）

A. B.

C. D.

二、填空题

11.函数的定义域是_________.

12.已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________.

13.已知正方形的边长为2，点P满足，则=_________；=_________.

14.若函数的最大值为2，则常数φ的一个取值为_________.

15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在,,这三段时间中，在的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题

16.如图，在正方体中，E为的中点，

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值。

17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，

条件①：,；

条件②：，。

注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。求：

（1）a的值；

（2）和的面积.

18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。

（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为。假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小。（结论不要求证明）

19.已知函数。

（1）求曲线的斜率等于的切线方程；

（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值.

20.已知椭圆过点，且。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线交椭圆C于点，直线，分别交直线于点P，Q.求的值.

21.已知是无穷数列，给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；

②对于中任意一项，在中都存在两项，使得.

（1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

参考答案

1.答案：D

解析：由题意得，，故选D.

2.答案：B

解析：由题意知，，所以，故选B.

3.答案：C

解析：由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C.

4.答案：D

解析：将三视图还原为直观图(图略)，知该三棱柱是正三棱柱，其高为2，底面是边长为2的等边三角形，正三棱柱的上、下两个底面的面积均为，三个侧面的面积均为，故其表面积为，选D.

5.答案：A

解析：设该圆的圆心为，则圆的方程为，该圆过点，，此式子表示点在以为圆心，1为半径的圆上，则点到原点的最小值为，故选A.

6.答案：D

解析：函数，则不等式的解集即的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象(图略)，结合图象易得的解集为，故选D.

7.答案：B

解析：连接，由题意及抛物线的定义可知，则为等腰三角形，故线段的垂直平分线经过点.故选B.

8.答案：B

解析：设等差数列的公差为，，，，，.令，则，时，；时，.，，，，，当时，，且，，有最大项，无最小项，故选B.

9.答案：C

解析：若存在使得，则当，时，，则；当，时，，则.若，则或，，即，，故选C.

10.答案：B

解析：连接圆心与圆内接正边形的各顶点，则圆内接正边形被分割成个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为，底角均为，所以等腰三角形的底边长均为，故单位圆的内接正边形的周长为；连接圆心与圆外切正边形的各顶点，则圆外切正边形被分割成个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底边长均为，故单位圆的外切正边形的周长为.因为单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长的算术平均数为的近似值，所以，所以，故选A.

11.答案：

解析：函数的自变量满足，即定义域为.

12.答案：；

解析：双曲线中，，，则的右焦点的坐标为，的渐近线方程为，即，即，则的焦点到其渐近线的距离.

13.答案：；

解析：解法一 如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点为的中点，在三角形中，，.

解法二 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，.

14.答案：（符合都可以，答案不唯一）

解析：易知当，同时取得最大值1时，函数取得最大值2，故，则，故常数的一个取值为.

15.答案：①②③

解析：由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力明显低于时的，故④错误.

16.答案：（1）在立方体中，

四边形是平行四边形

面，面

面

（2）分别以、、为轴，z轴建系，设正方体棱长为2

则   

设面的法向量为，

  令，则，

，

直线与面所成角的正弦值为

17.答案：（1）选①：由余弦定理，

得

选②：，

，

由正弦定理，，则，

（2）选①：

由正弦定理，，则

选②：

18.答案：（1）设男生、女生支持方案一的事件分别为，古典概型

（2）设抽出的男生有X人支持方案一，女生中有Y人支持方案一，则X服从超几何分布

所求

由题意X与Y独立所求

（3）

设校一年级学生方案二支持概率

19.答案：

（1）设切点为

切线

（2）定义域R   

为偶函数

关于y轴对称

只须分析既可

当不合题意舍

  ：在处切线

令 得；令时 

令

20.答案：（1）解：，上代入得，

椭圆C的方程为

（2）①当：时，不妨设

:

，同理得

②当：消x

设，，

或，，

:

当

，同理

综上①②所述：

21.答案：（1）当时，

又不满足性质①

（2）任取正整数有

故因此满足性质①

任取正整数

若n为奇，取，则

此时

若n为偶，取，,则

此时

故满足性质②

综上同时满足性质①和性质②

假设时有，对由性质②

（3）正整数，使

又递增，

若，则

，

此时由可知

又，

又

且

此时

若，则，，

，

同上

又

同上可知，

综上由①②知为等比数列