2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅲ卷（含答案）

这是一份2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅲ卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则中元素的个数为(   )A. 2   B. 3 C. 4  D. 52.若，则(   )A.  B.  C.  D.i3.设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为(   )A．0.01 B．0.1 C．1 D．104.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）(   )A.60  B.63  C.66  D.695.已知，则(   )A.  B.  C.  D. 6.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为(   )A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线7.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为(   )A． B． C． D．8.点到直线距离的最大值为(   )A．1 B． C． D．29.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(   )A.  B.  C.  D. 10.设，，，则(   )A． B.  C.  D. 11.在中，，，则(   )A.  B.2 C.4 D.812.已知函数，则(   )A. 的最小值为2  B. 的图像关于轴对称C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于直线对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若满足约束条件，则的最大值为_____.14.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为___.15.设函数，若，则____.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）设等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）记为数列的前项和.若，求.18. （12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0,200]（200,400]（400,600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次人次>400空气质量好  空气质量不好  附：，19. （12分）如图，在长方体中，在分别在棱，上，且，，证明：（1）当时，;（2）点在平面内.20. （12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围.21. （12分）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点.（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为与坐标轴交于两点.（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)设.（1）证明：；（2）用中的最大值，证明：
参考答案1.答案：B解析：集合，集合，，中有3个元素，故选B.2.答案：D解析：，，，故选D.3.答案：C解析：样本数据的方差为0.01，，样本数据的方差为，故选C.4.答案：C解析：由题意可得，当时，，，，，，故选C.5.答案：B解析：，，故选B.6.答案：A解析：以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，，，，点的轨迹为圆，故选A.7.答案：B解析：通解 联立抛物线方程与直线方程，可得点，或，.，，即，，抛物线的方程为，其焦点坐标为，故选B.秒解 根据抛物线的对称性可知或，代入抛物线方程，得，抛物线的方程为，其焦点坐标为，故选B.8.答案：B解析：解法一 由点到直线的距离公式知点到直线的距离.当时，；当时，，要使最大，需且最小，当时，，故选B.解法二 记点，直线恒过点，当垂直于直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故选B.9.答案：C解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥，将其放入正方体中，如图，易知，，故其表面积为，故选C.10.答案：A解析：，，，.，，，，，故选A.11.答案：C解析：解法一 在中，，则，所以.由余弦定理知，所以.由正弦定理，得，易知，所以，.故选C.解法二 在中，，，，所以由余弦定理知，所以，所以是等腰三角形.过点作于点，则，，所以.故选C.12.答案：D解析：由题意得.对于A，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以A错误.对于B，，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误.对于C，，，则，的图象不关于直线对称，所以C错误.对于D，，，所以，的图象关于直线对称，所以D正确.故选D.13.答案：7解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点时，取得最大值，.解法二 易知的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入，即可求得最大值.联立得解得代入中可得；联立得解得代入中可得；联立得解得代入中可得.通过比较可知，的最大值为7.14.答案：解析：由双曲线的一条渐近线为可知，，即.在双曲线中，，所以，所以.15.答案：1解析： 由于，故，解得.16.答案：解析：解法一 如图，在圆锥的轴截面中，，，，圆内切于，为切点，连接，则.在中，.易知，则.设圆锥的内切球半径为，则，在中，，即，所以，圆锥内半径最大的球的体积为.解法二 如图，记圆锥的轴截面为，其中，，，在中，，则.设的内切圆的半径为，则，所以圆锥内半径最大的球的体积为.17.答案：(1)(2)解析：(1)设的公比为，则.由已知得解得，.所以的通项公式为.(2)由（1）知.故.由得，即.解得（舍去），.18.答案：（1）该市一天的空气质量等级为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09（2）350（3）有，理由见解析.解析：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为.（3）根据所给数据，可得列联表： 人次人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得.由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析： （1）如图，连结，.因为，所以四边形为正方形，故.又因为平面，于是.所以平面.由于平面，所以.（2）如图，在棱上取点，使得，连结，，.因为，，，所以，于是四边形为平行四边形，故.因为，，，所以，，四边形为平行四边形，故.于是.所以四点共面，即点在平面内.20.答案：（1）详见解析(2).解析：(1).当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递增.当时，令，得.当时，；当时，；当时，.故在，单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点.当时，为的极大值点，为的极小值点，此时，且，.根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得，因此的取值范围为.21.答案：（1）；（2）解析： （1）由题设可得，得，所以的方程为.（2）设，，根据对称性可设，由题意知.由已知可得，直线的方程为，所以，.因为，所以，将代入的方程，解得或.由直线的方程得或8.所以点，的坐标分别为，；，.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.22.答案：（1）（2）解析： （1）因为，由得，所以与轴的交点为；由得，所以与轴的交点为.故.（2）由（1）可知，直线的直角坐标方程为，将，代入，得直线的极坐标方程.23.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析： （1）由题设可知，均不为零，所以（2）不妨设，因为，，所以，，.由，可得，故，所以.