2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)教师

这是一份2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)教师，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年普通高等学校
招生全国统一考试
数学(山东卷)
(本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|20,b>0,且a+b=1,则(　　)
A.a2+b2≥12 B.2a-b>12
C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤2
答案ABD
解析∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥12,故A正确;
∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,
∴a-b>-1,
∴2a-b>2-1=12,故B正确;
∵a+b=1≥2ab,
∴ab≤14,log2a+log2b=log2ab≤log214=-2,故C错误;
∵a+b=1≥2ab,∴2ab≤1,(a+b)2=a+b+2ab≤2,∴a+b≤2,故D正确,故选ABD.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pi.(　　)
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
答案AC
解析若n=1,则p1=1,H(X)=-p1log2p1=-log21=0,∴A正确;
若n=2,令p1=13,p2=23或p1=23,p2=13,均有H(X)=-13log213+23log223,∴B错误;
H(X)=-∑i=1n1nlog21n=-1nlog21n+…+1nlog21nn个=-n×1n·log21n=-log21n=log2n,∴H(X)随n的增大而增大,∴C正确;
H(X)=-∑i=12mpilog2pi=-∑i=1m(pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i),H(Y)=-∑i=1m((pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i)).
因为(pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i)=pilog2(pi+p2m+1-i)+p2m+1-ilog2(pi+p2m+1-i)>pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i,所以H(X)>H(Y),故D错误.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 
答案163

解析如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.
由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,
∴x1+x2=103,
∴|AB|=103+2=163.
14.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 
答案3n2-2n
解析数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.
所以{an}的前n项和为Sn=n×1+n(n-1)2×6=3n2-2n.
15.

某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为　　　　　cm2. 
答案52π+4
解析作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.
设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,
∴AP=7-2-3x=5-3x,
∴tan∠AOP=APOP=5-3x7-5x.
又∵∠AOP=∠HAP,
∴tan∠HAP=QGAQ=12-77-2=1=tan∠AOP,
∴5-3x7-5x=1,解得x=1.
∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=22,
∴S阴=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×π-π4×(22)2+12×22×22−12π=3π+4-π2=52π+4.
16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　　. 
答案22π
解析如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,

∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
设点O1是B1C1的中点,则O1D1=3,易证D1O1⊥平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=2.即P在以O1为圆心,以2为半径的圆上.
取BB1,CC1的中点分别为E,F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,
∴O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,
∴∠EO1F=90°,
∴交线EPF=14×22×π=22π.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在①ac=3,②csin A=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6,　　　　　? 
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解方案一:选条件①.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.
由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,
由此可得b=c.所以B=C=π6.
由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.
由②csin A=3,即csin2π3=3,
所以c=b=23,a=6.
因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=23.
方案三:选条件③.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.
由③c=3b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.
18.(12分)
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
解(1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q=12(舍去),q=2.
因为a1q2=8,所以a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
20.(12分)

如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
解(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.
所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.
所以l⊥平面PDC.
(2)以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),则DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).
由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).
设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,
则n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.
可取n=(-1,0,a).
所以cos=n·PB|n||PB|　=-1-a31+a2.
设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ=33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.
因为331+2aa2+1≤63,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.
21.(12分)
已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-1x.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为-2e-1,2.
因此所求三角形的面积为2e-1.
(2)由题意a>0,当0