2021中考数学真题知识点分类汇编-圆解答题2-切线的判断与性质（含答案）

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2021中考数学真题知识点分类汇编-圆解答题2-切线的判断与性质（含答案）

一．切线的判定与性质（共46小题）
1．（2021•广安）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

2．（2021•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BE＝BC，延长CE交AD于点D
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．

3．（2021•西宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，交BC于点E，过点D作DF∥BC，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．

4．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 　 　．

5．（2021•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长EC，AB交于点F
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．

6．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，DG交线段AC于点G，交AB于点E，连接DB，CF
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12

7．（2021•西藏）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．

8．（2021•朝阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CA交⊙O于点M，交OD于点N，连接AD，ME
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝

9．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．

10．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC

11．（2021•抚顺）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，BC，过点A作AD⊥BC，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

12．（2021•郴州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．

13．（2021•梧州）如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．

14．（2021•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC于点E，直线EF⊥AC于点F
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．

15．（2021•黔东南州）如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，交⊙O于点B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长．

16．（2021•雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，垂足为P，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

17．（2021•东营）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．

18．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，交⊙O于点E，连接EB，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．

19．（2021•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，CF
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．

20．（2021•威海）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，点P在CD延长线上，且PF＝PG．
（1）求证：PF为⊙O切线；
（2）若OB＝10，BF＝16，BE＝8

21．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．

22．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8

23．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，与DC交于点G，OA＝OB
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．

24．（2021•娄底）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，延长CA至M，连结BM，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．

25．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长．

26．（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，连接OP，过点B作BD∥OP，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

27．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

28．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F
（1）求证：BF是⊙A的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．

29．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

30．（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，F在直线AB上，且DF⊥BC，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．

31．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，与AO相交于点E，连接CE
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．

32．（2021•广元）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B＝，求线段DF的长．

33．（2021•怀化）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

34．（2021•新疆）如图，AC是⊙O的直径，BC，M为BC的中点，OM与BD交于点F，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：∠CDE＝∠DBE；
（3）若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长．

35．（2021•菏泽）如图，在⊙O中，AB是直径，垂足为H，E为，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．

36．（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

37．（2021•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．

38．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．

39．（2021•资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

40．（2021•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点的中点，点C在BA的延长线上
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．

41．（2021•南充）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，G，OA＝4，求GF的长．

42．（2021•嘉峪关）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

43．（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

44．（2021•乐山）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

45．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，DE⊥AE，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

46．（2021•连云港）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．


参考答案与试题解析
一．切线的判定与性质（共46小题）
1．（2021•广安）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

【解析】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD＝，
∴，
则AE＝2BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE3+BE2＝AB2，
即（3BE）2+BE2＝105，
解得：BE＝，则AE＝，
∴，
解得：AD＝8，DE＝6，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
设BC＝x，
∴，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
2．（2021•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BE＝BC，延长CE交AD于点D
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．

【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACE+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，
又∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED+∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°，
即AD⊥AE，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由tan∠ACE＝＝tan∠D可设AE＝a，
∵OE＝8，
∴OA＝a+3，AB＝2a+8，
∴BE＝a+3+3＝a+8＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC3，
即（2a+6）7＝（a+6）2+（4a）2，
解得a1＝4（舍去），a2＝2，
∴BC＝a+3＝8．

3．（2021•西宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，交BC于点E，过点D作DF∥BC，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．

【解析】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BC∥DF，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB＝90°，
即∠ADF＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC＝12，AF＝15，
∴BF＝AF﹣AB＝3，
∵∠F＝∠F，∠FBD＝∠FDA＝90°，
∴△FBD∽△FDA，
∴BF：DF＝DF：AF，
∴DF2＝BF×AF＝4×15＝45，
∴DF＝＝3．
4．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 　　．

【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
又∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
又∵∠ABC＝∠D，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由（1）可得∠ABC+∠BAC＝90°＝∠D+∠DEA，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠DEA，
∴CE＝CA＝CD＝5，
∴DE＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12，
∵∠ACB＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠D，
∴△ABC∽△EDA，
∴＝，
即＝，
解得，AD＝．
5．（2021•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长EC，AB交于点F
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．

【解析】（1）证明：如图1，连接OC，

∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠OBC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作OG⊥AE于G，OD，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，OG＝EC，

设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，CD＝3，
∴EC＝＝2，
∴OG＝2，GD＝x﹣6，
由勾股定理得：OD2＝OG2+DG2，
∴x2＝（2）2+（x﹣1）3，
解得：x＝4.5，
∴⊙O的半径是7.5．
6．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，DG交线段AC于点G，交AB于点E，连接DB，CF
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12

【解析】（1）证明：如图1，延长DB至H，

∵DG∥BC，
∴∠CBH＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠CBH，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）解：解法一：如图2，连接OF，

∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴，
∴OF⊥AB，
∵BD⊥AB，
∴OF∥BD，
∴△EFO∽△EDB，
∴，
∵AE＝OE，
∴，
∴＝，
∴OF＝4，
∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，
∴DE＝＝＝7．
解法二：如图2，连接OF，
∵AE＝OE，
∴OA＝OF＝5OE，
Rt△OEF中，tan∠OEF＝，
Rt△BED中，tan∠OEF＝＝，
∴BE＝6，
由勾股定理得：DE＝＝＝3．
7．（2021•西藏）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．

【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，

∵tan∠CAD＝＝，AD＝7，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA7+AD2＝OD2，
即OA2+42＝（OC+2）2＝（OA+2）7，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝，
∴tanB＝tan∠CAD＝＝，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC6+BC2，
∴65＝5AC2，
∴AC＝，
∴BC＝．
8．（2021•朝阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CA交⊙O于点M，交OD于点N，连接AD，ME
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝

【解析】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
∵⊙O的半径为6，tanE＝，
∴ON＝OA＝，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣3＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN•DF＝DN•CD，
即4DF＝2×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝，
在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．

9．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．

【解析】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
 由（1）可知AO是△ABC的对称轴，
∴OE垂直平分BC，
∴CE＝BC＝3，
设半径为r，在Rt△EOC中，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝4，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×3×3
＝4π﹣9．

10．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC

【解析】（1）证明：连结AE，OE，

∵∠BAE＝∠BOE∠BOE，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，

∵∠CBF＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CBF＝45°，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE＝BE＝4×sin45°＝2，
∵BE＝2EC，
∴EC＝2，BC＝4，
在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝3，
∵CG⊥BF，BF⊥AB，
∴AB∥CG，
∴△FCG∽△FAB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝7，
∴BF＝12，
在Rt△FCG中，CF＝，
在Rt△ABF中，AF＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠BAF，
∴cos∠BAD＝cos∠BAF，
即＝，
∴＝，
∴AD＝．
11．（2021•抚顺）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，BC，过点A作AD⊥BC，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

【解析】解：（1）如图，连接OC，
∵＝，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝CB＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OA⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得AC＝OA＝6，∠OAC＝60°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝5AC＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴△CFD∽△AFO，
∴＝，
又∵＝sin30°＝，
∴＝，
∴＝，
即DF＝OD＝．

12．（2021•郴州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．

【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵点D是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∵BC∥DE，
∴∠E＝45°，
而∠ODE＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴OE＝OD＝5，
∴CE＝OE﹣OC＝5﹣8．

13．（2021•梧州）如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．

【解析】（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠F＝∠OAC，
∵∠OAB＝∠F，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴OA是∠BAC的角平分线，
∵⊙O与AD相切于点B，
∴OB是⊙O的半径，OB⊥AD，
∵∠ACD＝90°，
∴OC⊥AC，
∴OB＝OC，
∴点C在⊙O上，
∵OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：OB＝OC＝3，OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的直径，
∴CE＝2OC＝8，
∴CD＝CE+DE＝6+2＝8，OD＝OE+DE＝OC+DE＝3+2＝8，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD＝＝，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠ODB＝∠ADC，
∴△ODB∽△ADC，
∴＝，
∴AC＝＝＝6，
∵∠F＝∠OAC，
∴tanF＝tan∠OAC＝＝＝．
14．（2021•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC于点E，直线EF⊥AC于点F
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．

【解析】（1）证明：如图，连接OE，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵OB＝OA，
∴OE∥AC，
又∵HF⊥AC，
∴OE⊥HF，
∴HF是⊙O的切线．
（2）解：过点E作EG⊥AH于G，
∴∠EGB＝90°，EB＝6，
∵cos∠ABE＝，
∴BG＝2，EG＝4，
∵∠H+∠HEG＝90°，∠GEO+∠HEG＝90°，
∴∠H＝∠GEO，
在Rt△BEA中，
cos∠ABE＝，EB＝6，
∴AB＝18，
∴OB＝AB＝2，
∴GO＝OB﹣BG＝7，
∴tanH＝tan∠GEO＝＝．
15．（2021•黔东南州）如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，交⊙O于点B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长．

【解析】（1）证明：连接OB，

∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：设OP与AB交于点D．

∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵，
∴PA＝8，
∴PD＝＝，
在Rt△APD和Rt△APO中，，，
∴，
∴PO＝．
16．（2021•雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，垂足为P，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

【解析】证明：（1）连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥CE于F，
由（1）知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝OC•CE＝，
∴3×4＝8CP，
∴CP＝，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝，
在Rt△CPE中，PE＝＝＝，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝CE•DF＝，
∴4DF＝×，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．

17．（2021•东营）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．

【解析】（1）证明：连接OD，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝7，
在Rt△ADF中，由勾股定理得DF2＝AD2﹣AF3＝3，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF＝，
∴线段OF的长为．
18．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，交⊙O于点E，连接EB，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．

【解析】（1）证明：连接OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图，设⊙O的半径为x，
∴OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF7，
∴x2+202＝（x+10）3，
解得：x＝15，
∴⊙O的半径为15；

∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB3，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6，
∴AE＝2a＝12，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴，即，
∴AD＝9．
19．（2021•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，CF
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．

【解析】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝2×＝，
∴AC＝＝＝，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝2x，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）4＝3x（3x+8），
解得x＝（取正值），
∴FD＝7x＝．

20．（2021•威海）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，点P在CD延长线上，且PF＝PG．
（1）求证：PF为⊙O切线；
（2）若OB＝10，BF＝16，BE＝8

【解析】（1）证明：连接OF，如图，

∵PF＝PG，
∴∠PFG＝∠PGF，
∵∠BGE＝∠PGF，
∴∠PFG＝∠BGE，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵CD⊥AB，
∴∠BGE+∠OBF＝90°，
∴∠PFG+∠OFB＝90°，
∴∠PFO＝90°，
∵OF是⊙O半径，
∴PF为⊙O切线；

（2）解：连接AF，过点P作PM⊥FG，如图，

∵AB是⊙O直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AB2＝AF2+BF4，
∵OB＝10，
∴AB＝20，
∵BF＝16，
∴AF＝12，
在Rt△ABF中，tanB＝，
在Rt△BEG中，，，
∴GE＝6，GB＝10，
∵BF＝16，
∴FG＝6，
∵PM⊥FG，PF＝PG，
∴MG＝FG＝8，
∵∠BGE＝∠PFM，∠PMF＝∠BEG＝90°，
∴△PFM∽△BGE，
∴，即，
解得：PF＝6，
∴PF的长为5．
21．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．

【解析】（1）证明：连接OD，

∵BD平分∠ABC．
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBC＝∠ODB，
又∵BC⊥CD，
∴∠C＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AE交OD于点H，

∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠HEC＝90°，
∵BC⊥CD，OD⊥DC，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴四边形HECD是矩形，
∴DH＝CE＝1，HE＝CD，HE∥CD，
∴OD⊥AE，
∴AH＝HE，
∵AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴OH＝OD﹣DH＝6﹣1＝4，
∴AH＝，
∴HE＝AH＝3，
∴CD＝HE＝3，
∵HE∥CD，
∴△OAH∽△OFD，
∴，
∴，
∴DF＝．
22．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8

【解析】证明：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝8，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝8，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．

方法二：解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝8，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝3，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
过F作FH⊥BE于F，
则BH＝4.5，
∵∠B的余弦等于0.3，
∴BF＝6.5×2.6＝．

23．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，与DC交于点G，OA＝OB
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．

【解析】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵DF是圆O 的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DC⊥OE，
∴DG＝CD＝，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG＝，cos∠DOG＝，
∴OD＝＝＝2，
OG＝OD•cos∠DOG＝6×＝，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝6π﹣．

24．（2021•娄底）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，延长CA至M，连结BM，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．

【解析】证明：（1）∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵MB＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴∠MBE+∠EBC＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴BM与⊙O相切；
（2）AC2＝CN•AD，
理由如下：∵∠ACD＝∠ABD，∠DBC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD+∠DBC＝90°，
∵AN∥BM，BM⊥BC，
∴AN⊥BC，
∴∠N+∠DCB＝90°，
∴∠N＝∠DBC，
∴∠N＝∠DBC＝∠DCA＝∠DAC，
∴△DAC∽△ANC，
∴，
∴AC2＝CN•AD．
25．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长．

【解析】（1）证明；连接OD，
∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，
∴∠AOB＝60°，
又∵CD∥AO，
∴∠C＝∠AOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵OB＝OD，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠ADO＝∠ABO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，
根据弧长公式可得，＝＝，
答：弧CD的长．

26．（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，连接OP，过点B作BD∥OP，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

【解析】（1）证明：连接OD，

∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；

（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∴∠APO＝∠AOP，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
27．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

【解析】（1）证明：连结OD，如图所示：

∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣5r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
28．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F
（1）求证：BF是⊙A的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．

【解析】解：（1）证明：连接AD，如图，

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵AE⊥AC，
∴∠CAB+∠EAB＝90°．
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE＝∠BAD．
在△ABF和△ABD中，
，
∴△ABF≌△ABD（SAS）．
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴BF是⊙A的切线．
（2）由（1）得：BF⊥AE，
∵AC⊥AE，
∴BF∥AC．
∴△EFB∽△EAC．
∴，
∵BE＝5，CB＝AC＝20，
∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，
∴．
∴BF＝4．
在Rt△BEF中，
EF＝．
29．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

【解析】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝4，
由（1）得OD＝＝2，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+8＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝8×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．

30．（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，F在直线AB上，且DF⊥BC，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．

【解析】解：（1）如图，连接OD，

∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠CEF＝∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠A＝＝，则AD＝6BD，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）8＝62，
解得BD＝，
由（1）知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF＝∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF＝90°，
∴tan∠BDF＝＝，则DE＝2BE，
在Rt△BDE中，BD＝，
由勾股定理可得，BE6+DE2＝BD2，即BE6+（2BE）2＝（）4，
解得BE＝，则DE＝，
由（1）知BE∥OD，
∴＝，即＝，解得EF＝．
31．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，与AO相交于点E，连接CE
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．

【解析】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴＝，
即＝，
∴EH＝，
∵BC＝＝＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，
∴CE＝＝＝．

32．（2021•广元）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B＝，求线段DF的长．

【解析】解：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴．
∴OD⊥EC．
∵DF∥CE，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切线．
（2）连接DE，如图，

∵，
∴ED＝DC．
∵AD是⊙O的直径，
∴DE⊥AE．
∴∠BED＝90°．
∵sin∠B＝，sin∠B＝，
∴DE＝8．
∴BE＝，DC＝DE＝3．
∴BC＝BD+CD＝5+3＝8．
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA．
∴．
∴BA＝2BD＝10，AC＝3DE＝6．
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6．
∵∠ADF＝90°，DE⊥AF，
∴△DEF∽△AED．
∴．
∴EF＝．
∴FD＝．
33．（2021•怀化）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【解析】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝3，
∴AC＝7，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝．
34．（2021•新疆）如图，AC是⊙O的直径，BC，M为BC的中点，OM与BD交于点F，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：∠CDE＝∠DBE；
（3）若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长．

【解析】（1）证明：连接OD，如图：

∵CD平分∠ACE，
∴∠OCD＝∠DCE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接AB，如图：

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ODC，
∴∠ABD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠DBC＝90°，
∵∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DBC，即∠CDE＝∠DBE；
（3）解：Rt△CDE中，DE＝6，
∴＝，
∴CE＝4，
由（2）知∠CDE＝∠DBE，
Rt△BDE中，DE＝6，
∴＝，
∴BE＝9，
∴BC＝BE﹣CE＝7，
∵M为BC的中点，
∴OM⊥BC，BM＝，
Rt△BFM中，BM＝，
∴＝，
∴FM＝，
∴BF＝＝．
35．（2021•菏泽）如图，在⊙O中，AB是直径，垂足为H，E为，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．

【解析】解：（1）如图，连接OE，

∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝＝，
设EG＝7x，OG＝5x，
∴OE＝＝＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝4，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
36．（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

【解析】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝OA＝1，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝7∠BAC＝30°，CD⊥AB，
∴CD＝OC＝2，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝5，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
＝×（6﹣×π×25
＝2﹣﹣π．


37．（2021•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．

【解析】（1）证明：
连接OE，OF，

∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD＝OE，OD是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝EC＝FC＝1，
∴BC＝BE+EC＝4，又AC＝6，
∴S阴影＝（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
＝×（）
＝﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
38．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．

【解析】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝6OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
39．（2021•资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

【解析】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝8，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF＝．
40．（2021•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点的中点，点C在BA的延长线上
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．

【解析】（1）证明：连结OD，如图所示：

∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图所示：

∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E为的中点，
∴∠EOD＝60°，
∴△EOD为等边三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2，
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°，
∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝，
∴CD＝2．
41．（2021•南充）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，G，OA＝4，求GF的长．

【解析】（1）证明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D，E分别是AC，
∴OE＝AE＝OA＝，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．

42．（2021•嘉峪关）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

【解析】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥BC，
∴＝，
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴（5x）2+43＝（5x）2，
解得，x＝6，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，
∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
43．（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

【解析】(1)证明:连接OC,

∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
44．（2021•乐山）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

【解析】解：（1）连接OC，如图：

∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：

∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝6，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+2，
∴＝5，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD4＝BD•AD，
∴（x+）7＝1×（2x+7）或x＝﹣，
∴⊙O的半径为．
45．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，DE⊥AE，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

【解析】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠7＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠3，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝2＝EM，
DE＝＝3，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE3+BE2＝OB2，
即62+（2x）8＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××5
＝．

46．（2021•连云港）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．

【解析】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△BAC≌△DAC（SAS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴CD⊥AD，
即AD是⊙C的切线；
（2）解：由（1）可知，∠EDC＝∠ABC＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA．
∵S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，
∴S△EDC：S△EBA＝1：8，
∴DC：BA＝1：．
∵DC＝CB，
∴CB：BA＝2：．
∴tan∠BAC＝＝．