黑龙江省哈尔滨市第三中学2022年第四次高考模拟考试理数试卷及参考答案

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2022年哈三中高三学年第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案一、选择题 1—12 CDBBA BBCBB AC二、填空题 36 14. 且 15. 16. ；三、解答题17.(1) 年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买哈尔滨红肠的人数255075无意向购买哈尔滨红肠的人数151025总计4060100 2分, 5分所以有的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关。 6分（2）的可能取值为0,1,2,3 ，， 10分的概率分布列为0123 11分 12分18. （Ⅰ）法一:取的中点,因为,,所以为平行四边形,所以,又,所以又平面，平面，则直线// 平面……………….5分法二:证明平面//平面,平面,则直线// 平面（2）因为平面,所以,以为原点,建立坐标系,设,……………………………7分设平面的法向量为，由，令，则，所以，设平面的法向量为，由得，则所求余弦值为………..12分19. （1）， 2分因为，….5分所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列。 6分（2） 7分 ① ②①②得所以, 10分时, ,所以 12分（Ⅰ）设动圆圆心，半径为.动圆和圆外切和圆内切，，，于是， ······································· 2分故动圆圆心的轨迹为以，为两焦点的椭圆，且，，，，所以动圆圆心的轨迹方程为. ······································· 4分（Ⅱ）当动直线的倾斜角为时，，，，此时由已知，可得，故若存在定点，则应在轴上；当动直线的倾斜角为时，，，，，此时由已知，可得，设，于是，解得或（舍）,故若存在与不同的定点，则应为. ··································· 6分下面证明定点，能使得恒成立.设，直线.联立，，. ······································· 7分，即直线与直线的倾斜角互补.分别过点作轴的垂线，垂足分别为，因为直线与的倾斜角互补，所以，故，于是，又因为，所以，即成立. 综上：存在定点，使得恒成立.············· 12分21.（Ⅰ） ..........................................3分（Ⅱ）把展开式中的以代入，得所以 ..........................................6分（III）由泰勒展开式形式，往证令，，，，易知，所以 ..........................................8分再令，易求得，所以在上递增，上递减，而，所以恒成立. ..........................................10分当时，，所以成立而当时，令，易求得，所以必存在一个区间，使得单调递减，即.综上所述，. ..........................................12分22.（Ⅰ），， ················ 2分圆心到直线的距离为，· ······································ 3分所以曲线上的点与直线上的点距离的最小值为. ··············· 4分（Ⅱ）曲线，，， ········ 6分设的参数方程为（为参数），则上的点到直线上的点的距离为（其中）， ········ 8分所以曲线上的点到直线距离的最大值为，时取到. ······································· 10分23. （Ⅰ）；……………..5分（Ⅱ）函数的最小值为,所以,因为,,,所以=当时,等号成立, 所以的最小值为2………10分