浙江金华2022年中考数学复习 专题4—函数压轴（无答案）

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1．背景：点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
  2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-（x-m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．   3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．  4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y=-（x-m）2+m+2的顶点．
（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围． 5．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．  6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 7．已知：如图，Rt△ABC在第一象限内，AB=2，AC=4，AB∥x轴，点A的坐标为（a，3），点M（m，n）是Rt△ABC内（含边界）一动点，双曲线y=（x＞0）经过点M，k的最大值与最小值之差记作p．
（1）当a=2时，
①k取到最大值时，点M在 ________（填“△ABC内部”或“BC边上”）．
②求p值．
（2）求p与a之间的函数关系式及a的取值范围． 8．已知：如图，平行四边形OABC的边OC在x轴上，∠OAB=120°，点B为（8，2），抛物线y=ax2+bx经过点A，B，点P为平行四边形OABC的对称中心．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）平移抛物线，能否使平移后的抛物线同时经过点P，点C？若能，请写出平移方式，并说明理由． 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax+1（a≠0），顶点为P，直线y=ax+1与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当a=-时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标；
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围． 10．如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点P，使得以点H、P、B、C四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在这样的点P，使得∠AFC=∠MPC？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
  11．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
（1）当k=0，m=0时，判断△AOB的类型；
（2）当k=1，m=0时，求AB的长；
（3）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
注：①平面内两点间的距离公式AB=；
②方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2满足x1+x2=-，x1•x2=． 13．如图，矩形ABCD的边AD在x轴的上，AB=2，A（m，0），D（m+n，0），且m≥0，n＞0，过点C的直线垂直直线y=x于E，交x轴于点G．
（1）如图1，当点B落在直线OE上，n=时，求E点坐标；
（2）如图2，过点A作AF⊥OE，当n=2时，求EF的长；
（3）如图3，当AD在x轴上移动时，连EB、EA，若△ABE与△BCE相似，请求出n的值． 14．如图，过反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的点P作两坐标轴的垂线，垂足分别为A，B，与反比例函数y=相交于点E，F．
（1）若PE=3AE，求k的值；
（2）当k=6时，是否是定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）试用k的代数式表示△PEF面积．   15．如图，直线y=kx+b与双曲线y=的图象分别交于点A（2，2），点B，与x轴交于点C，过点A作线段AD垂直x轴于点D，tan∠ACD=，连接AO，BO．
（1）直线y=kx+b与双曲线y=的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S△AOB=3S△AOP？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．  16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（-3，-4），B（0，-1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
  17．我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线y=2x+3与y=-x+6的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线y=2x+3与y=-x+6的交点坐标为（1，5）．请利用上述知识解决下列问题：
（1）已知直线y=kx-2和抛物线y=x2-2x+3，
①当k=4时，求直线与抛物线的交点坐标；
②当k为何值时，直线与抛物线只有一个交点？
（2）已知点A（a，0）是x轴上的动点，B（0，4），以AB为边在AB右侧做正方形ABCD，当正方形ABCD的边与反比例函数y=的图象有4个交点时，试求a的取值范围．  18．如图，直线y=kx与双曲线y=-交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=-，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．
  19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．  20．已知二次函数y=ax2-4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，-2），其对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD=，求这个二次函数的表达式；
（3）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值． （1）如图1，过点A作y轴垂线，分别交抛物线y1，y2，y3，…，yn于点P1，P2，P3，…，Pn，（Pn和点A不重合）．
①求AP1的长．
②求AP2020的长．
（2）如图2，点P从点A出发，沿y轴向上运动，过点P作y轴的垂线，交抛物线y1于点C1，D1，交抛物线y2于点C2，D2，交抛物线y3于点C3，D3，…交抛物线yn于点Cn，Dn（Cn在第二象限）．
①求PC1-PD1的值．
②求PC2020-PD2020的值．
（3）过x轴上的点Q（原点除外），作x轴的垂线分别交抛物线到y1，y2，y3，…，yn于点E1，E2，E3，…，En，是否存在线段EiEj，（i，j为正整数），使=2020，若存在，求出i+j的最小值；若不存在，说明理由．
  22．已知：等腰△ABC的底边在x轴上，其中点C与平面直角坐标系原点重合，点A为（4，0），点B在第一象限内，且其纵坐标为n，点D是AB边的中点．抛物线y=ax2+bx+c始终经过A，C两点．
（1）当△ABC是正三角形时，点B在抛物线上（如图）．求抛物线的函数表达式；
（2）若将（1）中的抛物线向下平移个单位后，发现抛物线经过点D，求n的值；
（3）若将△ABC向上平移个单位后，发现△ABC的重心与抛物线顶点也相距个单位，求n的值 23．如图，直线y=-x+6与反比例函数y=（x＞0）分别交于点B、C（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB=CD始终成立．另一直线y=mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y=（x＞0）图象于点F．
（1）当BC=5时：
①求反比例函数的解析式．
②若BE=3CE，求点F的坐标．
（2）当BE：CD=1：2时，请直接写出k与m的数量关系． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）的圆C上，C坐标为（2，0），B是圆C第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=-x2+bx+c经过C，B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证：直线BD与圆C相切；
（3）连接AD交圆C于点Q，求AQ的长． 25．如图，反比例函数y=（x＞0），点A（a，0）是x轴上的动点．B（0，4），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．
（1）当a=4时，判断点D是否在反比例函数图象上？请说明理由；
（2）当点D落在反比例函数y=（x＞0）图象上时，求a的值；
（3）在（2）的条件下，沿水平方向平移正方形，使正方形的一个顶点落在反比例函数图象上时，求点A的平移距离．  26．在平面直角坐标系中，我们定义：点P（a，b）的“变换点”为Q，且规定：当a≥b时，点Q为（b，-a）．当a＜b．点Q为（a，-b）．
（1）分别写出各点的“变换点”：（6，0）→__________；（2，2）→______；（0，3）→_________；
（2）当点A（a，-2）的“交换点”在函数y=x+1的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点，将直线l上所有的“变换点”组成一新的图形，记为M．当抛物线y=x2+c与图形M的交点个数2个或3个时，求出相应c的取值范围．