河南省许昌市、济源市、平顶山市2022届高三第三次质量检测理科数学试题（含答案）

这是一份河南省许昌市、济源市、平顶山市2022届高三第三次质量检测理科数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，为整数集，则集合子集的个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
2．已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
7．已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（，），将图像上所有点向右平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若所得的内切圆半径恰为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知正四棱柱，，，点为点的中点，点为上底面上的动点，下列四个结论中正确的个数为（ ）
①当且点位于上底面的中心时，四棱柱外接球的表面积为；
②当时，存在点满足；
③当时，存在唯一的点满足；
④当时，满足的点的轨迹长度为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量，满足约束条件则的最大值为______．
14．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．
15．神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点，预计垂直落在地面点处，在地面同一水平线上的、两个观测点，分别观测到点的仰角为15°，45°，若千米，则点距离地面的高度约为______千米（参考数据：）．

16．已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）
在2022年北京冬奥会上，甲、乙、丙三名滑雪运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互独立．
（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人中有且仅有一人晋级的概率也相等，求和；
（2）若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求的数学期望和方差．
19．（12分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．

（1）若平面，求；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
20．（12分）
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
21．（12分）
已知函数（）．
（1）当时，求的图像在点处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求圆的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
（2）设射线：（）与圆交于异于原点的一点，与曲线交于点，求与面积之比的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（12分）
已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，，证明：．
2021—2022学年高三三联模考
理科数学参考答案
一、选择题1-12.

13.7 14．1120 15.8.4 16.
18.解：(1)乙、丙两人均没有晋级的概率为，
乙、丙两人中有且仅有一人晋级的概率为，
故解得，. 分
(2)的所有可能取值为0，1，2，3.
，，由题意知，解得，分
由题意知，所以 ，
. 分
19．解：（1）,为等边三角形， .
又,,
,,,
△是圆的内接正三角形，，
,, , 即
解得，即 . 分
(2)方法一：如图所示，建立以点为坐标原点的空间直角坐标系.
设
所以，,.
设平面的法向量为，
所以，所以可得一个分
设直线与平面所成角为，
由题意得
所以当且仅当时，直线与平面所成角的正弦值最大 12分

方法二：依题意,,
所以，
设点E到平面PBC的距离为，，则
，由知，，所以
设直线与平面所成角为，
则，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值最大分
20．解：（1）依题意，解得.
所以椭圆的标准方程为分
(2)（ⅰ）由题意当时，显然符合题意；
当直线的斜率不存在时，显不然符合题意分
（ⅱ）当存在且时，设直线，
设中点是，
由，得，
由得， ①
由，得， 分
所以，由点在直线上知，
，所以. ②分
由①②得，所以且．
综合（ⅰ）（ⅱ）得直线斜率的取值范围是．分
21.解：（1）当时，，，，又
的图像在点处的切线方程为 . 分
记，则，
时，单调递减，时，单调递增，
，即
由知，
从而问题转化为对任意恒成立，
即对任意恒成立，分
记，则，
设，则，
在上单调递增，
，在上单调递增，
，即实数的取值范围为分
22．解：（1）由题意得：圆的普通方程为：，即，
圆的极坐标方程为：， 即 ；
由得：
曲线的直角坐标方程为：，即. 分
（2），，
，且，；
，
当且仅当时，与面积之比的最大值为. 分
23.解：（1）当时，，
，或，或，
解得，所以不等式的解集为．分
（2）证明：
（当且仅当时，即时等号成立）
（当且仅当时，即时等号成立）．分

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
D
A
B
C
C
A
B
A
C