新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2022届高三下学期4月第二次诊断性测试数学（理）试题（Word版含答案）

昌吉州高中2021-2022学年高三年级第二次诊断性测试

理科数学试卷

本试卷分为客观题和主观题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1、答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、选择题答案在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上的无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

2.设全集，集合，集合，则（    ）

A. B. C. D.

3.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中国人对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：

以此类推，则六十四卦中的符号“”表示的十进制数是（    ）

A.77 B.155 C.356 D.434

4.2022年2月17日—18日，呼图壁县第一届“美丽冰雪，北奥探梦”中小学速滑运动会在昌吉州呼图壁县青少年示范性综合实践基地管理中心举行。为了保障比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理、、、、、六条短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王清理三条跑道的情况共有多少种（    ）

A.120 B.80 C.60 D.40

5.已知向量，，且，，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

6.数列是等差数列，，且，，构成公比为的等比数列，则（    ）

A.1或3 B.0或2 C.3 D.2

7.已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

8.已知函数的图象过点,，，且在上仅有1个极值点，则（    ）

A. B. C.1 D.

9.已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径作圆与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

10.已知圆:，圆:，点、分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（    ）

A.4 B. C. D.

11.在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A. B. C. D.

12.若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（    ）

A.  B.

C.的最小值为 D.的最小值为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设是数列的前项和，且,则的通项公式为________.

14.若实数，，，满足，，则的最小值为______.

15.已知点是焦点为的抛物线:上的动点，且不与坐标原点重合，线段的垂直平分线交轴于点.若，则_______.

16.已知函数，则下列结论正确的有_______.

①， ②，恒成立

③关于的方程有三个不同的实根，则

④关于的方程的所有根之和为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.(12分）中，角，，的对边分别是，，,

（1）求角;

（2）若为边的中点，且，求的最大值.

18.(12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

19.（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1至9且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.

参考数据（其中）

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

20.(12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）

图1          图2              图3

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.

（1）以点，所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆（即图1中点的轨迹）的标准方程.

（2）如图3，若直线：与椭圆相切于点，斜率为的直线与椭圆分别交于点，（异于点），与直线交于点.证明：，，成等比数列.

21.(12分）对于正实数，熟知基本不等式：，其中为，的算术平均数，为，的几何平均数.现定义，的对数平均数：.

(1)设，求证：；

(2)①利用第（1）问证明不等式：；

②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，射线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且射线与曲线有异于点的两个交点，.

（1）求的取值范围；

（2）求的取值范围.

23.（10分）【选修4−5：不等式选讲】

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.

理数答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.. 14.2. 15.3. 16.①③

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.解：（1）由,得

即又由余弦定理，可得

又,

（2）∵是边的中点，

∴，

又，∴

又,当且仅当时等号成立，

∴

∴，的最大值是4.

18.（1）证明：因为，，，所以，

所以，则.因为平面，且平面，

所以，因为，所以平面.

（2）解：由（1）可知，，两两垂直，故以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，

故，，.

设平面的法向量，则

令，则.

设平面的法向量，则

令，则

则.

设二面角为，由图可知为锐角，则

19.解.（1）由题意，，

令，设关于的线性回归方程为，则，则.

∴，又，

∴关于的回归方程为，故时，.

∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒.

（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负.

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴.

∴小明最终赢得比赛的概率为

20.解：（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.

设为椭圆上一点，由题意可知，

所以点轨迹是以，为左右焦点，长轴长的椭圆，

因为，，所以，，则，

所以椭圆的标准方程为

（2）由得，

依题意，又，解得.

故直线的方程为，且.

设直线的方程为，则，且，则，

由，得，所以，

所以

即，且各项均不为零，故，，成等比数列.

21.解(1)令，有

所以，得在上单调递减.

又，故当时，，因此，当时，

(2)①要证，只要证，只要证，即证，

令，由（1）有，即得，

因此，

②由恒成立，

得恒成立，即得恒成立，

令，有恒成立，得恒成立，

所以恒成立

令，有，（注：）

ⅰ）当时，即时，易知方程有一根大于1，一根小于1，

所以在上单调递增，故有，不符；

ⅱ）当时，有，

所以，从而在上单调递减，故当时，恒有，符合.

由ⅰ、ⅱ可知，正实数的取值范围为，

因此，正实数的最大值为2.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.解：（1）射线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为.

曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为.

且射线与曲线有异于点的两个交点，.所以圆心到直线的距离，

所以当圆的半径时，射线与圆相切，故，又因为当时，有一个交点为极点，不满足题意，

当时，射线与圆只有一个交点，所以

（2）把为，代入，得到，所以，

由于，所以

所以

23.解：（1）∵，∴，即，

所以，①，或②，或③.

解①得，解②得，解③得，

综合可得或，

所以原不等式的解集为.

（2）即.

因为不等式的解集包含，

所以，对于恒成立.

因为，所以，，，

所以等价于，

即恒成立，

所以在上恒成立，

所以，解得，即实数的取值范围为.