高中数学讲义微专题28 三角函数性质学案

www.ks5u.com微专题28 三角函数及函数性质

一、基础知识：

1、正弦函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴（最值点）：

（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数

（6）单调增区间：

     单调减区间：

2、余弦函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数

（5）对称中心（零点）：

（6）单调增区间： 

     单调减区间：

3、正切函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称中心：

（5）零点：

（6）单调增区间： 

注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值

4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴：

（5）零点：

（6）单调增区间：

     单调减区间：

5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）周期：

（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可

注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。

2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质

二、典型例题：

例1：函数 （     ）

A. 在上单调递减                    B. 在上单调递增

C. 在上单调递减                      D. 在上单调递增

思路：

单调递增区间：

单调递减区间：

符合条件的只有D

答案：D

例2：函数的一个单调递减区间为（      ）

A.            B.           C.           D.

思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求

答案：D

例3：的递减区间为（     ）

A.                 B.

C.                    D.

思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于

答案：D

例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（     ）

A. 最小正周期为，一个对称中心是

B. 最小正周期为，一个对称中心是

C. 最小正周期为，一个对称中心是

D. 最小正周期为，一个对称中心是

思路： 

对称中心：

时，一个对称中心是

答案：A

例5：函数的单调递增区间为（      ）

A.                        B.

C.                       D.

思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取单调增的部分，所以可得：，即，解得：

答案：A

例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（    ）

A. 是偶函数                             B. 的最小正周期是

C. 图像关于点对称               D. 在区间上是增函数

思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。

对称轴：，不是偶函数

对称中心：，关于点对称

单调增区间：

答案：C

例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（     ）

A.                  B.                 C.                D. 

思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半

，所以间距为：

答案：B

例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______

思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：

因为关于直线对称，

思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意

答案：

例9：已知在单调递增，求的取值范围

思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得： ，即

答案：

例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________

思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合可得

答案：

三、近年好题精选

1、函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（    ）

A．关于点对称                        B．关于直线对称

C．关于点对称                         D．关于直线对称

2、（2015，湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（    ）

A.                B.              C.               D.

3、（2016，重庆万州二中）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（     ）

A.                 B.              C.              D. 

4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（    ）

A.                     B.                    C.                 D. 

5、（2015，天津）一直函数，若函数在内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_______

6、（2014，安徽）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是__________

7、（2014，北京）设函数（是常数，）若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为______

8、已知的图像在上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围是______

9、（2014，福建）已知函数

（1）若，且，求的值

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间

10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数（）．

（1）求最小正周期和单调递增区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

习题答案：

1、答案：B

解析：由最小正周期可得：，向右平移个单位后解析式为，即，由奇函数可知，所以，对称轴：，

对称中心：，即，配合选项可得B正确

2、答案：D

解析：，由可知分别取到最大最小值，不妨设，所以，由可知

3、答案：C

解析：先求出的单调性，，解得单调递减区间为：，即在上单调递减。所以在单调减，，所以，有，可知C符合题意

4、答案：B

解析：先利用图像变换求出解析式：，即，其图像可视为仅仅通过放缩而得到的图像。若最大，则要求周期取最小，由为增函数可得：应恰好为的第一个正的最大值点

5、答案：

解析：，由在内单调递增，且对称轴为可知在达到最大值，所以，由在单增可知，从而解得

6、答案：

解析：平移后的解析式为：，由对称轴为可知，令即得到最小正值

7、答案：

解析：由可得为一条对称轴，由可知为一个对称中心。因为在区间单调，所以可知与为相邻的对称轴与对称中心，所以

8、答案：

解析：

由可得：，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和对称中心为，所以

9、解析：（1）由及可得：

（2）

解得：

的单调递增区间为

10、解析：（1）

周期

单调递增区间：

所以单调递增区间：

（2）