2021-2022学年江西省景德镇市第一中学高一（重点班）上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年江西省景德镇市第一中学高一（重点班）上学期期末

数学试题

一、单选题

1．将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．

详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为

将分针拨慢是逆时针旋转

∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为

故选C．

点睛：本题考查弧度的定义，一周对的角是弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角，属于基础题．

2．已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是

A．8 B．2 C．4 D．1

【答案】C

【详解】由扇形的面积公式得：S= lR，

因为扇形的半径长为2,面积为8，

所以扇形的弧长l=8.

设扇形的圆心角的弧度数为α，

由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=2

所以扇形的圆心角的弧度数是4.

本题选择C选项.

3．终边在第四象限的角的集合是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据任意角的定义即可写出答案.

【详解】终边在第四象限的角的集合是或.

故选：C.

4．设，则的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.

【详解】解：，，

∴．

故选：D

5．已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（       ）

A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数

C．是偶函数 D．是奇函数

【答案】B

【分析】根据幂函数的图象过求得其解析式，然后逐项判断.

【详解】设幂函数f（x）＝xα，

因为幂函数y＝f（x）的图象过点 ，

所以，

解得，

所以，

所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A错误；B正确，

因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，

故选：B．

6．如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统的可靠性是(　　)

A．0.504 B．0.994

C．0.496 D．0.06

【答案】B

【详解】试题分析：系统正常工作的概率为，即可靠性为0.994．故选B．

【解析】 相互独立事件同时发生的概率．

【名师点睛】1．对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立；

2．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P（B），P(AB)＝P(B|A)×P(A)＝P（A）×P（B）

3．若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立．

4．若P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．

7．袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（       ）

A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球

【答案】C

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次判断即得解

【详解】袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：

在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.

在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；

在C中，至少有一个白球和红､黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，

是互斥而不对立的两个事件，故C成立；

在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立.

故选：C

8．已知函数为奇函数，则下列叙述错误的是（       ）

A． B．函数在定义域上是单调增函数

C． D．函数所有零点之和大于零

【答案】D

【分析】根据是奇函数，求得参数的值，再求该函数的单调性、值域、以及零点，即可求得判断和选择.

【详解】因为为奇函数，且其定义域为，故，

即，解得，又当时，，

因为，

又定义域为，故为上的奇函数，故正确；

因为是单调增函数，为单调减函数，故为单调增函数，故正确；

又，，则，故正确；

又的定义域为，且为奇函数，也为奇函数，故的零点之和为零，故错误；

综上所述，正确的是.

故选：.

二、多选题

9．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（       ）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

【答案】ABD

【解析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断．

【详解】A．若，则，，A正确；

B．与互斥，则，是不可能发生的，，B正确；

C．与相互独立，则，C错误；

D．与相互独立，则与，与也相互独立，，同理，D正确．

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：本题考查互事件与相互独立事件的概率公式．两个概念是不相同的，要注意区别．概率公式也不相同，如互斥时，，相互独立时，．

10．下列各式化简运算结果为1的是（       ）

A． B．

C．且 D．

【答案】AD

【分析】根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，原式；

对于B选项，原式；

对于C选项，原式；

对于D选项，原式.

故选：AD.

11．已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（       ）

A．的图象关于直线对称 B．当时，

C．当时，单调递减 D．a的取值范围是

【答案】AB

【解析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案.

【详解】解：根据题意得：知是偶函数，

由知是周期为2的周期函数，

因为当时，，所以有如图的函数图象，

故对于A选项，由图可知图象关于对称，所以A正确；

对于B选项，当时，，所以B正确；

对于C选项，当时，由周期为2可知单调性与时的单调性相同，易知当时，单调递增，所以C错误；

对于D选项，设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有，即，解得，所以D错误.

故选：AB.

【点睛】本题考查函数的零点，周期性，奇偶性等函数性质，考查数形结合思想和运算求解能力，解题的关键在于根据题意做出函数图象，利用数形结合思想求解，是中档题.

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.下列选项成立的（       ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】ACD

【分析】由已知条件知在上为偶函数，且在上单调递减，即上单调递增，且上，上，最大值，即可判断各项的正误.

【详解】由①②知：在上为偶函数；在上单调递减，即上单调递增；

上，上，最大值.

∴对于A：，故正确；

对于B：知，或，即或，故错误；

对于C：由时，有，故正确；

对于D：上函数的图象是连续不断，可知，使有，故正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：

由题设的函数性质，确定函数的奇偶性、单调区间、函数值的符号以及最值，进而根据各选项的描述判断正误.

三、填空题

13．某校高一年级一名学生五次月考数学成绩（满分100分）分别为78，82，86，90，96，则这名学生五次月考数学成绩的第60百分位数为___________.

【答案】88

【分析】根据百分位数的定义即可求解.

【详解】∵5×0.6＝3，∴第60百分位数为.

故答案为：88.

14．已知函数，若，，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.

【详解】先作函数图象如下：

由图可知，若，，设，则，，

由知，；由知，；

故，，

故时，最小值为，时，最大值为，

故的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.

15．，若，则的最小值为___________.

【答案】32

【分析】求得，解得，再由基本不等式，即可求得结果.

【详解】因为，

故，解得，

又，故，当且仅当时取得等号，

则，当且仅当时取得，

综上所述，当且仅当时，取得最小值.

故答案为：32.

【点睛】本题考察函数的性质、对数的运算、基本不等式求最值，属综合困难题；处理问题的关键是正确的求得的值，以及基本不等式的正确应用.

16．设函数，.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】求出函数部分解析式，由此画出和两个函数图象，根据两个函数图象有3个交点，找到临界位置即可确定a的取值范围.

【详解】当时，，所以.

当时，，所以.

当时，，所以.

当时，，所以.

在同一平面直角坐标系中画出函数和的函数图象如图所示，

由，得，由，得.

由图可知，当两个函数图象有3个交点，

也即函数恰有3个零点时，a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：（1）求出分段函数的解析式；

（2）将函数零点问题转化为两函数图象交点问题，找到临界位置是解题的关键.

四、解答题

17．已知函数是定义域在R上的奇函数，且.

(1)求实数a，b的值；

(2)解关于x的不等式：.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据，即可求得参数值；

（2）判断的奇偶性，结合的单调性以及对数函数的单调性，即可求得结果.

(1)

因为是定义域在R上的奇函数，故可得，即；

又，故可得，即；解得.

(2)

由（1）知，下证是上的单调增函数.

令，故可得 ，

因为是上的单调增函数，故可得，又，

故，则，即证为上的单调增函数，又为奇函数，

故，即，

，

也即，又为上的单调减函数，

故可得，解得.

故不等式的解集为：.

18．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；

（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；

（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率.

【答案】（1），125；（2）112人；（3）

【解析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出，再求中位数得解；（2）直接利用频率分布直方图估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）先求出在区间中有32人，在区间中有8人，在区间中有8人，再利用古典概型的概率公式求出这两人均来自区间的概率.

【详解】（1）由题意得

解得 .

设中位数为，则

解得 .                    

∴中位数是125.

（2）由

∴估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人

（3）在区间中有人

在区间中有人

在区间中有人

按分层抽样抽取6人，则从抽取4人，抽取1人，抽取1人

设从抽取职工为，，，，从抽取职工为B，从抽取职工为C，则从6人中抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间的有，，，，，共有6种情况，

∴

∴两人均来自区间的概率为.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图中中位数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力》

19．2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战.某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游。2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点.该村原有500户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元。调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业，据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x%，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元。在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先500户从事种植的所有农户年总收入.

(1)求x的取值范围；

(2)要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值（保留三位小数）.

（参考数据：，，）

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；

（2）根据题意，列出不等式，分离参数，利用函数的单调性求最小值，即可求得参数的最值.

(1)

根据题意，剩余户从事种植业的平均每户的年收入为，

故要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先500户从事种植的所有农户年总收入，

则，整理得：，解得，

又，故的取值范围为.

(2)

户从事乡村旅游的年收入为，从事种植业的年收入为，

依题意可得：，

整理得：，又，即恒成立，

因为在单调递减，在单调递增.

又，故可得，又，故取得最小值时，或，

当时，，

当时，，

故，即的最大值为.

20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设“丈夫在科目二考试中第次通过”为事件，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，根据对立事件和独立事件的加法公式、乘法公式可求得答案；

（2）设事件表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件表示“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”， 根据对立事件和独立事件的加法公式、乘法公式可求得，，，由此可得答案；

(1)

解：设“丈夫在科目二考试中第次通过”为事件，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则，．设事件表示“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件表示“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．

则，

，

．因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为．

(2)

解：设事件表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件表示“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，

则，，．因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为．

21．设函数.

(1)若，求使不等式恒成立的t的取值范围；

(2)若，，且在上的最小值为，求m的值.

【答案】(1)(－3,1)

(2)4

【分析】(1)利用奇函数的定义和单调性的结论判断f（x）的奇偶性和单调性；利用奇函数的定义将不等式进行变形，然后由函数单调性的定义去掉“”，转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可；

(2)由题意，先求出的值，然后利用换元法，令，转化为二次函数求解最值，列式求解即可．

(1)

当时，函数，定义域为，

∵，

∴为奇函数，

∵为单调递减函数，为单调递增函数，

∴为上的单调递减函数，

不等式，可变为，

又为上的单调递减函数，

∴，

即恒成立，

∴，

即，

解得，

故的取值范围是(－3，1)；

(2)

由，可得，解得，

∴，

令，

当时，，

∴，

①当时，，解得(舍去)；

②当时，，解得．

综上所述，．

22．已知函数，，.

（1）若，解关于的方程；

（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；

（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；

（2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；

（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

则，定义域为.

由，可得，可得，

解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；

（2）当时，.

当时，对任意的恒成立，则，

此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；

当时，对任意的恒成立，则，

此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；

当时，令，得，此时，

所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.

，，由于，所以，解得.

此时，.

综上所述，实数的取值范围是；

（3），

由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，

所以，函数在区间上为减函数，

所以，，

由题意可得，可得，

所以，.

①当时，；

②当时，令，设，

可得.

下面利用定义证明函数在区间上的单调性，

任取、且，即，

，

，，，，即，

所以，函数在区间上单调递减，

当时，函数取得最大值.

 综上所述，函数在上的最大值为，.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.