2021-2022学年江西省宜春市宜丰中学、万载中学、宜春一中三校联考高一上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省宜春市宜丰中学、万载中学、宜春一中三校联考高一上学期期末考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省宜春市宜丰中学、万载中学、宜春一中三校联考高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则中元素的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】联立方程解得或，得到答案.【详解】，解得或，故中有两个元素.故选：C.2．高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，则这7人的第40百分位数为（       ）A．168 B．170 C．172 D．171【答案】C【分析】将数据排序，结合百分位数概念计算即可.【详解】将所给数据从小到大排序得：168,170,172,172,175,176,180，，故这7人的第40百分位数为第三位数：172.故选：C3．下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是（       ）A．y＝－x2 B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x【答案】B【分析】根据函数的奇偶性即可排除ACD选项，再根据奇函数的定义以及通过解析式判断函数的单调性验证B选项即可求出结果.【详解】A．函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．B．函数y＝x3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件．C．y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B.4．已知幂函数的图象过点，则关于的方程的实数解为，则所在的区间为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，先求出其解析式，根据零点存在定理可得答案.【详解】设，所以，解得，所以．令，则单调递增，且，，则．故选：C5．函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零求解即可【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故选：C6．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，写出所有抽取的基本事件，再找出满足题意的基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】根据题意，不妨用表示两次抽取的基本事件，其中代表第一次抽取的数字，代表第二次抽取的数字.故所有抽取的可能有如下种：                      满足抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的有如下种：，根据古典概型的概率计算公式可得：该事件的概率.故选：D.7．如图，函数的图象类似汉字中的“囧”字，则其解析式可能为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象判断出函数的奇偶性，然后结合函数值的正负即可判断答案.【详解】由题可知的图象关于轴对称，故为偶函数，排除B，D；对于A，恒成立，不符合题意.故选：C．8．已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用换底公式可得，然后对进行化简，并使用换元法，结合复合函数单调性进行计算即可.【详解】，则，令，由，所以，令，因为在区间上是增函数，所以在也是增函数，所以，则，即故选：A.二、多选题9．已知数据的平均数为，标准差为，则（       ）A．数据的平均数为，标准差为B．数据的平均数为，标准差为C．数据的平均数为，方差为D．数据的平均数为，方差为【答案】BC【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.【详解】， ，对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；对于C，，，故正确；对于D，数据的平均数为，方差为，故错误.故选：BC.10．函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（       ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先确定函数的单调性，再根据充要条件的定义求解相应参数的取值范围，最后确定必要不充分条件对应的参数范围与充要条件对应的参数范围之间的关系，进而确定答案.【详解】根据题意，当，都有成立时，函数 在定义域内为单调减函数.所以解得 ，反之也成立即是时，都有成立的充要条件所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间，故选项CD正确.故选：CD.11．下列结论正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．函数有最小值2【答案】ABC【解析】根据基本不等式可判断A，B，C正确；D中等号取不到，错误．【详解】对于A，因为，所以，故，当且仅当时取等号，正确；对于B，因为，易知不等式显然成立，当时，，当且仅当时取等号，正确；对于C，因为，所以，，当且仅当时取等号，而，所以，正确；对于D，，当且仅当时取等号，而，所以函数没有最小值，错误．故选：ABC．【点睛】本题主要考查基本不等式的理解和应用，属于基础题．易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”，（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．12．已知函数，下列结论正确的是（       ）A．是奇函数B．若在定义域上是增函数，则C．若的值域为，则D．当时，若，则【答案】AB【分析】对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知即可求解； 对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合的值域为，即可求解；对于D，将等价于，利用函数定义域及单调性即可求解；【详解】对于A，当时，，，；当时，，，，所以是奇函数，故A正确；对于B，由在定义域上是增函数，知，解得，故B正确；对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为， 当时，在区间上单调递增，此时值域为，要使的值域为，则，解得，故C错误；对于D，当时，由于，则在定义域上是增函数，等价于，即，解得，故D错误；故选：AB三、填空题13．命题“，有”的否定是___________.【答案】，有【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案.【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题，得命题“，有”的否定是“，有”.故答案为：，有.14．有（1）；（2）当时，单调递减.下列函数中，同时满足性质（1）（2）的函数有_________.（填序号）①；②；③；④；⑤；⑥.【答案】④⑤【分析】先通过解析式判断出函数的单调性，进而验证是否满足即可判断答案.【详解】容易判断①②③⑥在上单调递增，④⑤单调递减.对④，则；对⑤，则.故答案为：④⑤.15．已知，且，那么________．【答案】【分析】构造函数，判断的奇偶性，解出即可求出答案.【详解】令，，是奇函数.,,..故答案为：16．已知，，，则的最小值为____________．【答案】【分析】设，分析可得，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式结合对数函数的基本性质可求得的最小值.【详解】因为，，则，，且，令，则，所以，，故，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.故答案为：.四、解答题17．已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在和两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.【详解】(1)由题意得，或，，.(2)，当时，，符合题意，当时，由，得，故a的取值范围为．18．已知函数的图象经过点.(1)求函数的解析式；(2)判断的奇偶性.【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析【分析】（1）把点代入解析式求出后可得答案；（2）利用奇偶性的定义判断即可.【详解】(1)因为函数的图象经过点，所以，解得，所以.(2)奇函数，由（1），由于，其定义域关于原点对称，，所以为奇函数.19．已知函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求的值；（2）当时，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为.【解析】根据一元二次不等式解法可知1，2为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．【详解】由条件知，关于x的方程的两个根为1和2，所以解得．当时，，即，当时，即时，解得或；当时，即时，解得；当时，即时，解得或．综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【点睛】方法点睛：解一元二次不等式的一般步骤为：（1）化不等式为的形式；（2）求判别式的值；（3）如果，利用公式求解；如果，画图求解.20．由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y（单位：）与时间t（单位：）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为（k为常数），如图所示.(1)求y关于t的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为2560，当积水深度小于等于0.05时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库【分析】（1）利用求得关于的函数关系式.（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间.【详解】(1)由图可知，当时，y=2000t.当t>1时，，因为图象经过点，所以，得k=5000所以.(2)令，即，解得，因为消防部门从t=1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库.21．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】(1)，(2)众数为，平均数为.(3)【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值；（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】(1)由题意可知：，，解得，；(2)由频率分布直方图得众数为，平均数等于.(3)根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，共10个，即，记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共4个，即，所以.22．已知定义在上的函数满足： ①；②；③当时，.(1)求；(2)求证：函数在上单调递增；(3)若实数，在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）赋值法，令，，，即可得解；（2）利用函数单调性的定义证明，任取，令，结合题干条件证明即可；（3）结合题干条件以及函数的单调性可转化为，令，可得，利用二次函数的性质即得解【详解】(1)取得，取得，取得，.(2)任取，令得：因为，所以，所以，故函数在上单调递增.(3)，所以所以，由（2）知单调递增，则，（）定义域，此时也为正又函数在上有定义，则令，， ，则，所以，（）式可化为即在恒成立设，只需解得综上，.