江西省南昌市2021-2022学年高一上学期期末调研数学试题

2021级高一选课走班调研检测

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.

【详解】因为或，故.

故选：D.

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，直接得到答案.

【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，

所以命题“”的否定为“”.

故选：D

3. 从已经生产出来的10万个灯泡中随机抽取1000个，以此来了解这10万个灯泡的寿命，在这一情境中，总体是指（    ）

A. 这10万个灯泡 B. 这10万个灯泡的寿命

C. 抽取的1000个灯泡 D. 抽取的1000个灯泡的寿命

【答案】B

【解析】

【分析】根据总体的定义即可得出答案.

【详解】解：从已经生产出来的10万个灯泡中随机抽取1000个，以此来了解这10万个灯泡的寿命，这10万个灯泡的寿命是总体.

故选：B.

4. 若函数的图象在上连续不间断，且，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在区间上有且只有个零点 B. 函数在区间上一定没有零点

C. 函数在区间上一定有零点 D. 函数在区间上一定有零点

【答案】C

【解析】

【分析】利用零点存在定理可得出结论.

【详解】因为函数的图象在上连续不间断，且，，，

则，，

故函数在区间上至少有一个零点，A错；

函数在区间上可能有零点，也可能无零点，BD错；

函数在区间上一定有零点，C对.

故选：C.

5. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，排除CD选项，

当时，，，则，排除B选项.

故选：A.

6. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意条件，利用指数函数、对数函数的单调性，将、、三数分别于0、1比较即可分出大小.

【详解】由题意可知，，故，

，故，

，故，

所以.

故选：A.

7. 一般来说，产品进入市场，价格越高，销量越小．某门店对其销售产品定价为元/件，日销售量为q件，根据历史数据可近似认为p，q满足关系，如当定价元，毛收入为9900元．为了追求最大利润，不会无限提高售价，根据信息推测每天最少毛收入为（    ）

A. 7500元 B. 9600元 C. 9900元 D. 10000元

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得出每天的毛收入与单价的函数关系，从而求出其最小值,得出答案.

【详解】设每天的毛收入为元，单价为元/件，则销量

所以，由对称轴为，开口向下

所以当时，毛收入有最小值，元

故选：A

8. 关于x的不等式的解集为，有下列四个结论：

甲：      乙：      丙：      丁：

如果只有一个假命题，则假命题是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】B

【解析】

【分析】假设每一个命题是假命题，再分析推理找到矛盾再判断得解.

【详解】解：假设只有甲是假命题，当，时，，所以，所以是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；

假设只有乙是假命题，，时，，所以，符合题意；

假设只有丙是假命题，，，所以，所以是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；

假设只有丁是假命题，，时，，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意.

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若，则下列不等式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断.

【详解】选项A，由，可得，故选项A正确；

选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；

选项C，由，可得，故选项C正确；

选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.

故选：ACD.

10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 为奇函数 B. 的定义域为

C.  D. 在定义域上单调递减

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项，先求定义域，再根据函数奇偶性定义进行判断，B选项，在A选项基础上即可得到答案；C选项，代入进行求解即可；D选项，根据复合函数单调性即可求解.

【详解】定义域为，又，所以为奇函数，AB正确；

，，，所以，C正确；

在定义域内为增函数，而单调递增，由复合函数单调性可知：在定义域上单调递增，D错误.

故选：ABC

11. 欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．

根据上表，下列结论正确的是（    ）

A. 这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨

B. 这10个国家和地区人均二氧化碳排放量中位数为7.45吨

C. 这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨

D. 在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，最大值减去最小值即为极值；B选项，数据按照从小到大排列，找到处于中间位置的两个，两个的平均数即为中位数；C选项，利用分位数的定义进行求解；D选项，列举法求解古典概型的概率.

【详解】，A正确；

按照从小到大的顺序进行排列：2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，处于中间位置的第5和第6分别为7.4，7.5，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为，B正确；

为整数，所以10个数的30%分位数是，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.3吨，C错误；

人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区有4个，随机抽取两个进行访谈，一共出现的情况有：（德国，俄罗斯），（德国，加拿大），（德国，沙特阿拉伯），（俄罗斯，加拿大），（俄罗斯，沙特阿拉伯），（加拿大，沙特阿拉伯），共有6种情况，其中俄罗斯被抽到的情况有3种，故被抽中的概率为，D正确.

故选：ABD

12. 常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ）

A. 选择函数模型①

B. 选择函数模型②

C. 小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9

D. 小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8

【答案】BD

【解析】

【分析】由，求出函数模型，判断选项A、B；

对于C、D：直接由得到的函数模型代入判断即可.

【详解】当时，代入得：，代入得：.

故选择函数模型②.A错误；B正确.

对于C：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C错误；

对于D：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D正确.

故选：BD

三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数的图象经过点，则的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设幂函数，再求出值得到幂函数的解析式，再求.

【详解】设幂函数,

由题得，

所以.

故答案为：

14. 若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.

【详解】因为，则，.

故答案为：.

15. 当时，函数的最小值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】因为，则，则，

当且仅当时，等号成立，

所以，当时，函数的最小值为.

故答案为：.

16. 设，则___________．（用字母a表示）

【答案】

【解析】

【分析】利用换底公式可得，即得.

【详解】∵，

∴，
∴，

∴.

故答案为：.

四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）若求的值；

（2）计算：．

【答案】（1）23；（2）.

【解析】

【分析】（1）由两边同时平方可得答案.

（2）利用分数指数幂的运算性质结合根式的运算性质可得答案.

【详解】（1）

（2）原式

18. 已知非空集合．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】（1）或或   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式，直接求解集合间的运算；

（2）根据充分必要性列不等式，求解参数取值范围.

【小问1详解】

当时，，或，

或，

所以或或；

【小问2详解】

由（1）得或，

又“”是“”的充分不必要条件，且，

所以或，

解得或，

综上所述：.

19. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制，需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（分）的函数关系，要求：（1）是区间的增函数；（2）每天运动时间为0时，当天得分为0；（3）每天运动达标时间为30分钟，这时当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分，现有三个函数模型：

①；

②；

③供选择．

（1）请你从中选择一个合适函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式：

（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟？（保留整数）

【答案】（1）答案见解析；   

（2）55分钟.

【解析】

【分析】（1）根据函数的增长情况确定函数的解析式，再求出函数的解析式得解；

（2）解不等式即得解.

【小问1详解】

解：对于模型一而言，当时是匀速增长（不符合题意）；

对于模型二而言，当时，先慢后快增长；

对模型三而言，当时，先快后慢增长；

从图象上看是个先快后慢增长模型，故选拟合；

将代入解析式得到，即，

得，即，

验证，当时，，

满足每天得分最高不超过6的条件．

所以函数的解析式为.

【小问2详解】

解：由，得，

得，得，

所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟．

20. 甲乙两个班参加了同一学科的考试，其中甲班40人，乙班30人，乙班的平均成绩70分，方差为130，甲班按分数段按相应的比例随机抽取了10名同学的成绩如下：56，66，68，72，77，79，82，86，91，93．

（1）计算甲班这10名同学成绩的平均数和方差；

（2）用甲班这10名同学的平均数和方差估计甲班全体同学的平均数和方差，那么甲、乙两班全部70名同学的平均成绩和方差分别为多少？

【答案】（1）77；123   

（2）74；138

【解析】

【分析】（1）直接代公式求出平均数和方差；

（2）记这70名同学的平均成绩和方差分别为，，根据分层抽样中两组数据x，y的抽样比例求平均数和方差.

【小问1详解】

，

；

【小问2详解】

记这70名同学的平均成绩和方差分别为，，

分层抽样中两组数据x，y的抽样比例是，则总体均值为，

所以，，

总体方差，

．

21. 已知函数．

（1）试判断函数的奇偶性并证明；

（2）若函数在定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

【答案】（1）为奇函数；证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义即证；

（2）由题可得当时，为增函数，法一利用对勾函数的性质可得，即求；法二利用函数单调性的定义可得成立，即求.

【小问1详解】

当时，，则，

当；

当时，，满足；

当时，，则，

，

所以对，均有，即函数为奇函数；

【小问2详解】

∵函数为R上的奇函数，且，，，

所以函数在上为增函数，则在定义域内为增函数，

解法一：因为函数为奇函数，且在定义域内为增函数，

则当时，为增函数．

当时，

因为，只需要，则；

解法二：因为函数为奇函数，且在定义域内为增函数，

则当时，为增函数．

设对于任意，且，

则有

因为，则，又因为，则，

欲使当时，为增函数，则，所以，

当时，；；，

所以，为R上增函数时，．

22. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数，记两次点数之和为3的倍数的概率为p．

（1）求p值；

（2）如图某质点从原点沿网格线向上或向右移动，向上移动一个单位的概率为p，向右移动一个单位的概率为，求该质点移动四次到达点的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用列举法求解即可，

（2）质点从原点到达点共有4种方法，分别求出每一种走法的概率，然后利用互斥事件的概率公式求解即可

【小问1详解】

依题意共有36个样本点，两次点数之和为3的倍数的样本点有如下12个，

，

【小问2详解】

由（1）可知，向上移动一个单位的概率为，向右移动一个单位的概率为．

该质点移动四次到达点共有四种走法：

①，

其中向上移动一次，向右移动三次，其概率为；

②，其中向上移动一次，向右移动三次，其概率为；

③，其中向上移动一次，向右移动三次，其概率为；

④，其中向上移动一次，向右移动三次，其概率为．

所以该质点移动四次到达点的概率为