2021届四川省绵阳第一中学高三一诊适应性考试数学（文）试题含解析

2021届四川省绵阳第一中学高三一诊适应性考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合,,则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.

【详解】因为,,

所以，根据集合并集的定义可得，故选A.

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.

2．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（       ）

A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖

C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒

【答案】C

【分析】根据原命题和其逆否命题同真假即可解.

【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”.

故选：C.

3．已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是（       ）

A．a2<－ab B．|a|<|b|

C． D．

【答案】C

【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D，由指数函数的单调性可知选项C正确.

【详解】法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以，所以一定成立，故选C.

法二：因为a>0>b，所以，所以一定成立，

故选：C.

【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．

4．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（参考数据：）       

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数运算以及的定义求得此时胃酸的值.

【详解】依题意

.

故选：C

【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.

5．已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是       

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先设,再对函数求导得由已知得，即可求出切点坐标.

【详解】设,由题得

所以,

∴.

故选：B.

【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

6．已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值

为

A．16 B．8 C． D．4

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：根据已知可得，因为各项为正，所以，而，所以，但且仅当“”等号成立，故选择B

【解析】等比数列性质以及基本不等式

7．“”是“函数在区间上是增函数”的（       ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出导数，由题意求出的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可．

【详解】解：函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，所以，

显然，则有函数在区间上是增函数，函数在区间上是增函数，可以为0，所以“”是“函数在区间上是增函数”的充分而不必要条件．

故选：．

【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，属于中档题．

8．如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.

【详解】解：依题： ，

又三点共线，

，解得．

故选：．

【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,)

9．已知函数的部分图象如图所示，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，-3）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出．

【详解】由图可得：函数的最大值3，∴，

又∵，ω＞0，

∴T＝π，ω＝2，

将（，-3）代入，得sin（ϕ）＝，

∴ϕ=，即ϕ=，又

∴ϕ=，∴

∴

故选C

【点睛】本题主要考查的知识点是由函数的部分图象求三角函数解析式的方法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，考查了数形结合思想，属于中档题．

10．定义在上的偶函数，记，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据为偶函数求得，然后判断的单调性，由此比较出的大小关系.

【详解】由于为偶函数，所以，即，即，所以.故.

当时，为单调递增函数.

，

而，

所以.

故选：B

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数运算以及对数函数的单调性，属于中档题.

11．已知数列为等差数列，其前n项和为，若且，有以下结论：

①；②；③为递增数列；④.

则正确的结论的个数为（          ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对①②,根据等差数列的求和性质求解即可.对③④,举出反例判断即可.

【详解】对①,由题, 令有,故①正确.

对②,.故②正确.

对③, 当时满足,故为递增数列不一定正确.故③错误.

对④, 由①②,可设当时满足,但.故④错误.

故①②正确.

故选：B

【点睛】本题主要考查了等差数列的求和性质运用,需要根据题意利用赋值法或性质推导,属于中档题.

12．对于函数，下列结论错误的是（       ）

A．为偶函数

B．的最小正周期为

C．的值域为

D．在上单调递增

【答案】D

【分析】运用函数的奇偶性的定义，结合诱导公式，可判断A；

由周期函数的定义可判断B；

由正弦函数、余弦函数的值域、单调性可判断C；

由正弦函数、余弦函数的单调性可判断D．

【详解】函数，其定义域R关于原点对称，又由，可得为偶函数，故A正确；

由cosx最小正周期为2π，知的最小正周期也为，故B正确；

由，且,,，∵f(x)在,上单调递增，

∴的值域为,，即,，故C正确；

由在,递减，且,，而,是的增区间，可得在,递减，故D错误．

故选：D．

二、填空题

13．若实数满足，则的最小值是_________.

【答案】7

【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到最值.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，由，知，表示直线的纵截距，根据图象知：当直线过点即点时有最小值，即，最小为.

故答案为：7.

【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.

14．函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；

【答案】27

【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出.

【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点，

所以由指数型函数性质得，

因为在幂函数的图象上

所以，解得，

所以，.

故答案为：

15．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为_______.

【答案】-1

【分析】利用向量的垂直关系，推出，然后求解在方向上的投影。

【详解】向量，满足，，且，可得，

即，可得，则在方向上的投影为：

 故答案为：

【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量数量积的几何意义，要熟记向量数量积的几何意义，属于基础题。

16．已知函数恰有三个不同的零点，则这三个零点之和为_________．

【答案】5

【分析】令，则有三个零点等价于关于的方程有两解，且其中一解为或，另一解大于或小于，当、，不合题意；当，此时不符合题意，当，此时，解即可.

【详解】解：令，由对勾函数可知或，

所以有三个零点等价于关于的方程有两解，且其中一解为或，另一解大于或小于.

当不合题意，所以，则得.

若，则该方程无解，不合题意. 所以

所以，，

当，此时不符合题意

当，此时，解得

由，

当，解得，当整理

所以，所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知向量，.

（1）当时，求的值；

（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.

【答案】（1）；（2）时，函数的最大值为.

【解析】（1）根据即可求出，然后根据二倍角的正切公式即可求出的值；

（2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，从而可求出的最大值，以及对应的的值．

【详解】（1）因为，所以，

因为（否则与矛盾），所以，

所以.

（2）

，

因为，所以，

所以当，即时，函数的最大值为.

【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

18．已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，进而可求得数列的通项公式；

（2）求得，进而可利用错位相减法可求得.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，由可得出，

两式作差得，有，即，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，有；

（2）由（1）知，有，

，①

①，得，②

①②，得，

因此，.

【点睛】本题考查利用求，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，点D在AC边上且，，求c．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，根据求得；

（2）利用余弦定理可得满足的方程；根据三角形面积构造方程得到关系，代入余弦定理构成的方程可求得结果.

【详解】（1）由正弦定理得：

              ，即

（2）由余弦定理得：

把带入得：

，解得：

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.

20．设函数

（Ⅰ）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;

（Ⅱ）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围.

【答案】（1）f(x)在x=-1处无极值. （2）或c=

【详解】解：

21．已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，．且不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； （2）.

【分析】（1）求得，对的范围分类，即可解不等式，从而求得函数的单调区间，问题得解.

（2）由题可得：，由它有两个极值点，可得：有两个不同的正根，从而求得及，将恒成立转化成：恒成立，记：，利用导数即可求得：，问题得解.

【详解】（1）因为，所以，

则①当时，是常数函数，不具备单调性；

②当时，由；由．

故此时在单调递增，在单调递减

③当时，由；由．

故此时在单调递减，在单调递增．

（2）因为

所以，

由题意可得：有两个不同的正根，即有两个不同的正根，

则，

不等式恒成立等价于恒成立

又

所以，

令（），则，

所以在上单调递减， 所以

所以．

【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及极值知识，考查了转化能力及函数思想，还考查了利用导数求函数值的取值范围问题，考查计算能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,

已知圆的圆心，半径.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若过点且倾斜角的直线交圆于两点，求的值

【答案】（1）

（2）7

【解析】【详解】试题分析：

（1）由题为已知极坐标系圆的圆心和半径，求直角坐标下的圆的方程，注意运用它们之间的转化关系，求出直角坐标系下的圆心，可得圆的普通方程；

(2)由题（1）中的求出了圆的方程，再根据所给的条件可求出直线的参数方程，代入圆的方程，可用参数表示出两点的坐标，然后用参数表示出的值可求出．

试题解析：（Ⅰ）由得，直角坐标，

所以圆的直角坐标方程为，

（II）直线的参数方程为 （为参数）)

圆的普通方程为,

直线的方程代入圆的方程，得

∴，，

∴

【解析】（1）极坐标与直角坐标的互化．（2）直线与圆的位置关系及参数方程的运用．

23． 已知函数.

（1）若不等式无解，求实数a的取值范围；

（2）当时，函数的最小值为2，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）把代入不等式，并化简，根据题意可得，利用绝对值三角不等式，可得，简单计算可得结果.

（2）使用零点分段法，去掉绝对值，可得表达式，然后画出图像，可得结果.

【详解】（1）把代入不等式

得，因为不等式无解，

所以，

即，解得，或，

所以实数a的取值范围是.

（2）函数的零点是和1，

因为，所以，

则

如图

由图可知当时，

，得符合题意，

所以.

【点睛】本题考查绝对值不等式的应用以及分段函数图象应用，熟悉绝对值的三角不等式，同时熟练掌握零点分段法的使用，属中档题.