2021届四川省绵阳第一中学高三一诊适应性考试数学（理）试题含解析

2021届四川省绵阳第一中学高三一诊适应性考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再用列举法表示集合，最后根据交集的定义计算可得；

【详解】解：由，即，解得，即，又，所以；

故选：C

2．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（       ）

A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖

C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒

【答案】C

【分析】根据原命题和其逆否命题同真假即可解.

【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”.

故选：C.

3．已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是（       ）

A．a2<－ab B．|a|<|b|

C． D．

【答案】C

【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D，由指数函数的单调性可知选项C正确.

【详解】法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以，所以一定成立，故选C.

法二：因为a>0>b，所以，所以一定成立，

故选：C.

【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．

4．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（参考数据：）       

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数运算以及的定义求得此时胃酸的值.

【详解】依题意

.

故选：C

【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.

5．已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是       

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先设,再对函数求导得由已知得，即可求出切点坐标.

【详解】设,由题得

所以,

∴.

故选：B.

【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

6．已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值

为

A．16 B．8 C． D．4

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：根据已知可得，因为各项为正，所以，而，所以，但且仅当“”等号成立，故选择B

【解析】等比数列性质以及基本不等式

7．若，则“”是“，”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】写出的等价条件，结合充分必要定义判断即可.

【详解】由可得或，，

∴推不出，，

但，能推出，

∴“”是“，”的必要非充分条件.

故选：B

8．如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.

【详解】解：依题： ，

又三点共线，

，解得．

故选：．

【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,)

9．已知函数的部分图象如图所示，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，-3）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出．

【详解】由图可得：函数的最大值3，∴，

又∵，ω＞0，

∴T＝π，ω＝2，

将（，-3）代入，得sin（ϕ）＝，

∴ϕ=，即ϕ=，又

∴ϕ=，∴

∴

故选C

【点睛】本题主要考查的知识点是由函数的部分图象求三角函数解析式的方法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，考查了数形结合思想，属于中档题．

10．已知，，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，，，，所以，选D.

11．已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的个数是

①函数的值域与的值域相同；

②若是函数的极值点，则是函数的零点；

③把函数的图像向右平移个单位长度，就可以得到的图像；

④函数和在区间内都是增函数.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】求出函数f(x)的导函数g(x)，再分别判断f(x)、g(x)的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.

【详解】，

，

①， ，，两函数的值域相同，都是，故①正确；

②，若是函数的极值点，则，，解得，，，也是函数的零点，故②正确；

③，把函数的图象向右平移个单位，得，故③错误；

④，时，，是单调增函数，，也是单调增函数，故④正确.

综上所述，以上结论中错误的个数是1.

故选B.

【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.

12．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（       ）

A．2 B．3 C．5 D．8

【答案】D

【解析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.

【详解】解：函数，如图所示

当时，，

由于关于的不等式恰有1个整数解

因此其整数解为3，又

∴，，则

当时，，则不满足题意；

当时，

当时，，没有整数解

当时，，至少有两个整数解

综上，实数的最大值为

故选：D

【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.

二、填空题

13．已知幂函数过点，则_____．

【答案】3

【解析】根据幂函数过点求出解析式，直接计算即可.

【详解】因为幂函数过点，

所以，

解得，

所以，

所以，

故答案为：3

14．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为_______.

【答案】-1

【分析】利用向量的垂直关系，推出，然后求解在方向上的投影。

【详解】向量，满足，，且，可得，

即，可得，则在方向上的投影为：

 故答案为：

【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量数量积的几何意义，要熟记向量数量积的几何意义，属于基础题。

15．设锐角三角形的内角所对的边分别为，，则的取值范围为__________．

【答案】

【详解】由正弦定理及有，所以,则，由已知有，所以．

点睛：本题主要考查了正弦定理，两角差正弦公式以及两角和正弦公式的逆用，属于中档题．本题关键是灵活运用这些公式．

16．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则________.

【答案】

【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合周期性可得，即可求解结论．

【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，

且，

；

；

即；①

；②

②①得；

故周期为4；

故答案为：．

【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数图象和性质的简单综合应用．

三、解答题

17．已知向量，.

（1）当时，求的值；

（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.

【答案】（1）；（2）时，函数的最大值为.

【解析】（1）根据即可求出，然后根据二倍角的正切公式即可求出的值；

（2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，从而可求出的最大值，以及对应的的值．

【详解】（1）因为，所以，

因为（否则与矛盾），所以，

所以.

（2）

，

因为，所以，

所以当，即时，函数的最大值为.

【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

18．已知等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设数列的公差为，根据，，利用“”求解.

（2）由（1）得到，进而得到，然后利用裂项相消法求解.

【详解】（1）设数列的公差为，

由题意得，

解得，，

故数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以，

所以，

所以

.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，点D在AC边上且，，求c．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，根据求得；

（2）利用余弦定理可得满足的方程；根据三角形面积构造方程得到关系，代入余弦定理构成的方程可求得结果.

【详解】（1）由正弦定理得：

              ，即

（2）由余弦定理得：

把带入得：

，解得：

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.

20．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，当时，，实数的取值范围．

【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．

【解析】(1)求导后，求得函数的导函数的零点，根据二次函数的性质，对实数a进行分类讨论，判定导数的正负值区间，从而得到函数的单调性和单调区间；（2）利用分离参数法，并构造函数，利用导数研究其单调性，求得最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到的取值范围.

【详解】解：（1），

令，得，．

当时，恒成立，且仅在时取等号，故在上单调递减；

当时，在区间和上，在区间上，

所以的单调递减区间为，，的单调递增区间为；

当时，在区间 ，上，在区间上．

所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．

（2）当时，由题意可知，在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则，

设，则，

当时，，当时，，

∴在，上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，，

∴实数的取值范围是．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，和导数的不等式恒成立求参数取值范围问题，属中档题，难度一般.

21．已知函数.

（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.

【答案】(1) (2)见解析

【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；

（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数.

【详解】（Ⅰ）的定义域为，.

由题意，令，即.解得或（舍去）.

∵，∴到直线的距离为所求的最小值.

（Ⅱ）法一：

（1）当时，，在上是增函数.

∵.当时，

∴，又，∴，故恰有一个零点.

（2）当时，，得（舍去），所以没有零点.

（3）当时，令，得或（舍去）.

当时，，当时，.

∴在上是减函数，在上是增函数，.

①当，即时，恰有1个零点.

②当，即时，没有零点.

③当，即时，.

令，则，.

令，，

∴在上单调递增，∴，

∴，∴.

∵，，∴有2个零点.

综上，函数当或时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，没有零点.

（Ⅱ）法二：若，则（且）.

设（且），.问题转化为讨论的图象与直线交点的个数.

（且）.令得.

当或时，；当时，.

∴在，上是减函数，在上是增函数，.

又时.当时，.∴当或即或时，直线与函数的图象有1个交点；当，即时，有两个交点；当时没有交点.

所以函数当或时有1个零点；

当时有2个零点；

当时没有零点.

【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目.

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的圆心为极坐标，半径.

(1)求圆的极坐标方程；

(2)若过点且倾斜角的直线交圆于两点，求值.

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）根据公式将极坐标转化为直角坐标，即可得到圆的普通方程，再化为极坐标方程；

（2）首先写出直线的参数方程，再将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据直线的参数方程参数的几何意义计算可得；

(1)

（1）圆C的圆心为极坐标：，所以，，所以点C直角坐标，

半径，圆C的直角坐标方程为，

由，

得圆C的极坐标方程为；

(2)

（2）过点且倾斜角的直线交圆C于两点，

直线的参数方程为

把直线的参数方程代入圆，

得，整理得，

设对应的参数为、，则，，

所以.

23． 已知函数.

（1）若不等式无解，求实数a的取值范围；

（2）当时，函数的最小值为2，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）把代入不等式，并化简，根据题意可得，利用绝对值三角不等式，可得，简单计算可得结果.

（2）使用零点分段法，去掉绝对值，可得表达式，然后画出图像，可得结果.

【详解】（1）把代入不等式

得，因为不等式无解，

所以，

即，解得，或，

所以实数a的取值范围是.

（2）函数的零点是和1，

因为，所以，

则

如图

由图可知当时，

，得符合题意，

所以.

【点睛】本题考查绝对值不等式的应用以及分段函数图象应用，熟悉绝对值的三角不等式，同时熟练掌握零点分段法的使用，属中档题.