2021年四川省绵阳市南山中学高考数学适应性试卷（理科）（二）

这是一份2021年四川省绵阳市南山中学高考数学适应性试卷（理科）（二），共24页。
2021年四川省绵阳市南山中学高考数学适应性试卷（理科）（二）
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2+i D．2﹣i
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（∁UA）＝（　　）
A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
3．（5分）2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（　　）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量
4．（5分）在（x+）5的展开式中，x2的系数是（　　）
A．10 B．20 C．32 D．35
5．（5分）程序框图如图所示，若该程序运行的结果1320．则判断框中应填入（　　）

A．k＜8？ B．k＜9？ C．k＜10？ D．k＜l1？
6．（5分）已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
9．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与准线l相切于点Q，Q点的纵坐标为，E（5，0）是圆M与x轴不同于F的另一个交点，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若（b﹣sinC）cosA＝sinAcosC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
11．（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．90°
12．（5分）已知函数f（x）＝﹣sinx，给出以下四个结论：
①函数f（x）的图象关于直线对x＝称；
②函数f（x）图象在（π，f（π））处的切线与y轴垂直；
③函数f（x）在区间[，]上单调递增；
④f（x）为奇函数，且f（x）既无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．① B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知单位向量，的夹角为45°，k﹣与垂直，则k＝　 　．
14．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　 　．
15．（5分）一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为 　 　．

16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是 　 　．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（共60分）
17．（12分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4＝﹣18．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若存在正整数n，使得Sn≥2021，求n的最小值．
18．（12分）已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，点E为AB中点，把△ADE沿DE折起，点A到达平面ABCD外一点P处，点F为AD中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面CEF；
（Ⅱ）当时，求二面角D﹣CE﹣F的余弦值．

19．（12分）某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品．该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成．各个电子元件能够正常工作的概率均为p（0＜p＜1），且每个电子元件能否正常工作相互独立．每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修．
（1）当时，每个系统维修费用均为200元．设ξ为该电子产品需要维修的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？
20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆交于A，B两点，AB的中垂线交椭圆于C，D两点，M为CD的中点，若cos∠AMB＝﹣，求实数m的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
证明：﹣ln2＜＜0．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y＝kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）＝|x+2|+|2x﹣1|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若集合{x∈R|f（x）+ax﹣1＜0}≠∅，求实数a的取值范围．

2021年四川省绵阳市南山中学高考数学适应性试卷（理科）（二）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2+i D．2﹣i
【分析】由已知求得z，再由共轭复数的概念得．
【解答】解：∵复数z对应的点的坐标是（1，2），
∴z＝1+2i，则．
故选：A．
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（∁UA）＝（　　）
A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
【分析】先求出∁UA，然后再求B∩（∁UA）即可求解．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，
∴∁UA＝{1，6，7}，
则B∩（∁UA）＝{6，7}
故选：C．
3．（5分）2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（　　）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量
【分析】观察折线图判断各选项．
【解答】第8天比第7天的复工指数和复产指数均低，A错；
这11天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差：两者最高差不多，但最低的复工指数比复产指数低得多，B错；
第3天至第11天复工复产指数均超过80%，C正确；
第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，D错误．
故选：C．
4．（5分）在（x+）5的展开式中，x2的系数是（　　）
A．10 B．20 C．32 D．35
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得含x2的系数．
【解答】解：（x+）5的展开式的通项公式为 Tr+1＝•2r•x5﹣3r，
令5﹣3r＝2，求得r＝1，可得x2的系数为×2＝10，
故选：A．
5．（5分）程序框图如图所示，若该程序运行的结果1320．则判断框中应填入（　　）

A．k＜8？ B．k＜9？ C．k＜10？ D．k＜l1？
【分析】根据程序框图，列出每次执行循环体后得到的S、K的值，当S＝1320时退出循环体，这时就可以得出判断框中的条件．
【解答】解：第一次执行循环体后S＝12，K＝11；
第二次执行循环体后S＝132，K＝10；
第三次执行循环体后S＝1320，K＝9；
然后退出循环体，输出后S＝1320．
所以判断框中应填入k＜10？．
故选：C．
6．（5分）已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解答】解：由题意，可知：
a＝log27＞log24＝2，
b＝log38＜log39＝2，
c＝0.30.2＜1，
∴c＜b＜a．
故选：A．
7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
分别将x＝a，代入可得y＝±b，
即D（a，b），E（a，﹣b），
则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8，
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．
（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵+f（x）＝+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，
＝，
∵+f（x）＝，
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
9．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与准线l相切于点Q，Q点的纵坐标为，E（5，0）是圆M与x轴不同于F的另一个交点，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的定义，结合M∈C，确定M的坐标，根据M是线段EF垂直平分线上的点，建立方程，即可求得p的值．
【解答】解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），
由Q点的纵坐标为，则M点的纵坐标为，
则M的横坐标x＝，则M（，），半径为丨MF丨＝+＝2p，
M是线段EF垂直平分线上的点，
＝，解得：p＝2，
∴故选：B．

10．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若（b﹣sinC）cosA＝sinAcosC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
【分析】已知等式整理后，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，整理得到关系式，利用正弦定理列出关系式，代入求出tanA的值，进而确定出A的度数，利用余弦定理求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．
【解答】解：已知等式整理得：bcosA＝sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）＝sinB，即，
由正弦定理，得：，即＝tanA＝，
∴A＝60°，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
则S△ABC＝bcsinA＝bc≤3，即△ABC面积的最大值为3．
故选：B．
11．（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．90°
【分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．
【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面，
由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，
又∠OAO'为40°且OA⊥AH，
在Rt△OHA中，O'A⊥OH，∴∠OHA＝∠OAO'＝40°，

另解：画出截面图，如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线．
l是点A处的水平面的截线，由题意可得OA⊥l，AB是晷针所在直线．m是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得m∥CD，
根据线面垂直的定义可得AB⊥m，由于∠AOC＝40°，m∥CD，
所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG+∠GAE＝∠BAE+∠GAE＝90°，
所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与A处的水平面所成角为∠BAE＝40°，
故选：B．


12．（5分）已知函数f（x）＝﹣sinx，给出以下四个结论：
①函数f（x）的图象关于直线对x＝称；
②函数f（x）图象在（π，f（π））处的切线与y轴垂直；
③函数f（x）在区间[，]上单调递增；
④f（x）为奇函数，且f（x）既无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．① B．②③ C．②④ D．②③④
【分析】对于①，分别求出f（x），f（π﹣x），判断二者是否相等，即可求解，对于②，对函数f（x）求导，结合导数的几何含义，即可求解，对于③，对函数f（x）求导，结合导数在区间[，]上的正负，即可求解，对于④，根据已知条件，结合奇函数的性质，以及极限的思维，即可求解．
【解答】解：对于①，∵f（x）＝，
∴＝，
∴f（x）≠f（π﹣x），故函数f（x）的图象不关于直线对x＝称，故①错误，
对于②，∵f（x）＝﹣sinx，
∴，则，即函数f（x）图象在（π，f（π））处的切线为0，该切线与y轴垂直，故②正确，
对于③，＝＝，
当x∈[，]时，sinx＞0，，
∴f'（x）＞0，即函数在区间[，]上单调递增，故③正确，
对于④，∵f（x）＝，
∴f（x）的定义域为，f（﹣x）＝，
∴f（x）为奇函数，
当x→+∞时，cosx∈[﹣1，0∪（0，1]，sinx∈（﹣1，1），
当x＝2kπ，k∈Z时，cosx＝1，sinx＝0，
故f（x）＝x→+∞，
当x＝π+2kπ，k∈Z时，cosx＝﹣1，sinx＝0，
故f（x）＝﹣x→﹣∞，
∴f（x）既无最大值，也无最小值，故④正确，
综上所述，正确结论编号为②③④．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知单位向量，的夹角为45°，k﹣与垂直，则k＝　　．
【分析】由已知求得，再由k﹣与垂直，可得（）＝0，展开即可求得k值．
【解答】解：∵向量，为单位向量，且，的夹角为45°，
∴，
又k﹣与垂直，
∴（）＝，
即，则k＝．
故答案为：．
14．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　．
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
可得：，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为：．
故答案为：．
15．（5分）一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为 　4π　．

【分析】根据三视图知该几何体是两个相同的圆锥组合体，结合图中数据求出该几何体的表面积．
【解答】解：根据三视图知，该几何体是两个相同的圆锥组合体，
因为侧视图周长为8，一内角为60°的菱形，
所以圆锥的母线长为l＝2，底面圆半径为r＝1，
所以该几何体的表面积为S＝2•πrl＝2×π×1×2＝4π．
故答案为：4π．
16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是 　（，）　．
【分析】作出函数f（x）的图象，分析可知，x1＜0，0＜x2＜1，2＜x3＜3，3＜x4＜4，且||＝||，x3+x4＝6，由此可得＝，构造函数g（x）＝（2＜x＜3），求出该函数的值域即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如右图所示，
不妨设x1＜x2＜x3＜x4，可知x1＜0，0＜x2＜1，2＜x3＜3，3＜x4＜4，
且||＝||，x3+x4＝6，
∴＝﹣，化简可得＝2，
则＝，
设g（x）＝＝+2，其中2＜x＜3，
∵2＜x＜3，
∴8＜﹣x2+6x＜9，
∴＜+2＜，即的取值范围为（，）．
故答案为：（，）．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（共60分）
17．（12分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4＝﹣18．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若存在正整数n，使得Sn≥2021，求n的最小值．
【分析】（1）由已知可得关于等比数列{an}的首项与公比的方程组，求解首项与公比，则通项公式可求；
（2）写出等比数列的前n项和，分类求解指数不等式得答案．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q（q≠0），
由S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4＝﹣18，
得，解得．
∴数列{an}的通项公式为；
（2）由（1）有，
由Sn≥2021得，1﹣（﹣2）n≥2021，即（﹣2）n≤﹣2020．
当n为偶数时，（﹣2）n＞0，上式不成立；
当n为奇数时，（﹣2）n＝﹣2n≤﹣2020，得n≥11．
综上，n的最小值为11．
18．（12分）已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，点E为AB中点，把△ADE沿DE折起，点A到达平面ABCD外一点P处，点F为AD中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面CEF；
（Ⅱ）当时，求二面角D﹣CE﹣F的余弦值．

【分析】（I）连接EF，CE，CF，连接BD交EC于点G，连接FG，则FG∥PB，利用线面平行的判定定理即可求证；（Ⅱ）设DE的中点为点O，证明OP垂直平面BCDE，以点O为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，用空间向量的夹角公式即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：由题可得到四棱锥P﹣EBCD如图所示，连接EF，CE，CF．
易知BE＝CD，且BE∥CD，
所以四边形BCDE是平行四边形．
又BC＝CD＝2，所以四边形BCDE是菱形，
所以DE＝PD＝PE＝2，所以△PDE是等边三角形，则∠DPE＝∠EBC＝60°，
易知△CDE是等边三角形．
连接BD交EC于点G，连接FG，则点G为BD的中点，所以FG是△PBD的中位线，则FG∥PB．
因为FG⊂平面CEF，PB⊄平面CEF，
所以PB∥平面CEF．（5分）

（Ⅱ）如图，设DE的中点为点O，连接OP，OC，OB，EC，则OP⊥DE，OC⊥DE．
在△OBE中，OE＝1，BE＝2，∠BEO＝120°，
由余弦定理得．
在△POB中，．
因为OP2+OB2＝PB2，所以OP⊥OB．
又DE∩OB＝O，所以OP⊥平面BCDE，
所以OP，OE，OC两两垂直，则以点O为坐标原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，（6分）
则，．（8分）
设平面CEF的法向量为，
则解得
令y＝1，得，所以．
由题可知平面CDE的一个法向量为．（10分）
设二面角D﹣CE﹣F的平面角为α，且由图可知α为锐角，
则．（12分）

19．（12分）某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品．该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成．各个电子元件能够正常工作的概率均为p（0＜p＜1），且每个电子元件能否正常工作相互独立．每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修．
（1）当时，每个系统维修费用均为200元．设ξ为该电子产品需要维修的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？
【分析】（1）求出A系统需要维修的概率，B系统需要维修的概率，设X为该电子产品需要维修的系统个数，X～B，ξ＝200X．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）求出A系统3个元件至少有2个正常工作的概率，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率，令f（p）＞0，解得．然后得到结论．
【解答】解：（1）A系统需要维修的概率为，
B系统需要维修的概率为，
设X为该电子产品需要维修的系统个数，则X～B，ξ＝200X．，
∴ξ的分布列为
ξ
0
200
400
P



∴． （6分）
（2）A系统3个元件至少有2个正常工作的概率为，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率为，则．
∵0＜p＜1．令f（p）＞0，解得．
所以，当时，B系统比A系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A系统；
当时，A系统比B系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B系统；
当时，A系统与B系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A，B系统检测不分次序．（12分）
20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆交于A，B两点，AB的中垂线交椭圆于C，D两点，M为CD的中点，若cos∠AMB＝﹣，求实数m的值．
【分析】（Ⅰ）由题意可得关于a，b，c的方程组，求解可得a与b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m，与椭圆方程联立求得AB的中点N坐标，得到CD所在直线方程，与椭圆方程联立求得CD中点坐标，然后求出|BN|、|MN|，再由cos∠AMB＝﹣，可得，代入可得关于m的方程，求解得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，
，解得.
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得3x2+4mx+2m2﹣4＝0．
△＝16m2﹣12（2m2﹣4）＝﹣8m2+48＞0，得＜m＜．
，，
∴AB的中点N（），
∵CD是AB的垂直平分线，∴CD：，即．
联立，得．
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∴，，
∴CD的中点M（）．
∵cos∠AMB＝﹣，∴cos∠NMB＝，
得sin∠NMB＝，则tan．
∴，
∵|AB|＝
＝＝，∴|BN|＝|AB|＝．
|MN|＝＝，
由，解得m＝．

21．（12分）已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
证明：﹣ln2＜＜0．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）和其定义域及f′（x），讨论m的范围，令f′（x）＞0及f′（x）＜0，分别求得单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）求导，f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．转化成一元二次方程x2﹣x+m＝0的两个根x1，x2，且0＜x1＜x2，根据根与系数的关系，将x1用x2表示，求得的表达，构造辅助函数求得的范围，即可证明原式成立．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），x＜1，
导数f′（x）＝x+＝，
由y＝x2﹣x+m的判别式△≤0，即1﹣4m≤0，
可得m≥，此时f′（x）≤0，f（x）在（﹣∞，1）递减；
当m＜时，且0＜m＜时，
方程y＝0的两根x1＝﹣＜1，
x2＝+＜1，
可得f（x）在（﹣，+）递增；
在（﹣∞，﹣），（+，1）递减；
当m＝0时，f（x）在（0，1）递增；在（﹣∞，0）递减；
当m＜0时，f（x）在（﹣，1）递增，在（﹣∞，﹣）递减；
（Ⅱ）证明：由f′（x）＝x+＝，
函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
方程x2﹣x+m＝0有两个小于1的根，
可得0＜m＜，且0＜x1＜＜x2＜1，
x1+x2＝1，x1x2＝m，
＝＝（x2+﹣2）+（1﹣x2）lnx2，
可令g（t）＝（t+﹣2）+（1﹣t）lnt，＜t＜1，
导数为g′（t）＝（1﹣）﹣lnt+﹣1
＞（1﹣）﹣（t﹣1）+﹣1＝（1﹣t2）•＞0，
则g（x）在（，1）递增，
可得g（x）∈（﹣ln2，0），
则不等式﹣ln2＜＜0成立．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y＝kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ，即ρ2cos2θ＝ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2＝y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα＝0，
解得t1＝0，t2＝2cosα．
∴|OA|＝|t2|＝2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2＝tsinα，
解得t1＝0，t2＝．
∴|OB|＝|t2|＝．
∴|OA|•|OB|＝2cosα•＝2tanα＝2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）＝|x+2|+|2x﹣1|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若集合{x∈R|f（x）+ax﹣1＜0}≠∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，求出f（x）在每一段的范围，再得到f（x）的最小值；
（2）根据{x∈R|f（x）+ax﹣1＜0}≠∅，可知f（x）＜﹣ax+1 在 R 上有解，作出f（x）和y＝﹣ax+1的图象，再结合图象得到a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝|x+2|+|2x﹣1|＝，
当x≤﹣2时，f（x）∈[5，+∞）；
当时；
当时，
．
（2）∵{x∈R|f（x）+ax﹣1＜0}≠∅，
∴f（x）＜﹣ax+1在R上有解，
由图，可得﹣a＞3或﹣a＜﹣2
∴a的范围为（2，+∞）∪（﹣∞，﹣3）．