四川省绵阳中学2023届高三数学（理）适应性考试（二）试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳中学2023届高三数学（理）适应性考试（二）试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省绵阳中学高考数学适应性试卷（理科）（二）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣5＜x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{x|x≤﹣5或x＞1} B．{x|x≤﹣5或x＞3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|1＜x≤3}
2．（5分）在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1﹣50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（　　）
A．3，13，23，33，43 B．11，21，31，41，50
C．3，6，12，24，48 D．3，19，21，27，50
3．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+1＝2Sn+1（n∈N*），则a5＝（　　）
A．27 B．64 C．81 D．128
4．（5分）已知，命题p：2m2﹣3m﹣2≤0，命题表示焦点在x轴上的椭圆．则下列命题中为假命题的是（　　）
A．p∧q B．p∧￢q C．p∨￢q D．p∨q
5．（5分）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把（1+1%）看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是（1+1%）365≈37.7834；而把（1﹣1%）看作是每天“退步”率都是1%，一年后是（1﹣1%）365≈0.0255．若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（　　）（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，100.87≈7.41）
A．40倍 B．45倍 C．50倍 D．55倍
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+φ）﹣满足，则函数是（　　）
A．奇函数，关于点（π，0）成中心对称
B．偶函数，关于点（π，0）成中心对称
C．奇函数，关于直线x＝π成轴对称
D．偶函数，关于直线x＝π成轴对称
7．（5分）动圆P过定点M（0，2），且与圆N：x2+（y+2）2＝4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）若向量满足，则向量一定满足的关系为（　　）
A．
B．存在实数λ，使得
C．存在实数m，n，使得
D．
9．（5分）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（　　）
A．288种 B．336种 C．384种 D．672种
10．（5分）如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，，，AB＝2，BC＝3，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
11．（5分）已知双曲线C的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且|MF1|＝2|MA|，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
12．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，e2] B．（0，e2） C．[1，e2] D．（1，e2）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
13．（5分）已知i是虚数单位，z＝1+i﹣3i2023，且z的共轭复数为，则＝　 　．
14．（5分）现有如下命题：
①若 的展开式中含有常数项，且n的最小值为10；
②；
③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出白球的次数，则Eξ＝2；
④若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（x）的最小正周期为8；
则正确论断有 　 　.（填写序号）
15．（5分）在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，BC⊥CD，BE⊥DE，∠CBE＝120°，且AB＝BC＝BE＝2，则该四棱锥的外接球的表面积为 　 　．

16．（5分）对于数列{an}，定义An＝a1+2a2+…+2n﹣1an为数列{an}的“加权和”，已知某数列{an}的“加权和”An＝n•2n+1，记数列{an+pn}的前n项和为Tn，若Tn≤T5对任意的n∈N*恒成立，则实数p的取值范围为 　 　．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题。每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝6．
（1）若，D为AC边的中点，，求a；
（2）若bsin2C＝6sinB，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，BD＝CD＝，AE＝2．
（1）证明：平面EBD⊥平面BCD；
（2）求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

19．（12分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣．开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的平均数和方差．

20．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣xex+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝lnx﹣x+1﹣ex﹣f（x）在上的最大值在区间（m，m+1）内，求整数m的值．
21．（12分）已知椭圆．
（1）若P（x0，y0）为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆C相切；
（2）若P（x0，y0）为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N，直线MN分别交直线于A、B两点，且△AOB的面积为8．问：在x轴是否存在两个定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值．若存在，求F1、F2的坐标；若不存在，说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．↩【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为：，直线l与曲线C分别交于M，N．

（1）写出曲线C和直线L的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|，g（x）＝3﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤g（x）的解集N；
（2）设N的最小数为n，正数a，b满足a+b＝3n，求的最小值．
2023年四川省绵阳中学高考数学适应性试卷（理科）（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】A
【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义求解作答．
【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|﹣5＜x≤3}，
则∁UA＝{x|x≤﹣5或x＞3}，而B＝{x|1＜x＜4}，
所以（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣5或x＞1}．
故选：A．
2．【答案】A
【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案．
【解答】解：依题意，组距为，
所以A选项符合，BCD选项不符合．
故选：A．
3．【答案】C
【分析】根据数列的递推式，即可求解．
【解答】解：a1＝1，an+1＝2Sn+1（n∈N*），
则a2＝2S1+1＝2a1+1＝3，a3＝2S2+1＝2（a1+a2）+1＝9，
a4＝2S3+1＝2（a1+a2+a3）+1＝27，
a5＝2S4+1＝2（a1+a2+a3+a4）+1＝81．
故选：C．
4．【答案】B
【分析】根据二次不等式的求解以及椭圆标准方程的概念，解得不等式的解集，可得命题的真假，结合逻辑用语的概念，可得答案．
【解答】解：对于命题p，由2m2﹣3m﹣2≤0，（2m+1）（m﹣2）≤0，
解得m∈[﹣，2]⊇（，2]，则命题p为真命题；
对于命题q，由方程表示焦点在x轴上的椭圆，
则，
解得，故命题q为真命题；
综上，可知命题p∧q，p∨¬q，p∨q为真命题，命题p∧¬q为假命题．
故选：B．
5．【答案】D
【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步”的值和“退步”的值，再结合对数与指数运算求解作答．
【解答】解：依题意，经过200天的“进步”的值为（1+1%）200，“退步”的值为（1﹣1%）200，
则“进步”的值与“退步”的值的比，两边取对数得：
lgt＝200（lg1.01﹣lg0.99）＝200（lg101﹣lg99）≈200（2.0043﹣1.9956）＝1.74，
因此t＝101.74＝（100.87）2≈7.412＝54.9081≈55，
所以“进步”的值大约是“退步”的值的55倍．
故选：D．
6．【答案】D
【分析】由已知先求出φ，进而可求函数解析式，然后集合余弦函数的性质即可判断．
【解答】解：因为函数f（x）＝sin（x+φ）﹣＝2sin（x+φ﹣）满足，
所以2sin（+φ﹣）＝2，即sin（+φ﹣）＝1，
所以φ﹣＝，k∈Z，
所以φ＝+2kπ，k∈Z，
所以f（x）＝2sin（x+），
则函数＝2cosx为偶函数，图象关于x＝π成轴对称．
故选：D．
7．【答案】A
【分析】由题意可得|PM﹣|PN|＝2＜|MN|，再由双曲线的定义可得P点的轨迹为双曲线，且在靠近点N的一支曲线上，丙可得c，a的值，进而求出b的值，求出双曲线的方程．
【解答】解：由圆N的方程可得N（0，﹣2），半径为2，
设动圆P的半径为r，由题意可得|PM|＝r，|PN|＝r﹣2，
即|PM|﹣|PN|＝2＜|MN|，
即点P在以M，N为焦点，焦距长为2c＝4，实轴长为2a＝2，
由双曲线的定义h虚轴长为2b＝2＝2的双曲线上，且点P在靠近点N的一支曲线上，
所以P点的轨迹方程为：y2﹣＝1，（y＜0）
故选：A．
8．【答案】C
【分析】对两边平方即可得出，进而得出，从而判断A不正确；时，B不一定成立；时，D不成立，这样只能选C．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴不一定成立；时，不成立；时，不成立．
故选：C．
9．【答案】D
【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得．
【解答】解：甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，
丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，
所以共有种方案．
故选：D．
10．【答案】D
【分析】在上取点E，使，连接AN，NB，BE，EA，以N为坐标原点，分别以直线NB，NA，NM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，求出相应点的坐标，再利用异面直线夹角的空间向量公式求解．
【解答】解：在上取点E，使，连接AN，NB，BE，EA，
易知四边形ANBE为矩形，AN＝1，．连接MN，
由已知条件，得MN为圆柱的一条母线，
以N为坐标原点，分别以直线NB，NA，NM为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系N﹣xyz，

则N（0，0，0），A（0，1，0），M（0，0，3），，
所以，，
则，
所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为．
故选：D．
11．【答案】C
【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出cos∠MOA，再由余弦定理求出|MA|，判断△MOA形状即可求解作答．
【解答】解：设双曲线C的半焦距为c，直线OM的方程为，有，如图

即有，而sin2∠MOA+cos2∠MOA＝1，解得，
在△MOA中，由余弦定理得：，
因此|MA|2+|OA|2＝|OM|2，即有∠OAM＝90°，
而|MF1|＝2|MA|，则∠MF1A＝30°，
又|OM|＝|OF1|＝c，于是∠MOA＝2∠MF1A＝60°，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
12．【答案】B
【分析】根据f（x）＞0恒成立可得ex﹣lna+x﹣lna＞eln（x﹣1）+ln（x﹣1），构造函数g（x）＝ex+x，由g（x）的单调性可得x﹣lna＞ln（x﹣1），用放缩法求出ln（x﹣1）﹣x的最大值，从而得到a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a＞0（a＞0）恒成立，
∴，
∴ex﹣lna+x﹣lna＞ln（x﹣1）+x﹣1，
∴ex﹣lna+x﹣lna＞eln（x﹣1）+ln（x﹣1）．
令g（x）＝ex+x，易得g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x﹣lna＞ln（x﹣1），∴﹣lna＞ln（x﹣1）﹣x．
∵ln（x﹣1）﹣x≤x﹣2﹣x＝﹣2，
∴﹣lna＞﹣2，∴0＜a＜e2，
∴实数a的取值范围为（0，e2）．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
13．【答案】17．
【分析】根据i的幂运算、共轭复数定义和复数乘法运算法则直接求解即可．
【解答】解：∵z＝1+i﹣3i2023＝1+i﹣3i4×505+3＝1+i+3i＝1+4i，
∴，
∴．
故答案为：17．
14．【答案】②③．
【分析】由题意，根据二项展开式的通项公式，使展开式中含有常数项，即可求出n的最小值，进而可判断结论①；利用定积分的几何意义以及圆的面积公式即可判断结论②；得到取到白球的次数ξ～B（3，），代入期望公式中即可判断结论③；利用函数的周期性的定义即可判断结论④．
【解答】解：对于①：已知二项展式开式的通项公式Tr+1＝•（3x）n﹣r•＝•3n﹣r•，
令，
解得，
则当r＝2时，n有最小值，最小值为5，故①错误；
对于②：因为dx表示x2+y2＝1的上半圆的面积，
上半圆的面积S＝，
则，故②正确；
对于③：易知取到白球的次数ξ～B（3，），
则Eξ＝3×＝2，故③正确；
对于④：因为f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以函数f（x）的最小正周期为4，故④错误，
综上，结论正确的有②③．
故答案为：②③．
15．【答案】20π．
【分析】连接BD，CE，由题意可得E，C在直径为BD的圆上，在△BCE中，由余弦定理可得到，即可得到底面外接圆的半径，再利用AB⊥平面BCDE可得球心到底面的距离，即可求解
【解答】解：连接BD，CE，
∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴E，C，B，D在直径为BD的圆上，
取BD的中点O'，即四边形BCDE外接圆的圆心，
在△BCE中，又余弦定理可得：
，
∴，
解得，
∴四边形BCDE外接圆的直径即△BCE外接圆的直径为，
∴O'B＝2，
∵AB⊥平面BCDE，
∴四棱锥的外接球的球心O与底面BCDE的距离为，
∴四棱锥的外接球的半径为，
∴该四棱锥的外接球的表面积为4πR2＝20π．
故答案为：20π．

16．【答案】[﹣，﹣]．
【分析】数列{an}的“加权和”An＝n•2n+1，由a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n，相减可得an，利用求和公式可得数列{an+pn}的前n项和Tn，利用二次函数的单调性即可得出实数p的取值范围．
【解答】解：∵数列{an}的“加权和”An＝n•2n+1，
∴a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n+1，
∴n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n，
相减可得2n﹣1an＝n•2n+1﹣（n﹣1）•2n，
∴an＝2n+2，
n＝1时，a1＝4，也满足上式，
∴an＝2n+2．
an+pn＝（2+p）n+2，
数列{an+pn}的前n项和Tn＝＝，
∵Tn≤T5对任意的n∈N*恒成立，
∴2+p＜0，4.5≤﹣≤5.5，
解得﹣≤p≤﹣，
∴实数p的取值范围为[﹣，﹣]，
故答案为：[﹣，﹣]．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题。每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．【答案】（1）；（2）9．
【分析】（1）由题意画出图形，利用余弦定理求解b，进一步利用余弦定理求解a；
（2）由已知求得C＝90°，再由勾股定理与基本不等式求得ab的最大值，则△ABC面积的最大值可求．
【解答】解：（1）如图，

在△ABD中，c＝6，，，
由余弦定理可得：，
解得b＝4或b＝﹣12（舍去），
在△ABC中，c＝6，，b＝4，
由余弦定理可得＝＝＝2；
（2）若bsin2C＝6sinB，则bcsinC＝6b，可得csinC＝6sinC＝6，即sinC＝1，
∴C＝90°，可得a2+b2＝36，
∴ab≤＝18，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴△ABC面积的最大值为．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）取BC中点O，连结AO，DO，推导出DO⊥BC，DO⊥平面ABC，从而AE∥DO，进而四边形AODE是平行四边形，ED∥AO，推导出AO⊥BC，从而AO⊥平面BCD，进而ED⊥平面BCD，由此能证明平面EBD⊥平面BCD．
（2）推导出AO⊥DO，DO⊥BC，AO⊥BC，分别以OB，AO，OD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）取BC中点O，连结AO，DO，
∵BD＝CD＝，∴DO⊥BC，DO＝＝2，
∵DO⊂平面BCD，平面DBC∩平面ABC＝BC，
平面BCD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，
∵AE⊥平面ABC，∴AE∥DO，
又DO＝2＝AE，∴四边形AODE是平行四边形，∴ED∥AO，
∵△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
∵AO⊂平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，平面BCD⊥平面ABC，
∴AO⊥平面BCD，∴ED⊥平面BCD，
∵ED⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面BCD．
解：（2）由（1）得AO⊥平面BCD，∴AO⊥DO，
又DO⊥BC，AO⊥BC，
分别以OB，AO，OD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（0，0，2），E（0，﹣，2），
平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面BED的一个法向量为＝（x，y，z），
＝（﹣1，0，2），＝（﹣1，﹣，2），
则，取x＝2，得＝（2，0，1），
设平面BED与平面ABC所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．

19．【答案】（1）32.25（岁），37.5；
（2）①；②据此估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄平均数为38，方差约为10．
【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数与第80百分位数；
（2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由平均数、方差的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）设这m人的平均年龄为，则＝22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5＝32.25（岁）．
设第80百分位数为a，
因为0.01×5+0.07×5+0.06×5＝0.7＜0.8，0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8，
故a位于第四组：[35，40）内，
所以0.7+（a﹣35）×0.04＝0.8，解得a＝37.5．
（2）①由题意得，第四组应抽取0.04×5×20＝4人，第五组抽取0.02×5×20＝2人，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，
所以P（M）＝＝．
②设第四组的宣传使者的年龄分别为x1，x2，x3，x4，平均数分别为，方差分别为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为y1，y2，平均数分别为，方差分别为，
则，
可得，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s2，
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，
则
＝，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄平均数为38，方差约为10．
20．【答案】（1）ex+y﹣e﹣1＝0；（2）﹣4．
【分析】（1）分别求出切线方程的切点和斜率，利用点斜式方程计算求解；
（2）对函数g（x）求导，判断出函数的单调性和最值，利用极值点处的导数为0列方程，代入化简，并求出极值点的范围，可得整数m的值．
【解答】解：（1）曲线f（x）＝ex﹣xex+1的切点坐标为（1，1），
由f′（x）＝ex﹣ex（x+1）＝﹣xex，
则切线的斜率为f′（1）＝﹣e，
切线方程为：y﹣1＝﹣e（x﹣1），
化简得：ex+y﹣e﹣1＝0，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex+y﹣e﹣1＝0；
（2）函数g（x）＝lnx﹣x+1﹣ex﹣f（x）＝lnx﹣x+（x﹣2）ex，
g′（x）＝﹣1+ex（x﹣1）＝（x﹣1）（ex﹣），
∵x≤1，∴x﹣1≤0，且y＝ex﹣在[，1]上单调递增，
令g′（x0）＝0，则e＝，即x0＝﹣lnx0，
则函数g（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，
则g（x）max＝g（x0）＝lnx0﹣x0+（x0﹣2）e＝﹣2x0+（x0﹣2）•＝﹣2（x0+）+1，
又∵e＜4，∴e＜2；e2＞，∴e＞；
则x0∈（，），
∵y＝x+在（，）上单调递减，∴x0+∈（，），﹣2（x0+）+1∈（﹣4，﹣），
又最大值在区间（m，m+1）内，
故整数m的值为﹣4．
21．【答案】（1）证明详情见解答．
（2）存在x轴上的点F1（﹣2，0），F2（2，0），使得||PF1|﹣|PF2||＝8成立．
【分析】（1）当y0＝0时，x0＝±2，直线＝1与椭圆C相切；当y0≠0时，+＝1，联立，由判别式可得Δ＝0，即可得出答案．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由（1）得，则M（x1，y1），N（x2，y2）是方程+＝1的两根，进而可得直线MN的方程为+＝1，联立，解得xA，同理可得xB，进而可得xAxB，yAyB，计算得tan∠AOB＝﹣，进而可得sin∠AOB＝，则S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝|xA||xB|•＝8，可得点P的轨迹是双曲线，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：当y0＝0时，x0＝±2，直线＝1与椭圆C相切，
当y0≠0时，+＝1，
联立，得（+4）x2﹣32x0x+16（16﹣4）＝0，
所以x2﹣2x0x+16﹣4＝0，
所以Δ＝+4﹣16＝0，
所以直线与圆C相切．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则由（1）得，则，
所以M（x1，y1），N（x2，y2）是方程+＝1的两根，
所以直线MN的方程为+＝1，
联立，得xA＝，
同理可得xB＝，
xAxB＝，yAyB＝，
tan∠AOB＝＝﹣，
所以sin∠AOB＝，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝|xA||xB|•＝8，
所以4﹣＝±16，点P的轨迹是双曲线，
所以存在x轴上的点F1（﹣2，0），F2（2，0），使得||PF1|﹣|PF2||＝8成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．↩【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把极坐标方程两边同时乘以ρ后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程；
（2）把直线的参数方程代入抛物线方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a的值．
【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2acosθ，得ρ2sin2θ＝2aρcosθ，
即y2＝2ax；
由，可知直线过（﹣2，﹣4），且倾斜角为，
∴直线的斜率等于1，∴直线方程为y+4＝x+2，即y＝x﹣2；
（2）直线l的参数方程为（t为参数），
代入y2＝2ax得到，
则有，
因为|MN|2＝|PM|•|PN|，
所以，
即8（4+a）2＝5×8（4+a）．
解得a＝1．
【选修4-5：不等式选讲】
23．【答案】（1）N＝{x|≤x≤}；
（2）．
【分析】（1）不等式整理，设分段函数，分别求出各自区间内的解集，最后求出不等式的解集；
（2）由（1）可得n的值，即求出a+b＝2，可用b表示a，再用a表示b，求出的表达式，由均值不等式可得它的最小值．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝|2x﹣3|，g（x）＝3﹣|x﹣2|，所以不等式f（x）≤g（x）可化为|2x﹣3|+|x﹣2|≤3，
等价于F（x）＝，
即或或，
解得：≤x≤或＜x＜2或2≤x≤，
即≤x≤，
所以不等式的解集为N＝{x|≤x≤}；
（2）因为N的最小数为n＝，所以a+b＝3n＝2，可得a＝2﹣b，
所以b＝2﹣a＞0，所以a∈（0，2），
所以＝+＝a+b++﹣4﹣4＝2++﹣8＝+﹣6＝（+）（a+b）﹣6＝（9+4++）﹣6＝+（+），
因为a，b都是正数，所以＞0，＞0，
由均值不等式可得+≥2＝12，当且仅当＝，即3b＝2a时取等号，且b＝2﹣a，解得a＝∈（0，2），b＝，
所以≥+6＝，
所以的最小值为．