2021-2022学年上海市闵行区文莱中学九年级（下）第九周周测数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市闵行区文莱中学九年级（下）第九周周测数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，与属同类二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 关于函数，下列说法中错误的是

A. 函数的图象在第二、四象限 B. 的值随的值增大而增大
C. 函数的图象与坐标轴没有交点 D. 函数的图象关于原点对称

4. 如图，矩形中，对角线、交于点，如果，，那么矩形的面积等于

A.
B.
C.
D.

5. 一个事件的概率不可能是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知、、、四点都在上，，，在下列四个说法中，；；；，正确的个数是

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 计算：______．
8. 函数的定义域是______．
9. 方程的解是______．
10. 已知一个样本、、、、的平均数是，那么______．
11. 如果把二次方程化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是______．
12. 已知一件商品的进价为元，超市标价元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利______元．用含有、的代数式表示
13. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______．
14. 已知正方形的半径是，那么这个正方形的边心距是______．
15. 今年月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在小时的学生的频率是，那么锻炼时间在小时的学生的频率是______．

16. 如图，已知中，点、分别在边、上，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示是______．
    
     

17. 将正比例函数是常数，的图象，沿着轴的一个方向平移个单位后与轴、轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为，那么这个正比例函数的解析式是______．
18. 如图，在中，，，，点为边上一点，将沿着翻折得到，与边的交于点，如果恰好为直角三角形，那么______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

21. 在平面直角坐标系中如图，已知一次函数与的图象都经过点，且分别与轴交于点和点．
    求、两点的坐标；
    设点在直线上，且在轴右侧，当的面积为时，求点的坐标．

22. 一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面的正侧面示意图，其中表示显示屏的宽，与墙面的夹角的正切值为，在地面处测得显示屏顶部的仰角为，屏幕底部与地面的距离为米，如果处与墙面之间的水平距离为米，求显示屏的宽的长．结果保留根号

23. 已知：如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点是延长线上的一点，且，分别延长、交于点．
    求证：四边形为菱形；
    如果，求证：．

24. 在平面直角坐标系中如图，已知点在轴的正半轴上，且与原点的距离为，抛物线经过点，其顶点为，直线与轴交于点，与抛物线交于点在其对称轴右侧，联结、．
    求抛物线的表达式及点的坐标；
    点是轴的负半轴上的一点，如果与相似，且相似比不为，求点的坐标；
    将绕着点逆时针方向旋转，使射线经过点，另一边与抛物线交于点点在对称轴的右侧，求点的坐标．

25. 如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
    联结，当时，求的半径长；
    过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
    设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，本选项计算错误；
B、，本选项计算错误；
C、，本选项计算错误；
D、，本选项计算正确；
故选：．
根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．
本题考查的是分数指数幂、负整数指数幂的运算，掌握分数指数幂、负整数指数幂的性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；
B.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；
C.，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；
D.与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意．
故选：．
先化简，再根据同类二次根式的定义解答．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】

【解析】解：函数，
该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；
在每个象限内，随的增大而增大，故选项B错误；
函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；
函数的图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

4.【答案】

【解析】解：四边形是矩形
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积；
故选：．
由矩形的性质得出，证是等边三角形，得出，由勾股定理求出，即可求出矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明为等边三角形是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：一个事件的概率最大是，最小是，故选项A错误，
故选：．
根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题．
本题考查概率的意义、概率公式，解答本题的关键是明确概率的意义，知道概率的最大与最小值．
 

6.【答案】

【解析】解：，，
，，
，故正确；
连接，

，故错误；
，
，故正确；
，
，故不正确；
故选：．
根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．
本题主要考查了积的乘方法则，单项式乘以单项式的法则，同底数幂的乘法法则，熟记各项法则是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为．
根据分式的意义，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

9.【答案】

【解析】解：把方程两边平方，得
，
，
，
或，
，．
检验：把，代入方程，
可知是原方程的根，是原方程的增根，
所以原方程的解为．
故答案为：．
先两边平方得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，，检验原方程的解为．
本题考查了解无理方程和一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解；要注意解无理方程要检验．
 

10.【答案】

【解析】解：一个样本、、、、的平均数是，
，
解得，，
故答案为：．
根据一个样本、、、、的平均数是，可以求得的值，本题得以解决．
本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法．
 

11.【答案】或

【解析】解：，
，
或．
故答案为：或
由于二元二次方程进行因式分解可以变为，即可解决问题．
此题主要考查了二元二次方程降次的方法，正确进行因式分解是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：根据题意得，每件商品盈利元，
故答案为：．
根据“标价售价”用代数式表示出售价，再根据“售价进价利润”用代数式表示盈利．
本题主要考查了列代数式，熟练掌握“标价售价，售价进价利润”这些数量之间的关系式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
根据直接开平方法定义即可求得的取值范围．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，根据正方形的性质知：是等腰直角三角形，
过作于，
正方形的半径是，
，
，
故答案为：．
正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边心距、半径围成直角三角形求解即可．
本题考查了正多边形的和圆的知识，解题的关键是了解正多边形的半径、边心距及边长的一半构成特殊的直角三角形．
 

15.【答案】

【解析】解：锻炼时间在小时的学生的频率是，人数为，
被调查的总人数为人，
则锻炼时间在小时的学生的频率是，
故答案为：．
先由锻炼时间在小时的学生的频率是，人数为求出被调查的总人数，再根据频率频数总人数可得答案．
本题主要考查频数率分布直方图，解题的关键是掌握频率频数总人数．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明即可．
本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】

【解析】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向上平移个单位时，所得函数的解析式为，
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向下平移个单位时，所得函数的解析式为，
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
故答案为：．
分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为，求出的值即可．
此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
 

18.【答案】或

【解析】解：如图中，当时，过点作于．

，，
，
，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，设，
在中，则有，
解得或舍弃，
如图中，当时，设．

在中，则有，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为或．
分两种情形：如图中，当时，过点作于如图中，当时，设分别求解即可解决问题．
本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式

．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式解集表示在数轴上如下：

所以不等式组的解集为．

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

21.【答案】解：将代入，解得，
，
令，则，即，
将代入，解得，
，
令，则，即，
如图，过作于，
当的面积为时，，
即，
，
，
中，令，则，
．

【解析】依据一次函数与的图象都经过点，即可得到和的值，进而得出、两点的坐标；
依据，即可得到点的横坐标，进而得出点的坐标．
本题主要考查了两条直线相交问题，解决问题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
 

22.【答案】解：过作于，于，过作于，
，
设，，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
米，
答：显示屏的宽的长为米．

【解析】过作于，于，过作于，设，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

23.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是菱形；
，平行四边形为菱形，
，
，
∽，
，
，，
，即．

【解析】由四边形是平行四边形知，结合知，从而得证；
先由，平行四边形为菱形得，据此可证∽得，结合，可得答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
 

24.【答案】解：点在轴的正半轴上，且与原点的距离为，
，
把代入抛物线中得：，
，
抛物线的表达式为：，
，
；

当时，，
解得：，，
由题意得：，
，，
，，
，且相似比不为，
只能∽，
，即，
，
；

连接，过作于，
由旋转得：，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
设，则，
，
点在抛物线上，
，
，
解得：，舍，
．

【解析】把点的坐标代入抛物线的解析式中可得：的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点的坐标；
根据，且相似比不为，所以只能∽，列比例式可得的长，从而得点的坐标；
连接，过作于，先根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，由等角三角函数得，设，则，表示，代入抛物线的解析式，可得结论．
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
为梯形的中位线，
，
即的半径长为；
连接、，过点作于，如图所示：
则，
，
，
四边形的面积的面积的面积的面积，
，
整理得：；
能成为等腰三角形，理由如下：
点为的中点，，
是梯形的中位线，
，，
，
由勾股定理得：，
分三种情况：
时，则，无解；
时，如图所示：
，
解得：；
时，作于，如图所示：
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
则此时圆和相切，不合题意；
综上所述，能成为等腰三角形，．

【解析】证为梯形的中位线，得出即可；
连接、，过点作于，则，由勾股定理得出，由四边形的面积的面积的面积的面积，进而得出答案；
证是梯形的中位线，得出，，，由勾股定理得，分三种情况，分别求解即可．
本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．