2021重庆市南开中学高一下学期期中考试数学试题含答案

www.ks5u.com重庆南开中学高2023级高一（下）半期考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单选题：本大题8个小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．

1．已知，且，则（   ）

A． B． C．0 D．

2．已知复数满足，则复数的虚部为（   ）

A． B． C． D．1

3．在中，角，，所对的边分别为，则“”是“是等边三角形”的（  ）

A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件 

C．充分必要条件                       D．既不充分又不必要条件

4．在中，，是的中点，是的中点，则（   ）

A．       B．       C．      D．

5．在中，面积，则（   ）

A．           B．           C．          D．

6．是空间中两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面（   ）

A．有且只有一个                       B．至多有一个

C．至少有一个                    D．有无数个

7．平面向量，，已知，则（   ）

A．           B．               C．              D．

8．如图所示在四边形ABCD中，是边长为4的等边三角形，

，则（   ）

    A．             B．            C．3               D．  

二、多选题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．每小题有多个选项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则为钝角三角形 

C．若，，，则符合条件的三角形不存在 

D．若，则为直角三角形

10．已知直线和平面，下列说法中不正确的有　　

A．若，，，则 

B．若，，则 

C．若与为异面直线，且，则

D．若，，则 

11．已知直角三角形ABC斜边，直角边，动点满足，下列说法正确的是（   ）

A．的最大值为10              B．的最大值为6

C．的最大值为24               D．存在D点满足

12．已知面积为12，，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则          B．的最大值为      

C． 的值可以为                 D．的值可以为                

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．

13．已知、，点是线段上的点，且，则点的坐标为　    　．

14．多项式在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后，则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为        ．

15．在中，角所对的边分别为，已知，，则       ．

16．如图所示四棱锥，底面为直角梯形，，

  在梯形内（含边界），， 则点轨迹长度为         ．

四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．

17．（10分）三棱锥P-ABC，PA=4，BC=6．

（1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；

（2）若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．

18．（12分）已知夹角为，．

（1）求实数的值；（2）求．

19．（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别是棱DD1、AB的中点．

（1）平面与直线交于点，求的值；

（2）为线段上靠近点的四等分点，求证：．

20．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有．

在下列条件中选择一个条件完成该题目：

①；②

  （1）求A的大小；

（2）求的取值范围．

21．（12分）如图所示，在中， BD=AC=2AD， CD=2， E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．

（1）若，求长度；

（2）求AF长度范围．

22．（12分）有一鱼池，其中有两条边成定角，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使得内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边上．

（1）若，求面积的最小值；

（2）若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得的面积不低于，求的取值范围．

重庆南开中学高2023级高一（下）半期考试答案

一、单选题

1-4：B D B A      5-8: B C D C

二、多选题

9.ACD   10.BD     11.ABC    12.AD

三、填空题

13.    14.    15.    16.

四、解答题

17.(1) 3对；，，.

   (2) 取的中点，连接、

       为中点，为中点

       为△中位线，  ∥且

       同理，∥且  为异面直线与所成角或其补角

       又   在△中，

       异面直线与所成角的余弦值为.

18.(1)

   (2)

      .

19. (1)延长、交于点，连接交于点

     是中点，∥

     是△中位线，是中点

     又∥ 是△中位线，

     又为中点    

(2)连接、

   ，

   ，

   又为线段上靠近点的四等分点  

       ，

       ，   四边形是平行四边形   ∥

   又，   ∥平面

20. (1) ①

，

② 即

        ,

(2) 设△外接圆半径为，由正弦定理得

        △为锐角三角形       ，

21. (1) 设，，

        又，

(2) 设，，

   为中点，，  

  、、三点共线，  

  又       

22. (1)设

，

(2)设，

，

，取值范围为.