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    重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)

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    重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)

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    这是一份重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案),共9页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    数学试题
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    一、单选题:本大题8个小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个选项符合要求,答案请涂写在机读卡上.
    1.已知,且,则( )
    A.B.C.0D.
    2.已知复数满足,则复数的虚部为( )
    A.B.C.D.1
    3.在中,角,,所对的边分别为,则“”是“是等边三角形”的( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
    4.在中,,是的中点,是的中点,则( )
    A. B. C. D.
    5.在中,面积,则( )
    A. B. C. D.
    6.是空间中两条不相交的直线,那么过直线且平行于直线的平面( )
    A.有且只有一个 B.至多有一个
    C.至少有一个 D.有无数个
    7.平面向量,,已知,则( )
    A. B. C. D.
    8.如图所示在四边形ABCD中,是边长为4的等边三角形,
    ,则( )
    A. B. C.3 D.
    二、多选题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.每小题有多个选项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.在中,角,,所对的边分别为,,,以下说法中正确的是
    A.若,则
    B.若,,,则为钝角三角形
    C.若,,,则符合条件的三角形不存在
    D.若,则为直角三角形
    10.已知直线和平面,下列说法中不正确的有
    A.若,,,则
    B.若,,则
    C.若与为异面直线,且,则
    D.若,,则
    11.已知直角三角形ABC斜边,直角边,动点满足,下列说法正确的是( )
    A.的最大值为10 B.的最大值为6
    C.的最大值为24 D.存在D点满足
    12.已知面积为12,,则下列说法正确的是( )
    A.若,则 B.的最大值为
    C. 的值可以为 D.的值可以为
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    三、填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程).
    13.已知、,点是线段上的点,且,则点的坐标为 .
    14.多项式在实数范围内不能分解因式,但数系扩充到复数以后,则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为 .
    15.在中,角所对的边分别为,已知,,则 .
    16.如图所示四棱锥,底面为直角梯形,,
    在梯形内(含边界),, 则点轨迹长度为 .
    四、解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
    17.(10分)三棱锥P-ABC,PA=4,BC=6.
    (1)该棱锥的6条棱中,共有多少对异面直线?请一一列出;
    (2)若PB中点为M,AC中点为N,MN=4,求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
    18.(12分)已知夹角为,.
    (1)求实数的值;(2)求.
    19.(12分)如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别是棱DD1、AB的中点.
    (1)平面与直线交于点,求的值;
    (2)为线段上靠近点的四等分点,求证:.
    20.(12分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且有.
    在下列条件中选择一个条件完成该题目:
    = 1 \* GB3 ①; = 2 \* GB3 ②
    (1)求A的大小;
    (2)求的取值范围.
    21.(12分)如图所示,在中, BD=AC=2AD, CD=2, E为CD中点,直线AE与BC边交于点F.
    (1)若,求长度;
    (2)求AF长度范围.
    22.(12分)有一鱼池,其中有两条边成定角,现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D,然后过D拉一条浮漂隔离线BC,使得内无浮漂,便于观赏鱼类.B,C两点分别固定在两边上.
    (1)若,求面积的最小值;
    (2)若无论怎么拉浮漂隔离线BC,总能使得的面积不低于,求的取值范围.
    重庆南开中学高2023级高一(下)半期考试答案
    一、单选题
    1-4:B D B A 5-8: B C D C
    二、多选题
    9.ACD 10.BD 11.ABC 12.AD
    三、填空题
    13. 14. 15. 16.
    四、解答题
    17.(1) 3对;,,.
    (2) 取的中点,连接、
    为中点,为中点
    为△中位线, ∥且
    同理,∥且 为异面直线与所成角或其补角
    又 在△中,
    异面直线与所成角的余弦值为.
    18.(1)

    (2)
    .
    19. (1)延长、交于点,连接交于点
    是中点,∥
    是△中位线,是中点
    又∥ 是△中位线,
    又为中点
    (2)连接、


    又为线段上靠近点的四等分点

    , 四边形是平行四边形 ∥
    又, ∥平面
    20. (1) ①

    ② 即
    ,
    (2) 设△外接圆半径为,由正弦定理得



    △为锐角三角形 ,

    21. (1) 设,,

    又,


    (2) 设,,
    为中点,,

    、、三点共线,




    22. (1)设



    (2)设,




    ,取值范围为.

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