2020-2021学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N＝（　　）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．∅ D．{x|﹣1＜x＜3}
2．（5分）“sinα＝”是“α＝”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）函数f（x）＝lnx+x2﹣8的零点所在区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
4．（5分）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（　　）
A．16cm2 B．18cm2 C．20cm2 D．22cm2
5．（5分）设a＝log0.30.2，b＝ln0.2，C＝0.30.2，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
6．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A． B．
C． D．
7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）+f（2022）+f（2023）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
8．（5分）已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x在区间上的最大值为M（t），最小值为N（t），则函数g（t）＝M（t）﹣N（t）的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．（5分）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（　　）
A．y＝10x﹣10﹣x B．
C．y＝x3 D．y＝|sinx|
10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．函数f（x）的值域是R
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣2，﹣1）∪（3，4）
11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的初相为
B．若函数f（x）在上单调递增，则ω∈（0，2]
C．若函数f（x）关于点对称，则ω可以为
D．将函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023
12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列结论正确的是（　　）
A．1＜m≤2
B．sinx1﹣cosx1＞0
C．4x3+x4＞﹣1
D．x12+x22+的最小值为10
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
13．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x3m+2为定义在R上的偶函数，则实数m＝　 　．
14．（5分）＝　 　．
15．（5分）已知α，β满足，，，，则sin（α﹣β）＝　 　．
16．（5分）已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为　 　．
四、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17．（10分）已知，且tan2α﹣tanα﹣2＝0．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
18．（12分）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：ln200≈5.3，2.718＜e＜2.719．
19．（12分）函数f（x）＝sin2ωx+sinωx•cosωx（ω＞0）且满足________①函数f（x）的最小正周期为π；②已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝，且|x1﹣x2|的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题．
（1）确定ω的值并求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在上的值域．
20．（12分）已知函数．
（1）当m＝0时，解不等式：f（x）＞2；
（2）若函数f（x）的图象和函数的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝18，求实数m的值．
21．（12分）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β满足，且，设，求函数g（x）在上的最大值．
22．（12分）已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）已知函数，且不等式1≤g（x）≤3，对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

2020-2021学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N＝（　　）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．∅ D．{x|﹣1＜x＜3}
【分析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
＝{x|x≥1}，
∴M∩N＝{x|1≤x＜3}．
故选：A．
2．（5分）“sinα＝”是“α＝”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：因为“sinα＝”可推出“α＝2kπ±，k∈Z”，推不出“α＝”，所以不是充分条件；
“α＝”可以推出“sinα＝”，所以“sinα＝”是“α＝”必要条件；
所以“sinα＝”是“α＝”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）函数f（x）＝lnx+x2﹣8的零点所在区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【分析】判断函数的性，利用零点判断定理，转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+x2﹣8，在（0，+∞）上是增函数，
则又f（2）＝ln2﹣4＜0，f（3）＝ln3+1＞0，
∴f（2）f（3）＜0．由零点判断定理可知函数的零点在（2，3）．
故选：B．
4．（5分）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（　　）
A．16cm2 B．18cm2 C．20cm2 D．22cm2
【分析】先求出扇形的弧长，利用周长求半径，再代入面积公式s＝αr2 进行计算．
【解答】解：设扇形半径为r，面积为s，圆心角是α，则α＝2，弧长为αr，
则周长16＝2r+αr＝2r+2r＝4r，所以r＝4，
所以扇形的面积为s＝αr2＝×2×16＝16 （cm2），
故选：A．
5．（5分）设a＝log0.30.2，b＝ln0.2，C＝0.30.2，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵log0.30.2＞log0.30.3＝1，ln0.2＜ln1＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，
∴a＞c＞b．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据图象先求出A，周期，利用五点对应法求出φ，即可．
【解答】解：由图象知A＝2，＝﹣（﹣）＝，即T＝π，
即＝π，得ω＝2，
则f（x）＝2sin（2x+φ），
由五点对应法得2×+φ＝π，得φ＝，
即f（x）＝2sin（2x+），
故选：D．
7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）+f（2022）+f（2023）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得函数f（x）是周期为4的函数，则有f（2021）＝f（1），f（2022）＝f（2），f（2023）＝f（﹣1），由函数的奇偶性分析有f（2）＝0，且f（1）+f（﹣1）＝0，即可得答案．
【解答】解：根据题意，奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），则f（x+1）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），
即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的函数，
则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），f（2022）＝f（2+2020）＝f（2），f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1），
又由f（x）为周期为4的奇函数，则f（﹣2）＝f（2）且f（﹣2）＝﹣f（2），则有f（2）＝0，且f（1）+f（﹣1）＝0，
故f（2021）+f（2022）+f（2023）＝f（1）+f（2）+f（﹣1）＝f（2）＝0，
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x在区间上的最大值为M（t），最小值为N（t），则函数g（t）＝M（t）﹣N（t）的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为f（x）＝cos2x，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间关于y＝cos2x的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）＝cos4x﹣sin4x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，
所以函数f（x）的周期为，
区间的区间长度刚好是函数f（x）的四分之一个周期，
因为f（x）在区间上的最大值为M（t），最小值为N（t），
由函数y＝cos2x的对称性可知，
当区间关于y＝cos2x的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，
即函数g（t）＝M（t）﹣N（t）取最小值，
区间的中点为，此时f（t）取得最值±1，
不妨f（t）取得最大值M（t）＝1，
则有，解得，所以，
所以N（t）＝＝，
故g（t）＝M（t）﹣N（t）取最小值为．
故选：D．
二、多选题
9．（5分）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（　　）
A．y＝10x﹣10﹣x B．
C．y＝x3 D．y＝|sinx|
【分析】由基本初等函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝10x﹣10﹣x，f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且在R上为增函数，符合题意；
对于B，为偶函数，不符合题意；
对于C，y＝x3为奇函数，且在R上为增函数，符合题意；
对于D，y＝|sinx|为偶函数，不符合题意．
故选：AC．
10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．函数f（x）的值域是R
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣2，﹣1）∪（3，4）
【分析】由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：由于函数＝log5（x+1）（x﹣3），
故函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），故A错误；
由于真数能取遍所有的正数，故它的值域为R，故B正确；
由于真数为二次函数，且图象关于x＝1对称，故函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C正确；
不等式f（x）＜1，即 log5（x+1）（x﹣3）＜1，∴0＜x2﹣2x﹣3＜5，
求得﹣2＜x＜﹣1 或3＜x＜4，故D正确，
故选：BCD．
11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的初相为
B．若函数f（x）在上单调递增，则ω∈（0，2]
C．若函数f（x）关于点对称，则ω可以为
D．将函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023
【分析】A由定义判断，B求出函数增区间判断，C用特值法判断，D函数平移后用特值法判断．
【解答】解：对于A，由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的初相定义可知，A对；
对于B，⇒，，，
当k＝0时，递减区间为[，]⇒≤，≤⇒0＜ω≤2，则B对；
对于C，函数f（x）关于点对称，则2sin（ω﹣）＝0⇒，ω﹣＝kπ⇒ω＝，k∈Z，所以ω不可能为，则C错；
对于D，，当x＝0时，2sin（ω﹣）＝0⇒ω﹣＝⇒ω＝，k∈Z，所以ω不可能为2023，则D错；
故选：AB．
12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列结论正确的是（　　）
A．1＜m≤2
B．sinx1﹣cosx1＞0
C．4x3+x4＞﹣1
D．x12+x22+的最小值为10
【分析】作出f（x）的图像如下：令f（x）＝2，得x＝3或x＝﹣或x＝﹣1或﹣3，令f（x）＝1，得x＝1或x＝﹣或x＝﹣2，当1＜m≤2时，f（x）＝m有四个实数根，﹣3≤x1＜﹣2，﹣2＜x2≤﹣1，﹣≤x3＜﹣，1＜x4≤3，即可判断A，C是否正确，再由三角函数判断B是否正确，由基本不等式可判断D是否正确．
【解答】解：作出f（x）的图像如下：

若x＞﹣1时，f（x）＝|log2（x+1）|，
令f（x）＝2，得|log2（x+1）|＝2，即log2（x+1）＝2或log2（x+1）＝﹣2，
所以x+1＝22或x+1＝2﹣2，
解得x＝3或x＝﹣，
令f（x）＝1，得|log2（x+1）|＝1，即log2（x+1）＝1或log2（x+1）＝﹣1，
所以x+1＝2或x+1＝2﹣1，
解得x＝1或x＝﹣
若x≤﹣1时，f（x）＝2，
令f（x）＝2，得2＝2，解得x＝﹣1或﹣3，
令f（x）＝1，得2＝1，即（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，
当1＜m≤2时，f（x）＝m有四个实数根，故A正确，
由图可知﹣3≤x1＜﹣2，﹣2＜x2≤﹣1，﹣≤x3＜﹣，1＜x4≤3，
对于选项A：1＜m≤2，f（x）＝m有4个根，故A正确．
对于选项B：因为﹣3≤x1＜﹣2，
所以当﹣3≤x1≤﹣，sinx1≥cosx1，即sinx1﹣cosx1≥0，
当﹣＜x1＜﹣2，sinx1＜cosx1，即sinx1﹣cosx1＜0，故B错误，
对于选项C：由图像可知log2(x3+1)＝﹣log2(x4＝1)，
log2(x3+1)+log2(x4+1)＝0,
所以(x3+1)(x4+1)＝1,
所以x4+1＝,x4＝﹣1,
由|log2(x+1)|＝1(x＞﹣1),解得x＝1或x＝﹣,
由|log2(x+1)|＝2(x＞﹣1),解得x＝3或x＝﹣,
所以﹣≤x3＜﹣,1＜x4≤3,
所以4x3+x4＝4x3+﹣1＝4(x3+1)+﹣5≥2﹣5＝﹣1①,
令4(x+1)＝,解得x＝﹣或x＝﹣,
所以①的等号不成立，即4x3+x4＞﹣1,故C正确；
对于选项D：令y＝x12+x22+logm
由于2＝m，2＝m，
则x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，
所以y＝x12+x22+logm＝（﹣﹣2）2+（﹣2）2+logm＝2log2m+8+logm
＝2log2m++8＝2log2m++8，
因为1＜m≤2，
所以log2m＞0，
所以y＝2log2m++8≥2+8＝10，
当且仅当2log2m＝，即m＝时，取等号，
所以x12+x22+logm的最小值为10，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
13．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x3m+2为定义在R上的偶函数，则实数m＝　0　．
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣m+1＝1，且3m﹣2为偶数，由此求得m的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x3m+2为定义在R上的偶函数，
∴m2﹣m+1＝1，且3m﹣2为偶数，∴m＝0，
故答案为：0．
14．（5分）＝　5　．
【分析】直接利有理指数幂的运性质以及对数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：原式＝＝4+lg2+lg5＝4+1＝5．
故答案为：5．
15．（5分）已知α，β满足，，，，则sin（α﹣β）＝　　．
【分析】根据条件得到sin（α+）和cos（β+）的值，再根据sin（α﹣β）＝sin[（α+）﹣（+β）]，求出sin（α﹣β）的值．
【解答】解：∵，∴＜α+＜π，则sin（α+）＝，
∵，∴＜β+＜，则cos（β+）＝，
∴sin（α﹣β）＝sin[（α+）﹣（+β）]
＝sin（α+）cos（+β）﹣cos（α+）sin（+β）
＝×﹣（﹣）×＝，
故答案为：．
16．（5分）已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为　m＞2　．
【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣1，然后研究该函数的单调性和奇偶性，将条件变形成g（2sinθ⋅cosθ）＜﹣g（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m），利用奇函数和单调性可得不等式，将m分离，利用换元法求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．
【解答】解：令g（x）＝，
则g（﹣x）＝，
而g（x）+g（﹣x）＝＝0，
所以g（x）是奇函数，而在R上单调递增，在R上单调递增，
所以g（x）是在R上的单调递增函数且为奇函数，
而f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2可变形成f（2sinθ⋅cosθ）﹣1＜1﹣f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m），
即g（2sinθ⋅cosθ）＜﹣g（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＝g（2sinθ+2cosθ+m﹣4），
由g（x）是在R上的单调递增函数，则使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ＜2sinθ+2cosθ+m﹣4成立，
即﹣m＜2（sinθ+cosθ）﹣2sinθ⋅cosθ﹣4，
设t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），，则t∈，2sinθ⋅cosθ＝t2﹣1，
令h（t）＝2t﹣（t2﹣1）﹣4＝﹣t2+2t﹣3＝﹣（t﹣1）2﹣2，t∈，则h（t）的最大值为﹣2，
所以﹣m＜﹣2即m＞2．
综上所述：实数m的范围为m＞2．
故答案为：m＞2．
四、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17．（10分）已知，且tan2α﹣tanα﹣2＝0．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由，可得tanα＞0，进而解方程即可求得tanα的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以tanα＞0，
因为tan2α﹣tanα﹣2＝0，解得tanα＝2，或﹣1（舍去）．
（2）＝＝＝＝．
18．（12分）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：ln200≈5.3，2.718＜e＜2.719．
【分析】（1）当总质比为200时，v＝1000•ln200，结合已知数据求解得答案；
（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1500m/s，总质比变为，要使火箭的最大速度至少增加500m/s，则需1500•ln﹣1000•ln≥500，求出的范围，即可求得在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
【解答】解：（1）当总质比为200时，v＝1000•ln200，
由参考数据得v≈1000×5.3＝5300m/s，
∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为5300m/s；
（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1500m/s，总质比变为，
要使火箭的最大速度至少增加500m/s，则需1500•ln﹣1000•ln≥500，
化简，得3ln﹣2ln≥1，
∴ln﹣ln≥1，整理得ln≥1，
∴，则≥27×e，
由参考数据，知2.718＜e＜2.719，
∴73.386＜27×e＜73.413，
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74．
19．（12分）函数f（x）＝sin2ωx+sinωx•cosωx（ω＞0）且满足________①函数f（x）的最小正周期为π；②已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝，且|x1﹣x2|的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题．
（1）确定ω的值并求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在上的值域．
【分析】（1）根据条件求出ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．
（2）求出角的范围，结合三角函数的单调性和值域的关系进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（1﹣cos2ωx）+sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx+＝sin（2ωx﹣）+，
若①函数f（x）的最小正周期为π，
则T＝＝π，即ω＝1；
若②已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝，由sin（2ωx﹣）+＝，
得sin（2ωx﹣）＝0，
若|x1﹣x2|的最小值为，即＝，即T＝π，
由T＝＝π，即ω＝1；
综上ω＝1，即f（x）＝sin（2x﹣）+．
（1）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的，单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）当时，2x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]
则sin（2x﹣）∈[sin（﹣），sin]，即sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
则sin（2x﹣）+∈[0，]，即y∈[0，]，
即函数的值域为∈[0，]．
20．（12分）已知函数．
（1）当m＝0时，解不等式：f（x）＞2；
（2）若函数f（x）的图象和函数的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝18，求实数m的值．
【分析】（1）求出m＝0时f（x）的解析式，然后将不等式f（x）＞2进行变形得到log2x（log2x+1）＜0，利用一元二次不等式的解法得到﹣1＜log2x＜0，再利用对数不等式的解法求解即可；
（2）联立y＝log2x与y＝f（x），从而得到y2﹣my+m﹣2＝0，则有韦达定理成立，再利用指数和对数的互化结合x1x2+y1y2＝18，有2m+m＝20，分析求解即可得到答案．
【解答】解：（1）当m＝0时，，
则f（x）＞2即，
所以log2x（log2x+1）＜0，解得﹣1＜log2x＜0，
所以，
故，
所以不等式f（x）＞2的解集为；
（2）联立方程组，
则有y＝，
所以有，
整理可得y2﹣my+m﹣2＝0，
因为函数f（x）的图象和函数的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），
所以y1+y2＝m，y1+y2＝m﹣2，
因为y1＝log2x1，y2＝log2x2，
故，
所以x1x2+y1y2＝，
则2m+m＝20，
故m＝4，
因为函数y＝2x+x在R上是单调递增函数，
所以方程只有一个解，即m＝4．
21．（12分）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β满足，且，设，求函数g（x）在上的最大值．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数化简，再由三角函数的图象变换规律可得f（x）的解析式；
（2）根据条件求出cos（α﹣β），利用三角函数的积化和差进行转化，然后利用弦化切，最后利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：（1）函数＝2（sin2x+cos2x）﹣sin2x＝cos2x，
函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得y＝2cos2x的图象，
再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍，得y＝2cosx的图象；
所以函数f（x）＝2cosx．
（2）因为，
所以2cosα•2cosβ＝，即cosαcosβ＝，
又，
则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣sinαsinβ＝，
得sinαsinβ＝﹣，
cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣＝，
＝＝
＝＝
＝＝2tan2x+3tanx﹣1，
设t＝tanx，当时，﹣1≤t≤1，
则函数g（x）等价为y＝2t2+3t﹣1，对称轴为t＝﹣＝﹣，
则当t＝1时，函数取得最大值，此时最大值为y＝2+3﹣1＝4，
即函数g（x）在上的最大值为4．
22．（12分）已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）已知函数，且不等式1≤g（x）≤3，对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，可得恒成立，从而可求出a的取值范围；
（2）根据条件可转化成g（x）∈对于任意x＜0恒成立，然后利用换元法，结合二次函数的性质，讨论对称轴，从而可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）在[1，2]上任取两个数x1，x2，且1≤x1＜x2≤2，
因为函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，
所以满足f（x1）＜f（x2），
所以f（x1）﹣f（x2）＝＝恒成立，
因为1≤x1＜x2≤2，所以，则恒成立，
所以恒成立，
因为1≤x1＜x2≤2，所以x1+x2∈（2，4），即，
所以a2+1≤4，解得：；
（2）当x＜0时，g（x）＝（2x）2﹣a•2x+a2+1，
当x＞0时，g（x）＝，所以g（﹣x）∈，
所以g（x）∈对于任意x＜0恒成立，
令t＝2x，所以h（t）＝对任意x∈（0，1）上恒成立，
而h（t）的对称轴为t＝，
①，即a≤0，所以，解得，
②，即a≥2，所以，无解，舍去，
③，即0＜a＜2，所以，解得．
综上所述：实数a的取值范围时．