2021临汾高一下学期期末考试数学试题含答案

临汾市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试卷

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：人教A版第一册占20%，第二册占80%．

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则的虚部是（    ）

A．2 B．1 C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．下列命题错误的是（    ）

A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形

4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．②④

6．下列命题中为真命题的是（    ）

A．“”的充要条件是“”

B．“”是“”的充分不必要条件 
C．命题“，”的否定是“，”

D．“，”是“”的必要条件

7．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．在中，已知，，，是内一点，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

9．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数  B．的最小正周期为

C．在区间上单调递增 D．的最小值为1

10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则一定是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为℃）：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26总体方差为10.8．

则肯定进入夏季的地区有（    ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（    ）

A．当点运动时总成立

B．当向运动时，二面角逐渐变小

C．二面角的最小值为45°

D．三棱锥的体积为定值

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．函数的单调递增区间为______．

14．已知向量，，且满足，则与的夹角为______．

15．已知三棱锥外接球的表面积为，平面，，，则的长为______．

16．某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：

①；②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；④这10000名学生数学成绩的平均数为115．

其中所有正确说法的序号是______．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

如图，在中，已知，，，，．

（1）求；

（2）若，求的值．

18．（12分）

已知函数的最小正周期为，且．

（1）求和的值．

（2）将函数的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图象，

①求函数的单调递增区间；

②求函数在上的最大值．

19．（12分）

疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了．现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照，，，分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）

（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在，之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率．

20．（12分）

如图，是等边三角形，平面，，，为的中点．

（1）证明：平面．

（2）证明：平面．

21．（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，已知，为外接圆的半径，，．

（1）若，求的面积；

（2）求的最大值，并判断此时的形状．

22．（12分）

已知，函数．

（1）判断函数在上的单调性，并证明；

（2）设，若对任意，恒成立，求的取值范围．

临汾市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试卷参考答案

1．C  因为，所以它的虚部为．

2．D  因为，，所以．

3．B  直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A正确；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B错误；易知C，D均正确．

4．A  因为，，所以，由，即，解得．

5．A  对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；

对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；

对于③，由平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半知，正方形的直观图不是菱形，③错误；

对于④，由，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，④错误．

6．C  对于A，当时，不存在，A错误；对于B，当，时，不成立，B错误；根据命题的否定的定义知C正确；对于D，“，”是“”的充分条件，不是必要条件，D错误．

7．D  连接（图略），因为，所以为异面直线与所成的角，设棱长为2，易知，，所以．

8．A  以为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，．由于，可设，因为，所以，所以，解得．

9．D  因为，所以是偶函数，A错误；显然是周期函数，因为，所以B错误；因为当时，，所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；由B中解答知是的周期，因为当时，，当时，，所以的最小值为1，D正确．

10．D  因为，所以，解得，从而．又，由，得，进一步整理得，所以，则，，可知为等腰直角三角形．

11．B  ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22，22，24，25，26，其连续5天的日平均温度均不低于22℃．

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27，比如这5个数据从小到大排列为20，21，27，33，34满足条件，但是有低于22的数，故不确定．

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，选B．

12．B  对于A，易证平面，所以，同理可证，从而平面，所以恒成立，A正确；对于B，平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角大小不变，B错误；对于C，当点从的中点向点运动时，平面逐渐向底面靠拢，这个过程中，二面角越来越小，所以二面角的最小值为45°，C正确；对于D，因为，点到平面的距离为，所以体积为，即体积为定值，D正确．

13．，或写成也可以因为函数的定义域为，抛物线的对称轴为直线，开口向下，所以的单调递增区间为．

14．  设与的夹角为，因为，所以，解得，所以，解得．

15．12  设球的半径为，外接圆的半径为，由，得，由，得，因为，所以．

16．①②③  对于①，由，得，①正确；对于②，，②正确；对于③，因为，，所以中位数，由，得，③正确；对于④，这1000名学生数学成绩的平均数为，④错误．

17．解：（1）因为，
所以．

又因为，

所以，从而．

（2）因为

由，解得．

18．解：（1）的最小正周期为，所以，即．

又因为，则，所以．

（2）由（1）可知，则．

①由，得函数的单调递增区间为．

②因为，所以．

当，即时，函数取得最大值，最大值为．

19．解：（1）由图可得，平均数台．

（2）销售量在的销售人员有人，

销售量在的销售人员有人，

分层抽样的比例为

所以从组应抽取人，从组应抽取人．

记从组抽取的3人为，，，从组抽取的2人为，，

则从中任选2人，基本事件共有10个，分别为，，，，，，，，，．

其中不是来自同一组的情况共有6个，分别为，，，，，．

则这2人不是来自同一组的概率为．

20．证明：（1）如图，取的中点，连接，，

因为，，

所以，．

又因为，，

所以，，四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为平面，所以．

又因为是等边三角形，是的中点，所以．

因为，所以平面．

由（1）知，所以平面，从而．

因为，为的中点，所以．

又，所以平面．

21．解：（1）由，得．

又因为，所以，解得．

又，所以．

由余弦定理得，所以，

因为，所以，

所以．

（2）由余弦定理得，

所以，

所以，，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为，此时为等边三角形．

方法二：用正弦定理计算同样给分．

22．（1）证明：当时，在上单调递减．

任取，，

由于，所以，

所以，故在上单调递减．

（2）解：依题意，．

令，，所以在上单调递减，在上单调递增，且当和

时，，而当时，，所以，

因为，所以，

故．

因为对任意，恒成立，所以，即，化简得，

解得，故的取值范围是．