浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）1

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 二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知 ，直线 的解析式为 .

（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段 上有一动点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 .求 的最大值，以及此时点 的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿 轴向下平移5个单位长度，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为 ， ， 在平面内找一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点 的坐标.
2．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H点”.
（1）点 和它的“H点”均在直线 上，求k的值；
（2）若直线 经过的A，B两点恰好是一对“H点”，其中点A还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A，B两点，求该抛物线的解析式；
（3）已知 ，B为抛物线 上的一对“H点”，且满足： ， ，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求 的值.
3．平面直角坐标系中，抛物线y = - +2ax + 1 - a(a为常数)的顶点为A.
（1）当抛物线经过点(1，2)，求抛物线的函数表达式；
（2）求顶点A的坐标(用含字母ɑ的代数式表示)，判断顶点A在x轴的上方还是下方，并说明理由；
（3）当x ≥0时，抛物线y = - + 2ɑx + 1 - ɑ(ɑ为常数)的最高点到直线y = 3ɑ的距离为5，求ɑ的值.
4．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是AB上一点，CE=1，点F是线段AB上一个动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形.

（1）当BF=5时，求BG的长度．
（2）点F从点B运动到点A的过程中，求AG的最小值．
5．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，点B的坐标为（3 , 5）.

（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（ , ），求 关于 的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0, 2），当m取何值时，抛物线 与线段BC只有一个交点.
6．某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量（瓶）与每瓶清洁剂的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36瓶；当销售单价为24元时，销售量为32瓶．
（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？
7．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1,0）．

（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
8．在平面直角坐标系 中，点A是抛物线 的顶点.

（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线 与x轴所成的锐角为 ，求m的值；
（3）将点 向左平移 个单位得到点Q，若抛物线与线段 只有一个公共点，直接写出m的取值范围.
9．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .

（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.

（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.
11．“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点 称为“三高四新”点，经过 的函数，称为“三高四新”函数.
（1）下列函数是“三高四新”函数的有　 　；
①②③④
（2）若关于x的一次函数 是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围；
（3）关于x的二次函数 的图象顶点为A，点 和点 是该二次函数图象上的点且使得 ，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由.
12．在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接BC，点N是第一象限抛物线上一点，连接NA，交y轴于点E，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AN的长；
（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，，则这时点M的坐标为　 　（直接写出结果）．
14．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
15．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C. 点P，Q为抛物线上两动点.

（1）若点P坐标为（1，3），求抛物线的表达式；
（2）如图①连结BC，在（1）的条件下，是否存在点Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为抛物线顶点，连结OP，当 a 的值从-3变化到-1的过程中，求线段OP扫过的面积.
16．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．

（1）求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；
（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．
17．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价（元）
40
60
80
日销售量（件）
80
60
40
（1）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值．
18．已知二次函数y=ax2+bx (a≠0)的图象经过点A(2，4)，B(4，0) .

（1）求这个二次函数的表达式.
（2）将x轴上的点P先向上平移3n (n>0）个单位得点P，再向左平移2n个单位得点2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值.
19．已知抛物线有最高点．

（1）m　 　0（填“>、=、