【运算定律与简便计算】知识篇

加、减法的速算与巧算( 基础篇 )
1、加法运算定律（2个）：
☆加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即：a + b = b + a
☆加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。即：(a + b) + c = a + (b + c)
（提醒：运用加法结合律时，要注意把结合的两个数用括号括起来。）
连加的简便计算方法：
①使用加法交换律、结合律凑整（把和是整十、整百、整千的数先交换再结合在一起。）
②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。
③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。
连加的简便计算例题：
50+98+50 488+40+60 １６５+９３+３５ 65+28+35+72
＝50+50+98 ＝488+（40+60） ＝９３+１６５+３５ ＝（65+35）+（28+72）
＝100+98 ＝488+100 ＝９３+（１６５+３５） ＝ 100+100
＝198 ＝588 ＝293 ＝ 200
2、连减的性质：
☆一个数连续减去几个数等于这个数减去这几个数的和。
即：a – b – c = a – (b + c)
注：连减的性质逆用：a – (b + c) = a – b – c = a – c – b
☆一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
即：a－b－c＝a—c－b
连减的简便计算方法：
①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74 = 106-(26+74)
②连续减去两个数可以先减去后一个数再减去前一个数。如：226-58-26=226-26-58
③减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如：106-(26+74) = 106-26-74
连减的简便计算例题：
528—65—35 528—89—128 528—（150+128）
=528—（65+35） =528—128—89 =528—128—150
=528—100 =400—89 =400—150
=428 =311 =250
3、加、减法混合运算的性质：在计算没有括号的加、减混合运算时，计算时可以带着运算符号“搬家”。 即：a + b – c = a – c + b
加、减混合的简便计算方法：
在没有括号的加、减混合运算时，第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以带着运算符号“搬家”。例如：123+38 -23 =123 -23 +38 146 -78 +54=146+54 -78
加、减混合的简便计算例题：
256－58 + 44 123 + 38 -23
=256 + 44 －58 = 123 -23 +38
=300－58 = 100 + 38
=242 = 138
4、加、减法运算的性质：在加法或减法运算中，当算式中的数接近整十、整百数时，可以利用如下原则：多加了要减去；多减了要加上；少加了要加上；少减了要减去。
加、减法的简便计算例题：
324+98 762-598 123+104 328-209
= 324+100-2 = 762-600+2 = 123+100+4 = 328-200-9
= 424-2 = 162+2 = 223+4 = 128-9
= 422 = 164 = 227 = 119
5、利用“移多补少法”进行简便计算：
几个数相加，当加数都比较接近某一个数时，可以把这一个数作为基准数，其它的数与基准数相比较，利用移多补少的方法进行运算。
如：256+249+251+246
= 250×4 +（6-1+1-4）…………以250为基准数
= 1000+2
= 1002
6、利用高斯的想法简便计算：总和 = （ 首项 + 末项 ）× （ 项数 ÷ 2 ）
如： 1+2+3+4+······+96+97+98+99+100
= （ 1+100 ）× （ 100÷ 2 ）
= 101 × 50
= 5050
乘、除法的速算与巧算
1、乘法运算定律（3个）：
☆乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即：a × b = b × a
☆乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。即：(a × b) × c = a × (b × c)
连乘的简便计算方法：
①使用乘法交换律、结合律凑整（把积是整十、整百、整千的数先交换再结合在一起。）
②把常见的数结合在一起 25与4； 125与8 ；125与80 等。
③看见25就去找4，看见125就去找8。
④常用口算： 2×5=10； 4×25=100； 8×125=1000； 80×125=10000；
625×16=10000； 25×8=200； 75×4=300； 375×8=3000。
连乘的简便计算例题：
25 × 56 × 4 99×125×8 25×125×4×8
＝25 × 4 × 56 ＝ 99 × (125×8) ＝ (25×4) × (125×8)
＝100 × 56 ＝ 99 ×1000 ＝ 100 × 1000
＝5600 ＝ 99000 ＝ 100000
☆乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把所得的积相加（或相减）。即：(a ± b) × c = a × c ± b × c
注：乘法分配律的逆用：a × c ± b × c = (a ± b) × c
乘法分配律的理解：利用乘法的意义进行理解：a＋b个c等于a个c加上b个c，而不能单纯地依靠记忆，只有这样才能在运算中熟练运用，减少失误。
乘法分配律简算应用：
①类型一： (a＋b)×c= a×c＋b×c (a－b)×c= a×c－b×c
②类型二： a×c＋b×c=(a＋b)×c a×c－b×c=(a－b)×c
③类型三： a×99＋a = a×(99＋1) a×b－a = a×(b－1)
④类型四： a×99 a×102
= a×(100－1) = a×(100＋2)
= a×100－a×1 = a×100＋a×2
乘法分配律简算举例：
分解式： 25 × (40+4) 合并式：135×12－135×2
＝ 25×40 + 25×4 ＝ 135 × (12－2)
＝ 1000 +100 ＝ 135 × 10
＝ 1100 ＝ 1350
特殊1： 99 × 256 + 256 特殊2：45 × 102
＝ 99 × 256 + 256 × 1 ＝ 45 × (100+2)
＝ 256 × (99 +1) ＝ 45×100 + 45×2
＝ 256 × 100 ＝ 4500 + 90
＝ 25600 ＝ 4590
特殊3： 99×26 特殊4：35×8 + 35×6－4×35
＝ (100－1) ×26 ＝ 35×(8 + 6－4)
＝ 100×26－1×26 ＝ 35×10
＝ 2600－26 ＝ 350
＝ 2574
★乘法结合律与乘法分配律的区别：
乘法结合律的特征是几个数连乘。
乘法分配律特征是两数的和乘一个数或两个积的和。
（40×4）×25 和 （40+4）×25
= 40 × （ 4×25 ） = 40×25 + 4×25
= 40 × 100 = 1000 + 100
= 4000 = 1100
15×（8×4） 和 15×（8+4）；
= 15×8×4 = 15×8 + 15×4
= 120×2 = 120 + 60
= 240 = 180
2、（推广）除法分配律：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再把所得的商相加（或相减）。即：(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c
注：除法分配律的逆用：a ÷ c ± b ÷ c = (a ± b) ÷ c
3、连除的性质：
☆一个数连续除以几个数等于这个数除以这几个数的积。
即：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
注：连除的性质逆用：a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c
☆一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
即：a÷b÷c＝a÷c÷b
连除的简便计算方法：
①连续除以几个数等于这个数除以这几个数的积。如：300÷25÷4=300÷（25×4）；
②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。如：300÷（25×3）=300÷3÷25；
③连续除以两个数可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。如420÷4÷7=420÷7÷4；
连除的简便计算例题：
3200÷25÷4 3000÷（25×30） 4200÷4÷70 360÷24
= 3200÷（25×4） = 3000÷30÷25 = 4200÷70÷4 =360÷（6×4）
= 3200÷100 = 100÷25 =60÷4 =360÷6÷4
= 32 = 4 =15 =15
4、乘、除法运算的性质：在计算没有括号的乘、除混合运算时，计算时可以带着运算符号“搬家”。 即：a × b ÷ c = a ÷ c × b
乘、除混合的简便计算方法：
在计算没有括号的乘、除混合运算时，第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以带着运算符号“搬家”。例如：27×13 ÷9 = 27 ÷9×13
乘、除混合的简便计算例题：
27 ×13 ÷9 250÷8 ×4
= 27 ÷9×13 = 250 ×4÷8
= 3×13 = 1000÷8
= 39 = 125
5、积不变规律：a × b = (a × n) × (b ÷ n) = (a ÷ n) × (b × n) (n ≠ 0)
商不变规律：a ÷ b = (a × n) ÷ (b × n) = (a ÷ n) ÷ (b ÷ n) (n ≠ 0)
6、一题多解举例：
利用乘法结合律： 利用乘法分配律： 利用积不变规律：
125×88　 125×88 125×88
=125×（8×11） =125×（80+8） =（125×8）×（88÷8）
=（125×8）×11 =125×80 + 125×8 = 1000×11
=1000×11 =10000 + 1000 = 11000
=11000 =11000
★计算时要自觉运用定理使计算简便：
一看：运算符号，数据特点； 二想：如何简算，依据是何；
三算：认真计算，小心别错； 四查：细心检查，准确无误。
★易错题（运算顺序错误）
（1）120×4÷120×4 （2）735-35×20 （3）36-36÷6-6
（4）100-36+64 （5）102+1-102+1 （6）25×99+99
加、减法的速算与巧算( 练习篇 )
1、加法交换律：a＋b＝b＋a a＋b＋c＝a＋c＋b
88＋56＋12 178＋350＋22 56＋208＋144 168＋250＋32　　 36+18+64



167+289+33 44＋37＋56 244+182+56 124+68+76   



2、加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
378+527+73 582＋456＋544 163＋49＋251 47＋236＋64



480＋325＋75 91＋89＋11　　 　 78＋46＋154    169+78+22



3、加法交换、结合律的结合运用(先交换，再结合)
25+71+75+29 243+89+111+57 286＋54＋46＋14 254＋744＋246＋156



65+204+335+96    78+53+47+22 168＋151＋49＋332 85＋41＋15＋59 



189＋35＋211＋165　 43＋78＋122＋257 24+127+476+573 158+239+42+61



4、减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）
458－45—155 2354－456－544 1022－478－422 478－256－144



575－78－22 130-46-34 263－96－104　 472－126－174


970－132－68    400－185－15 168－28－72　　     437－137－63



200－173－27    263－96－104       970－132－68　　　483－236－64



5、减法性质的逆用：a－（b＋c）＝a－b－c＝a－c－b
5246－（246＋694） 987－（287＋135） 568－（68＋178） 258－（158＋96）



6、加、减混合简算：（带着运算符号“搬家”即：a + b -c = a -c + b ）
4235－4067＋765 3569＋526－1569 25＋75－25＋75 45682－7538＋14318



586－145－45－86 423－203＋77－97 325-156+675-144 5897＋568－897＋432



265－198＋35　　425－38＋75 325-156+675-144     45627－258－742－1627



36＋64－36＋64 382＋165＋35－82 155＋256＋45－98



7、加、减法的简算：(多加了要减去；多减了要加上；少加了要加上；少减了要减去)
429－293 1587－689 8904－1297 124＋4005  1235＋607  248＋803 



2564－302 25478－9006     5024－502      1251－409 2005＋45687



5021＋897     654＋793      654＋4999 603+421  735－198 527＋199
乘、除法的速算与巧算( 练习篇 )
1、乘法交换律： a×b＝b×a a×b×c＝a×c×b。
25×37×4 75×39×4 25×11×4 125×39×8 5×289×20



5×289×2　　 250×79×4 25×77×4 2×763×50 8×142×125



2、乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)
38×25×4 65×5×2 42×125×8 6×（15×9） 25×（4×12）



19×75×8 62×8×25 41×35×2 （125×25）×4 4×（25×16）



3、乘法交换、结合律的结合运用 (先交换，再结合)
78×125×8×3 25×125×8×4 125×20×8×3 12×125×5×8



（125×12）×8 （25×3）×4 8×（30×125） （25×125）×8×4



4、将一个因数分解成两个因数相乘，再用结合律：
48×125       125×32 125×88 36×25　　　 25×32　　 　 25×44



125×88 25×12 44×25 25×32 24×25 125×56



25×125×32    65×16×125　 　75×32×125 64×50×125 25×64×125


5、乘法分配律： (a＋b)×c＝a×c＋b×c
（125+9）×8 （25+12）×4 （125+40）×8 （20+4）×25 （100+2）×99



24×（200+1） 4×（25+10） 25×（8+4） 125×（40+8） 8×（125+20）



64×64＋36×64 25×6＋25×4 88×225＋225×12 136×406＋406×64



25×49＋75×49 63×88＋88×37 75×48＋75×52 85×82+82×15



85×82+82×15 75×299+75 76×25+25×24 38×97+38×3 68×19+19×32



35×37+65×37 12×83+12×17 34×23+77×34 45×36+36×54 45×68+68×56



99×99+99 　 89×99＋89 49×99+49 99×38＋38 87×99 + 87



79×25+25 68×99＋68 48×99＋48 38×39+38 58×99＋58



99×28+28 38×29+38 75×99+75 165×99+165 99×26+26



6、乘法分配律：(a－b)×c＝a×c－b×c a×c－b×c＝(a－b)×c
64×15－14×15 36×106—6×36 102×59－59×2     456×25－25×56 

101×897－897 76×101－76 101×26-26 25×（40-4） 124×25-25×24



7、当因数与整十、整百数接近时，可以转化为分配律进行简化运算。
32×105 98×34 103×56 99×26 105×99 426×101



75×98 56×102 99×11 239×101 88×102 13×98



39×101 13×102 102×36 99×36 88×102 98×38



32×203 129×101 101×39 126×8 25×98 199×99



8、除法的性质：a÷b÷c＝a÷(b×c)
4500÷4÷75 16800÷8÷25 248000÷8÷125 5200÷4÷65 3200÷25÷4



9、乘、除混合的简算：（可以带着运算符号“搬家”即：a × b ÷ c = a ÷ c × b）
4500×102÷90 3600÷80×2 125÷20×8 250÷75×30



10、商不变的规律：a÷b＝（a÷c）÷（b÷c）或a÷b＝（a×c）÷（b×c）
200÷25 600÷25 3000÷125 800÷25 38700÷900 540÷45



7、利用倍数关系找到相同因数，再用乘法分配律：
64×98+128 14×97+42 35×28+70 246×32＋34×492 7×48+14×26


容易出错类型
 600-60÷15                20X4÷20X4 736-35X20                  25X4÷25X4




98-18X5+25                 56X8÷56X8 280-80÷ 4                   12X6÷12X6




175-75÷25                25X8÷25X8 80-20X2+60                  36X9÷36X9




36-36÷6-6              25X8÷（25X8） 100+45-100+45             15X97+3




100+1-100+1                  48X99+1 1000+8-1000+8               5+95X28




102+1-102+1               65+35X13 25+75-25+75            40+360÷20-10




13+24X8 672-36+64 324-68+32 100-36+64




120×4÷120×4 735-35×20 100-36+64 25×99+99