2022届上海市实验学校高三下学期开学考试数学试题含解析

这是一份2022届上海市实验学校高三下学期开学考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市实验学校高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知平面α，直线m，n满足，则“m∥n”是“m∥α”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为，由线面平行的判定定理知：当m∥n时，m∥α成立，当m∥α时，m∥n”不一定成立，可能异面，所以“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A.2．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．年薪（万元）13595807060524031人数112134112 该公司雇员年薪的标准差约为（       ）A．24.5（万元） B．25.5（万元）              C．26.5（万元）              D．27.5（万元）【答案】B【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．【详解】年薪的平均数为万元，所以该公司雇员年薪的方差约为，所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．故选：B3．已知点是直线（是参数）和圆（是参数）的公共点，过点作圆的切线，则切线 的方程是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出点坐标，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．【详解】由得，则，所以，圆的普通方程为，圆心为，，所以切线的斜率为，方程为，即．故选：A．4．已知数列满足，.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题存在，使得对任意，都有.则（       ）A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假【答案】B【分析】利用作差法,可证明数列的单调性,结合极值特征即可判断命题;将变形,结合不等式的放缩法,可得.进而利用对数的运算变形化简,求得,从而得知命题q的真假.【详解】由题意可知 则数列单调递减,所以而当时, 且则,所以命题为真命题而所以所以, 即所以可得,即存在,对任意,都有成立又所以,即小于0有解,所以命题为假命题综上可知, 命题为真命题, 命题为假命题故选:B【点睛】本题考查了数列的综合应用,根据递推公式证明数列的单调性,通过构造函数法比较大小,运算过程较为复杂,属于难题.二、填空题5．已知集合，则___________．【答案】【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可【详解】当时，不等式不成立，当时，不等式成立，当时，不等式不成立，当时，不等式不成立，所以，故答案为：6．若实系数方程的一个根是，则__________．【答案】1【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可得结果.【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，根据韦达定理可得，所以.又，所以，所以故答案为：.7．函数的最小正周期为___________.【答案】【分析】先求得函数解析式，由此求得函数的最小正周期.【详解】，所以函数的最小正周期为.故答案为：8．若x，y满足约束条件则的最大值是__________．【答案】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，此时点的坐标是方程组的解，解得：，因此的最大值为：.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.9．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为__________．【答案】15【分析】依题意，令，求得，写出二项展开式的通项，进而可确定展开式中的系数．【详解】依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：，令，得，所以的系数为．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用各项系数的和，求解n的值，再利用二项展开式的通项求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载的叫邹傲的一个几何体，如图所示是邹傲的三视图（图中每个小正方形的边长为1个单位），则该邹傲的体积为__________．【答案】【详解】由三视图还原几何体的图形如图所示，该几何体是一个直三棱柱和两个四棱锥组成的几何体，其中直三棱柱的底面是边长和高均为2的三角形，高为1，其体积为：，四棱锥的底面为长为2，宽为1的长方形，高为2，其体积为：据此可得该几何体的体积为：. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11．设数列的前项和为，则_____【答案】3【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系，求得通项公式，进而得到，然后求和即可.【详解】由，得，∴，得，即，由，得，所以，所以，所以.故答案为：．12．在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为________【答案】【分析】点集中有9个点，从而在中随机取出三个点的方式数为，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1，的等腰直角三角形的顶点，有种情况，三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率．【详解】在平面直角坐标系中，点集，∴中有9个点，在中随机取出三个点的方式数为，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，②三点是边长为1，1，的等腰直角三角形的顶点，有种情况，③三点是边长为，，的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于的有4个，直角顶点位于，的各有1个，共有8种情况，综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为，这三个点两两之间距离均不超过2的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．设双曲线的左、右焦点为、，P为该双曲线上一点，且，若，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【分析】根据题意，得到，，利用余弦定理计算得到答案.【详解】解：，，故，，在中，利用余弦定理得到：，化简整理得到：，又，故渐近线方程为：.故答案为： .14．若四边形是边长为的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是___________.【答案】【分析】建立直角坐标系，然后表示出相关向量的坐标，结合向量数量积的坐标表示及三角函数的性质可求.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，设，则，则，，所以，，则，因为，所以.故答案为：15．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．【答案】【分析】求得x≥2时的值域，方法一，只需使x＜2时对应的函数图像在该值域区间上只有一个交点即可，利用数形结合的办法，对参数分类讨论，写出满足的不等式组，求得a的取值范围；方法二：对a分类讨论，求得函数单调性，利用单调性满足只有一个交点，且值域要比上面求的值域要大，来求得参数的取值范围.【详解】解：【法1】当时，．因为，而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是．由题意及函数的图像与性质可得    或 ，如上图所示．解得 或 ，所以所求实数的取值范围是 ．【法2】当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是； 当时，（1）若，则 （），它是增函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得 ，又，所以 ；（2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得，又 ，所以 ．综上，所求实数的取值范围是 ．故答案为：[-1,5).【点睛】关键点点睛：数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题.16．已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由可得出，令，可知函数与函数图象的两个交点的横坐标、满足，对实数的取值进行分类讨论数形结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，即为所求.【详解】由可得，等式两边同除以，可得.令，可得，即，设，①当时，作出函数与函数的图象如下图所示，若使得两个函数的图象有两个交点，则，解得，且，由，解得，由，解得，，不合乎题意；②当时，作出函数与函数的图象如下图所示，，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意；③当时，则，两个函数图象没有交点，不合乎题意；④当时，作出函数与函数的图象如下图所示，此时，两个函数的图象有两个交点，且，（i）若，即时，由，解得，由，解得，，合乎题意；（ii）若时，则，则，不合乎题意；（iii）当，即时，由，可得，由，可得，此时，不合乎题意.综上所述，的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．如图，在正三棱住中，，异面直线与所成角的大小为．(1)求正三棱柱的体积；(2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，又，求得正三棱柱的底面边长为．再求出底面积，代入棱柱体积公式可得正三棱柱的体积；（2）在底面三角形中，过作，垂足为，则为直线与平面所成角，求解三角形得答案．【详解】(1)解： 异面直线与所成角的大小为，且，，又，，即正三棱柱的底面边长为．．则；(2)解：在底面三角形中，过作，垂足为，则为中点，又平面平面，平面平面，所以平面，连接，则为直线与平面所成角，因为，，，．即直线与平面所成角的大小为．18．已知函数．(1)若，，求的值；(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简可得，由题意可知，进而可得，分析角可知，用两角差的正弦公式即可求得；（2）由（1）可知，结合的范围可得,再由面积公式即可求得，最后利用余弦定理即可求得.【详解】(1) ∵，∴，又∵，∴，∴ ，∴ ，(2)∵，∴，又∵，∴，∴，即，又∵，∴，由余弦定理得，，即.19．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.【详解】试题分析：（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.试题解析：解：（1）当时，；当时，，所以.（2）当时，此时，当时，取得最大值万元.当时， 此时，当时，即时，取得最大值万元，所以年产量为件时，利润最大为万元.【解析】函数、不等式的实际应用.20．已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于A、B两点，与线段交于点C（异于P、Q）．(1)当且时，求直线的方程；(2)当时，求四边形面积的取值范围；(3)记直线、、、的斜率依次为、、、，当且线段的中点M在直线上时，计算的值，并证明：．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析【分析】（1）设，根据求解；（2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得 ，再由直线与线段PQ相交，得到b的范围，然后由，由求解；（3）设直线的方程是，与椭圆方程联立，由AB的中点坐标是 ，由，结合韦达定理解得 求解.【详解】(1)解：设，则，因为，所以，解得，所以直线的方程是，即；(2)设直线的方程是，与椭圆方程联立得 ，则 ，因为线与线段PQ相交，所以 ，解得 ，因为 ，则 ，所以 ，且 ，所以四边形的面积是，所以以四边形的面积的范围是；(3)设直线的方程是，与椭圆方程联立得 ，设 则 ，线段AB的中点坐标是 ，由题意得 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，即，解得 （舍去）或 ，当 时， ， ，因为，因为，由基本不等式得成立.21．对于有限数列{an}，n≤N，N≥3，N∈N，定义：对于任意的k≤N，k∈N，有(1)S(k)＝|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|ak|；(2)对于，记L(k)＝|a1﹣c|+|a2﹣c|+|a3﹣c|+⋯+|ak﹣c|.对于k∈N，若存在非零常数c，使得L(k)＝S(k)，则称常数c为数列{an}的k阶ω系数.(i)设数列{an}的通项公式为，计算S(4)，并判断2是否为数列{an}的4阶ω系数；(ii)设数列{an}的通项公式为an＝3n﹣39，且数列{an}的m阶ω系数为3，求m的值；(iii)设数列{an}为等差数列，满足﹣1，2均为数列{an}的m阶ω系数，且S(m)＝507，求m的最大值.【答案】(i)30，2是数列{an}的4阶ω系数；(ii)26；(iii)26.【分析】(i)结合已知条件，利用等比数列求和运算即可；(ii)利用等差数列求和方法分别求出和，结合已知条件运算即可；(iii)结合已知条件，构造新函数，并求出函数的零点，根据函数性质可得到的最大值.【详解】(i)因为，所以，故，因为，所以2是数列的4阶ω系数；(ii)因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，时成立，设等差数列的前项和，由an＝3n﹣39可得，，令，则，故设等差数列的前项和为，，则，令，则，故当时，显然；当时，由，得，解得；(iii)由题意可知，，设数列公差为，构造函数，故，同理，，即，，为的三个零点，由函数的图像和性质，可知为偶数，且满足，解得，从而，当数列，且，可知当时命题成立，即的最大值为26.