上海市实验学校2023届高三数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

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上海实验学校高三开学考数学试卷2023.02一、填空题（每题5分）1. 不等式≥0的解集为_______．【答案】；【解析】【分析】把分式不等式转化整式不等式，再利用一元二次不等式的结论求解．【详解】．故答案为：．2. 若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据，利用两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：．3. 已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______．【答案】1【解析】【分析】由条件可得，然后可得答案.【详解】因为奇函数的周期为2，且当时，所以故答案为：14. 在无穷等比数列中，，，则的各项和____________.【答案】【解析】【分析】求得，，再根据等比数列前项和公式计算即可.【详解】由题知，无穷等比数列中，，，所以，解得，所以，解得，所以故答案为：5. 给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.其中所有正确命题的序号为___________.【答案】②③【解析】【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．【详解】对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．其中所有正确命题的序号为②③．故答案为：②③．6. 已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为___________．【答案】【解析】【分析】先利用中位数的定义求出，然后由方差的计算公式求解即可.【详解】因为数据的中位数为4，所以，故，所以这组数据的平均数为，故方差为，故答案为：.7. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.【答案】【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】设点、，由题意可得，，，直线的斜率为，则，两式相减得，所以，由于双曲线的一个焦点为，则，，，因此，该双曲线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.8. 在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）【答案】【解析】【分析】将多项式整理为，由二项式定理可得展开式的通项，令和可求得符合题意的的值，代入可求得结果.【详解】，展开式通项公式为，令，解得：；令，解得：，不合题意；的系数为.故答案为：.9. 函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】讨论、、：显然根据解析式知、，函数在内单调递增；，利用基本不等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a的范围.【详解】当时，在上，单调递增，单调递增，即单调递增，符合题意；当时，在内单调递增，符合题意；当时，，∴若，时，等号不成立，此时在内单调递增，符合题意；若，时，若当且仅当时等号成立，此时在内单调递增，不符合题意.综上，有时，函数在内单调递增.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，当、时，根据函数解析式直接判断单调性，当时，综合应用基本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.10. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于___________．（用数字作答）【答案】；【解析】【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，若农场主站在中间，有种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有种站法，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有种站法，则其概率，故答案为：．11. 已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程.【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到，解得，所以切线方程为．故答案为: .12. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.【答案】【解析】【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若时，即当时，，所以，函数在上单调递减，且，当时，，此时，函数无最小值；②若时，即当时，，当时，，当时，.，所以，，整理可得，，解得（舍去）；③当时，即当时，，当时，，当时，.因为，所以，，整理可得，，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.二、选择题（每题5分）13. 经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，直线的方程为，即.故选：A.14. 设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是（    ）A. 如果，a是正实数，那么B. 如果，那C. 如果，a是正实数，那么D. 如果，那么【答案】A【解析】【分析】根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断.【详解】设，对A：∵，则，∴，A正确；对B：∵，即，则，不能得到，更不能得到，例如，则，但，B错误；对C：∵，则，但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；对D：∵，则，可得，不能得到，例如，则，但显然，D错误.故选：A.15. 设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．若，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先消参将参数方程转化为普通方程，得、两点关于原点对称，转化为，则问题转化为定点O到直线上一点P距离为1，建立不等式求斜率范围即可.【详解】椭圆方程为，椭圆中心在原点，直线与椭圆交于、两点，则由对称性可知，、关于原点对称，所以，所以，故原点到直线的距离，解得或，故选：D.【点睛】关于三角形中线的向量表示：在中，是边上的中线，则.16. 已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（     ）①函数可能是奇函数；②函数可能是周期函数；③存在，使得；④对任意，都有.A. ①③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解.【详解】解：对①：若为奇函数，则.令，由（2）知，而与（1）矛盾，所以①错误.对②：若为周期函数，则(其中为非零常数)，当（比如）值域时，令，则（1）成立；（2）也成立，故②正确.对③：由②可知，存在，使为任意非零常数，所以可使，故③正确.对④：令，则由（1）知，从而，所以，所以④正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：牢牢抓住所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.三、解答题（每题14分）17. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝，BA＝BC＝2，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABC；（2）求直线PM与平面PBO所成角的大小．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理得，从而，结合等边三角形的特点得，利用勾股定理得出，进而证得结论；（2）过点作交于点，可证得面，则是直线与平面所成的角，求出即可得出答案．【小问1详解】（1）由，有，从而有且又是边长等于的等边三角形又，从而有又，平面,平面．【小问2详解】过点作交于点，连由（1）知平面，平面,得又，，平面，平面则是直线与平面所成的角．由，得，从而为线段的中点所以直线与平面所成角大小为．18. 数列中，已知，()．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）由递推式可得，并求出，依据等比数列的定义可证结论；（2）由（1）求出，进而写出，应用裂项相消法求，最后依据题设不等式求的范围，进而确定其最小值.【详解】（1）证明：由，得，从而，∴，又，故数列为等比数列；（2）解：由（1）得，故，∴，，令，则，解得，∵，∴．故使得的整数n的最小值为10；19. 如图，A、B、C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，D是圆形区域外一景点，，.（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处.需要多少小时？（精确到小数点后两位）【答案】（1）15.28公里    （2）1.25小时【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理得到的外接圆半径，即可求出O、A相距多少公里；（2）求出，由正弦定理求出，由余弦定理计算出公路AD的长，根据汽车的速度，即可求出所需的时间.【小问1详解】由题意，设圆的半径为R，在中，，，，由余弦定理，由正弦定理，，解得：,由几何知识得，O、A间的距离即为半径，∴，∴O、A相距15.28公里【小问2详解】由题意及（1）得在中，，，，∴，在中，，，，由正弦定理，，∴在中，，由余弦定理，，∵一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，∴所需时间：，∴需要1.25小时.20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点.（1）若直线经过，求的周长；（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）由椭圆定义知所求周长，由此得到结果；（2）当直线斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理形式，由，利用平面向量数量积的坐标运算可构造方程求得，得到直线方程；综合两种情况可得结果；（3）当直线斜率不存在时，可得坐标，由此可确定的取值；当直线斜率存在时，由得，利用可得与的关系，借助的范围可得的范围，解不等式可求得的取值范围；综合两种情况可得结果.【详解】（1）由椭圆定义知：，则的周长.（2）当直线斜率不存在时，直线，设，，则，符合题意；当直线斜率存在时，设直线，，，联立直线与椭圆得：，，解得：，则，，又，，，即，，解得：，满足，直线的方程为：或；（3）①当直线斜率不存在时， 直线，若，，则，，，此时；若，，则，，，此时；②当直线斜率存在时，设直线，，，又，即，故，由（2）知：，即，又，故，，，即，或；综上所述：实数取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.21. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）证明：对任意的，有．【答案】（1）    （2）在上单调递增.    （3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：【小问2详解】解：因为，    所以，令，则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.