2022届湖北省华大新高考联盟高三下学期开学收心考试数学试题含解析

2022届湖北省华大新高考联盟高三下学期开学收心考试

数学试题

一、单选题

1．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简得出集合，再由并集运算可得答案.

【详解】由可得，则

所以

故选: C.

2．若，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简复数，再根据复数中虚部的概念可得答案.

【详解】由 则复数虚部为，

故选：D.

3．命题：若为钝角，则；命题是假命题，则实数的取值范围是.下列命题为真命题的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别判断每一个命题的真假，再根据复合命题的法则即可判断.

【详解】命题：因为，

所以由，得，即，

所以，即，

所以当为第二象限角时，,故命题为真命题;

命题：因为命题“”是假命题，

所以命题“”是真命题.

当时，，符合题意.当时，，解得综上：，故命题是假命题.

故选：A.

4．已知是内一点，满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的加法和减法运算由条件，可得出，然后即可得到是的重心，从而可得出答案.

【详解】，

所以是的重心，所以.

故选：A.

5．已知，则曲线与交点个数为（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】在同一坐标系内作出函数 的函数图像，结合三角函数的范围，当时， 当时，，可得答案.

【详解】在同一坐标系内作出函数 的函数图像.

由，当时，

当时，，根据图像可知，交点个数为9个.

故选：D

6．已知，则等于（       ）

A． B． C．e D．1

【答案】C

【分析】根据函数解析式先求出，再求出即可.

【详解】∵，，又，∴.

故选：C.

7．已知，求（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式化简已知可得,进而利用诱导公式化简所求即可计算得解.

【详解】

.

故选：C

8．为保障妇女权益､促进妇女发展､推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011—2020年）》（以下简称《纲要》.《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人.第一到十三届历届全国人大女代表､政协女委员所占比重如图：

下列结论错误的是（       ）

A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点

B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上

C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%

D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人

【答案】C

【分析】根据折线图逐一分析判断各个选项即可得出答案.

【详解】解：A.第十三届全国人大女代表所占比重为24.9%，第十一届为21.3%，提高3.6个百分点，A正确；

B.第十三届全国政协女委员所占比重为20.4%，第四届为9%，提高11.4个百分点，B正确；

C.从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为

，高于12%.

C错误；

D.第十三届全国人大代表的人数约为人，不高于3000人，D正确.

故选：C.

二、多选题

9．祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立，若椭半球的短轴，长半轴，则下列结论正确的是（       ）

A．椭半球体的体积为30π

B．椭半球体的体积为15π

C．如果，以为球心的球在该椭半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为

D．如果，以为球心的球在该半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为

【答案】AC

【分析】由题可得，可判断AB，利用椭圆的性质可得球F的最大半径为1，进而可判断CD.

【详解】由题意知，短轴，长半轴的椭半球体的体积为，∴A正确，B错误；

椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3，长半轴长为5，所以半焦距为4，

由于，所以F椭圆的焦点，因此FD是椭圆的最小焦半径，即球F的最大半径为1，

该椭半球体挖去球F后，体积为，故C正确，D错误.

故选：AC.

10．已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左、右顶点分别为、，为双曲线上的点，且轴,连接AD交y轴于C，连接CB交直线DF于，.下列结论正确的是（       ）

A．双曲线的离心率为3 B．

C．点到直线的距离为 D．直线斜率为2或-2

【答案】ACD

【分析】由可得，结合条件可得，进而可得，然后逐项判断即得.

【详解】∵，

∴，，

∴，，即，

∴.

由知，，即

∴，

∴，即，故A正确；

∴，即直线是双曲线的渐近线，所以点到直线的距离为，故C正确；

由条件可得，

∴，即直线BC的斜率为，故D正确；

又，即直线BD的斜率为，它不与直线BC垂直，所以，故B错误.

故选：ACD.

11．已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是（       ）

A．是等差数列 B．是等差数列

C． D．

【答案】ABD

【分析】由题可得，进而可得的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，可判断AB，然后通过求和公式计算可判断CD.

【详解】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，①

，②

①+②得：，即，

所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，

同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，

故A，B正确；

所以

，

故C错误；

又，

∴，故D正确.

故选：ABD.

12．如图，已知平面垂直于平面，四边形为菱形，，，，.下列结论正确的是（       ）

A．异面直线AB与直线FE所成角的余弦值为

B．异面直线AB与直线DF所成角的余弦值为

C．若三棱锥的顶点都在球上，则球心在平面内

D．若三棱锥的顶点都在球上，则球的表面积为

【答案】CD

【分析】取EC中点G，则，为异面直线AB与直线FE所成角，通过计算可判断A，由题知异面直线AB与直线DF所成角或补角，进而判断B，结合条件及球的性质可判断C，利用坐标法可得，可判断D.

【详解】∵平面垂直于平面，，平面平面，

∴平面，同理平面，

∵四边形ABCD是边长为2菱形，，

∴，

取EC中点G，则，

∴四边形AFGC为平行四边形，

∴，

在直角三角形ACG中，，又，

在中由余弦定理得，

∴，即异面直线AB与直线FE所成角的余弦值为，故A错误；

∵，根据条件可知，，

∴，，

在中由余弦定理得，，又，

∴异面直线AB与直线DF所成角或补角，

∴异面直线AB与直线DF所成角的余弦值为，故B错误；

∵空间中到B、D两点距离相等的点的集合为平面ACEF，

所以球心O在平面ACEF内，故C正确；

取线段EF的中点为Q，

∵，故QC为线段EF的垂直平分线，所以球心直线QC，

取BD的中点为M，以M为原点，MA，MD，MQ分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

设，，，是球心，只需要使，即，

解得：，所以，所以，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线C的焦点坐标为____________.

【答案】(0,0.125)

【分析】将圆M的圆心代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标.

【详解】由题可得圆的圆心为，

代入得，

将抛物线的方程化为标准方程得，

故焦点坐标为.

故答案为：.

14．若，则___________.

【答案】4

【分析】利用赋值法求解，分别令，和求解即可

【详解】令，则

令，则

令，则

∴，

∴

故答案为：4

15．已知数列为的前项和，，则__________.

【答案】

【分析】由求得数列从第二项起是等比数列，求出通项公式，再由求得后比较可得结论．

【详解】，①

，②

①-②得：，

，

又，所以

所以

故答案为：

16．若恒成立，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据函数的单调性及零点情况可得，构造函数判断单调性及最值.

【详解】函数，都是单调递增函数，都至多有一个零点，

因为恒成立，所以函数，有公共零点，

记为，则，即，

，设.

，，在单调递增

在单调递减，单调递增

，，，

，

故答案为：.

四、解答题

17．已知在数列中，.

(1)求数列的前项和；

(2)设，求数列的项的和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，进而即求；

（2）由题可得，然后利用等比数列求和公式即得.

【详解】(1)∵，

∴

，

即.

(2)∵，，

∴，,

∴是首项为32，公比为16的等比数列，

所以，.

18．在中，分别为角的对边，，且，.

(1)求角大小.

(2)为边上一点，，且__________，求的面积.

（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；

（2）若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余弦定理即可求解.

【详解】(1)

由正弦定理得：

，

(2)选①：

由平分得：

，

所以，（1）

在中，由余弦定理得：

所以，（2）

（1）（2）联立得

解得，解得，

所以，

选②：

，

，得（1）

中，由余弦定理得

所以，（2）

（2）-（1）即可得，

.

19．如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，且O为AC的中点.

(1)求证：平面ABC；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明，结合已知即得证；

（2）连接OB，以O为坐标原点，OB，OC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】(1)证明：∵，且O为AC的中点，∴，

又侧面底面ABC，侧面底面ABCAC，且平面，

∴平面ABC.

(2)解：如图，连接OB，以O为坐标原点，OB，OC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

因为边长呈比例关系，不妨设.

由已知可得，，，，

∴，，.

设平面的法向量为.则有

取，则，，

∴为平面的一个法向量.

设平面的法向量为，

则有

，令，则，∴为平面的一个法向量，

∴.

∴所求二面角的余弦值为.

20．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.

(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为，求出的最大值点；

(2)若以作为p的值，

①求每一个互助组合做对题的概率；

②现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当时，取得最大值，求相应的n和.

【答案】(1)

(2)①；②答案见解析

【分析】（1）由题可知，然后利用导数可求出函数的最大值点，

（2）①记事件A为一个互助组合做对题，事件B为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C为一个互助组合中乙档中的学生做对题，根据题意求出，然后利用对立事件的概率公式求解即可，

②由题意知随机变量，然后根据题意利用二项分布的概率公式列不等式组可求得结果

【详解】(1)由题可知，

，令，得，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

所以的最大值点

(2)①记事件A为一个互助组合做对题，事件B为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C为一个互助组合中乙档中的学生做对题，

则，，

.

②由题意知随机变量，

因为最大，

所以，解得，

因为n是整数，所以或，

当时，；

当时，

21．已知定圆，动圆过点，且和圆相切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)若过点的直线交轨迹于两点，与轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)是，.

【分析】（1）利用椭圆的定义即求；

（2）利用韦达定理及向量的共线定理可得，，即得.

【详解】(1)由题可知圆的圆心为，半径，

设动圆的半径为，依题意有，

由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，

故，即，

所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为，则，

∴圆心的轨迹的方程为；

(2)直线与轴相交于，故斜率存在，又，

设直线方程为，则，

设交椭圆，

由，消去得，

，

又，

，

，同理，

当直线的倾斜角变化时，的值为定值.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性.

(2)当时，若有两个零点，，且实数b满足恒成立，求实数b的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先对函数求导，然后分和讨论导函数的正负，从而可求出函数的单调区间，

（2）令，可得，令，利用导数可求出的单调区间和最值，可得，从而可得，由可得，令，转化为在上恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值小于零即可

【详解】(1)由，得，

①当时，定义域为，，解得；，解得.

∴的增区间为，减区间为.

②当时，定义域为，，解得；，解得.

∴的增区间为，减区间为.

(2)，

令，则

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为当时，，当时，，

所以要使有两个零点，只要.

故时，有两个零点，，不妨设.

易知，

，，，

即.

令，∴在上恒成立.

因为，，易知，

令，则，.

令，，对称轴.

①若，即时，，故，在上单调递减，

则，符合题意；

②若，即时，，故存在唯一，有，

从而在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.

综上所述，b的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用解决函数零点问题，第2问解题的关键是，可得，构造函数后利用导数求出和零点的范围，即，再将零点代入函数化简变形可得，换元后再次构造函数，利用导数求出其最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题