2022年杭州中考数学模拟试卷1（含答案解析）

这是一份2022年杭州中考数学模拟试卷1（含答案解析），共26页。
2022年杭州中考数学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•利通区期末）﹣（﹣3）化简后是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．以上都不对
2．（3分）（2021秋•农安县期末）根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是（　　）
A．4.43×107 B．0.443×108 C．44.3×106 D．4.43×108
3．（3分）（2021•靖西市模拟）代数式4m2﹣n2因式分解为（　　）
A．（2m﹣n）（2m+n） B．4（m﹣n）（m+n）
C．（4m﹣n）（m+n） D．（m﹣2n）（m+2n）
4．（3分）（2021春•田家庵区期末）如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，则BD的长度可能是（　　）

A．3 B．5 C．3或5 D．4.5
5．（3分）（2021秋•青神县期末）当x＞2时，＝（　　）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）
6．（3分）（2021秋•太平区期末）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是（　　）
A．22x＝16（30﹣x） B．16x＝22（30﹣x）
C．2×16x＝22（30﹣x） D．2×22x＝16（30﹣x）
7．（3分）（2020•江岸区模拟）小小同学利用6张形状、大小，材质完全相同的卡片进行数字卡片游戏．卡片上分别标有1﹣6等6个数字．小小每次随机抽取两张卡片，两张卡片上所标数字之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）

A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
9．（3分）（2022•拱墅区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，点E是边CB上一动点，过点E作EF∥CA交AB于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C为圆心，适当长为半径画弧交CB，CA于点M，点N；②分别以M，N为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线CG．若射线CG经过点D，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）（2021秋•金安区期中）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝﹣2x2 D．y＝3x2﹣1
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2019秋•包河区期末）锐角α满足cosα＝0.5，则α＝　 　．
12．（4分）（2022•武进区校级模拟）计算：2a2﹣3a2＝　 　．
13．（4分）（2018秋•朝阳区校级期中）如图，是利用刻度尺和三角尺测得圆的直径的一种方法，从图中可知圆的直径是　 　cm，这样测量直径的依据是　 　．

14．（4分）（2021•甘井子区一模）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
11
2
9
3
8
5
这10名同学实心球投掷的平均成绩为　 　m．
15．（4分）已知A、B两点的坐标分别为（1，2）、（4，1），在y轴上找一点C，使△ABC是直角三角形，则点C的坐标是　 　．
16．（4分）（2021秋•青神县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将△BDC沿BD对折，C点落在M处，BM交AD于点E，作EF⊥BD于F，则线段EF＝　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋•杜尔伯特县期末）解不等式组：．
18．（8分）（2021春•衢江区校级期末）某校为庆祝建党100周年举行“学习党史知识竞赛”活动，全校共有1000名学生参加活动，为了了解本次知识竞赛成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生进行统计，请你根据不完整的表格，解答下列问题：
“学习党史知识竞赛”成绩频数表
成绩x分
频数
频率
75≤x＜80
10
0.05
80≤x＜85
14
n
85≤x＜90
m
0.2
90≤x＜95
56
0.28
95≤x＜100
80
0.40
（1）表中的m＝　 　，n＝　 　．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若规定90分及以上为优秀，则全校有多少学生成绩是优秀的？

19．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
（1）求证：△AEC≌△BED．
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．

20．（10分）（2021秋•沈北新区期末）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数y1＝在第一象限内的图象与直线y2＝x交于点D，且反比例函数y1＝交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，求出△CDE的面积．
（3）直接写出当x＞4时，y1的取值范围 　 　．

21．（10分）（2022春•赣州月考）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．

（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
22．（12分）（2018秋•越秀区校级月考）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当3＜x＜5时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝30，求出此时点P的坐标．

23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在劣弧AC上，连接AD、BD、CD．
（1）求证：∠ADB+∠ADC＝180°；
（2）若∠ABD＝45°，tan∠CAD＝，AB•BC＝4，求⊙O的半径．


2022年杭州中考数学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•利通区期末）﹣（﹣3）化简后是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．以上都不对
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣（﹣3）＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数．解题的关键是明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2021秋•农安县期末）根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是（　　）
A．4.43×107 B．0.443×108 C．44.3×106 D．4.43×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4430万＝44300000＝4.43×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2021•靖西市模拟）代数式4m2﹣n2因式分解为（　　）
A．（2m﹣n）（2m+n） B．4（m﹣n）（m+n）
C．（4m﹣n）（m+n） D．（m﹣2n）（m+2n）
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
4．（3分）（2021春•田家庵区期末）如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，则BD的长度可能是（　　）

A．3 B．5 C．3或5 D．4.5
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据垂线段最短可得3＜BD＜5．
【解答】解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，
∴BC＜BD＜AB，
即BD的长度的取值范围是大于3且小于5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
5．（3分）（2021秋•青神县期末）当x＞2时，＝（　　）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据＝|a|的进行计算即可．
【解答】解：∵x＞2，
∴＝|2﹣x|
＝x﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握＝|a|是解题的关键．
6．（3分）（2021秋•太平区期末）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是（　　）
A．22x＝16（30﹣x） B．16x＝22（30﹣x）
C．2×16x＝22（30﹣x） D．2×22x＝16（30﹣x）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（30﹣x）人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺母的数量＝螺栓的数量×2，然后再列出方程即可．
【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（30﹣x）人生产螺母，由题意得：
2×22x＝16（30﹣x），
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
7．（3分）（2020•江岸区模拟）小小同学利用6张形状、大小，材质完全相同的卡片进行数字卡片游戏．卡片上分别标有1﹣6等6个数字．小小每次随机抽取两张卡片，两张卡片上所标数字之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有30个等可能的结果，两张卡片上所标数字之和为偶数的结果有12个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有30个等可能的结果，两张卡片上所标数字之和为偶数的结果有12个，
∴两张卡片上所标数字之和为偶数的概率为＝，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）

A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】法一：由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得抛物线与x轴有两个交点，x1x2＝＜0，即可判断M的范围．
法二：根据抛物线开口方向和与y轴交点位置确定a，c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．
【解答】解：方法一：
∵OP＝1，P不在抛物线上，
∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
x＝1时，y＝a+b+c＜0，
当抛物线y＝0时，得ax2+bx+c＝0，
由图象知x1x2＝＜0，
∴ac＜0，
∴ac（a+b+c）＞0，
即M＞0，
方法二：
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0；
由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，
即a+b+c＜0，
∴M＝ac（a+b+c）＞0．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，解本题关键掌握二次函数的性质和根与系数的关系．
9．（3分）（2022•拱墅区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，点E是边CB上一动点，过点E作EF∥CA交AB于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C为圆心，适当长为半径画弧交CB，CA于点M，点N；②分别以M，N为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线CG．若射线CG经过点D，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】先利用勾股定理计算出BC＝4，利用基本作图得到CD平分∠ACB，再证明∠DCE＝∠CDE得到EC＝ED，设CE＝x，则EF＝2x，BE＝4﹣x，接着证明△BEF∽△BCA，利用相似比得到＝，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，
∴BC＝＝＝4，
由作法得CD平分∠ACB，
∴∠DCE＝∠DCA，
∵EF∥AC，
∴∠DCA＝∠CDE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴EC＝ED，
∵D点为EF的中点，
∴DE＝DF，
设CE＝x，则EF＝2x，BE＝4﹣x，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴＝，即＝，解得x＝，
即CE的长为．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．
10．（3分）（2021秋•金安区期中）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝﹣2x2 D．y＝3x2﹣1
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解答】解：A、y＝，k＝1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故A不符合题意；
B、y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故B不符合题意错误；
C、y＝﹣2x2（x＞0），二次函数，a＜0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故C不符合题意；
D、y＝3x2﹣1，二次函数，a＝3＞0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2019秋•包河区期末）锐角α满足cosα＝0.5，则α＝　60°　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵cosα＝0.5＝，α为锐角，
∴α＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．根据cosα的值，即可得出α的度数．
12．（4分）（2022•武进区校级模拟）计算：2a2﹣3a2＝　﹣a2　．
【考点】合并同类项．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据合并同类项法则计算即可．
【解答】解：2a2﹣3a2＝（2﹣3）a2＝﹣a2．
故答案为：﹣a2．
【点评】本题考查合并同类项，解题关键是熟知合并同类项法则并准确计算．
13．（4分）（2018秋•朝阳区校级期中）如图，是利用刻度尺和三角尺测得圆的直径的一种方法，从图中可知圆的直径是　4　cm，这样测量直径的依据是　圆的切线垂直于经过切点的半径；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；矩形的判定与性质　．

【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【分析】如图，⊙O与两尺的直角边分别切于A、B，两尺的直角边与刻度尺的垂直，垂足分别为C、D，连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BD，利用垂线公理判断点A、O、B共线，然后利用四边形ABDC为矩形得到AB＝CD．
【解答】解：如图，⊙O与两尺的直角边分别切于A、B，两尺的直角边与刻度尺的垂直，垂足分别为C、D，
连接OA、OB，
则OA⊥AC，OB⊥BD，
∵AC∥BD，
∴点A、O、B共线，即AB为⊙O的直径，
∴四边形ABDC为矩形，
∴AB＝CD＝7.5﹣3.5＝4（cm）．
故答案为4；圆的切线垂直于经过切点的半径；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；矩形的判定与性质．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．（4分）（2021•甘井子区一模）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
11
2
9
3
8
5
这10名同学实心球投掷的平均成绩为　8.9　m．
【考点】加权平均数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】根据加权平均数的计算公式直接进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
＝8.9（m），
答：这10名同学实心球投掷的平均成绩为8.9m．
故答案为：8.9．
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
15．（4分）已知A、B两点的坐标分别为（1，2）、（4，1），在y轴上找一点C，使△ABC是直角三角形，则点C的坐标是　（0，﹣5.5）或（0，﹣11）　．
【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质．
【专题】平面直角坐标系．
【分析】当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（0，y），分三种情况：①如果A为直角顶点，根据勾股定理列方程求得y的值；②如果B为直角顶点，那么AB2+BC2＝AC2根据勾股定理列方程求得y的值③如果C为直角顶点，C为直角顶点这种情况不存在，于是得到结论．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（0，y），分三种情况：
①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，
即（1﹣4）2+（2﹣1）2+（1﹣0）2+（2﹣y）2＝（5﹣0）2+（1﹣y）2，
解得：y＝﹣5.5，
②如果B为直角顶点，那么AB2+BC2＝AC2，
即（1﹣4）2+（2﹣1）2+（1﹣y）2+16＝（2﹣y）2+1，
解得y＝﹣11，
③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，
即（1﹣4）2+（2﹣1）2＝（2﹣y）2+1+（1﹣y）2+25，
∵△＝36﹣2×4×21＝﹣132＜0，
∴无解，
综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（0，﹣5.5）或（0，﹣11）．
故答案为：（0，﹣5.5）或（0，﹣11）．
【点评】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，y轴上点的坐标特征，进行分类讨论是解题的关键．
16．（4分）（2021秋•青神县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将△BDC沿BD对折，C点落在M处，BM交AD于点E，作EF⊥BD于F，则线段EF＝　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】根据矩形性质和翻折性质证明EB＝ED，再根据勾股定理得到DE的长，利用S△BED＝DE•CD＝BD•EF，即可求出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
根据翻折可知：∠MBD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠MBD，
∴EB＝ED，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣DE＝8﹣BE，
在Rt△AEB中，根据勾股定理，得
AB2+AE2＝BE2，
∴62+（8﹣BE）2＝BE2，
解得BE＝，
∴DE＝，
在矩形ABCD中，
∵CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10，
∴S△BED＝DE•CD＝BD•EF，
∴×6＝10×EF，
∴EF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋•杜尔伯特县期末）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）（2021春•衢江区校级期末）某校为庆祝建党100周年举行“学习党史知识竞赛”活动，全校共有1000名学生参加活动，为了了解本次知识竞赛成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生进行统计，请你根据不完整的表格，解答下列问题：
“学习党史知识竞赛”成绩频数表
成绩x分
频数
频率
75≤x＜80
10
0.05
80≤x＜85
14
n
85≤x＜90
m
0.2
90≤x＜95
56
0.28
95≤x＜100
80
0.40
（1）表中的m＝　40　，n＝　0.07　．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若规定90分及以上为优秀，则全校有多少学生成绩是优秀的？

【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据75≤x＜80这一组的频数和频率可以求得本次抽取的学生人数，然后即可计算出m、n的值；
（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全校有多少学生成绩是优秀的．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：10÷0.05＝200（人），
m＝200×0.2＝40，n＝14÷200＝0.07，
故答案为：40，0.07；
（2）由（1）知：m＝40，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）1000×（0.28+0.40）
＝1000×0.68
＝680（名），
答：全校约有680名学生成绩是优秀的．

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
19．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
（1）求证：△AEC≌△BED．
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）要证明△AEC≌△BED，根据题目中的条件，先证明∠AEC＝∠BED即可，由∠1＝∠2，即可得到∠AEC＝∠BED，然后写出全等的条件，即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以求得∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中

∴△AEC≌△BED（ASA）；

（2）∵△AEC≌△BED，
∴ED＝EC，∠ACE＝∠BDE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠1＝40°，
∴∠ECD＝∠EDC＝70°，
∴∠ECA＝70°，
∴∠BDE＝70°，
即∠BDE是70°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）（2021秋•沈北新区期末）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数y1＝在第一象限内的图象与直线y2＝x交于点D，且反比例函数y1＝交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，求出△CDE的面积．
（3）直接写出当x＞4时，y1的取值范围 　0＜y1＜3　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据AD＝3，得到点D的纵坐标为3，代入y2＝x，解之，求得点D的坐标，再代入y1＝，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式；
（2）根据“矩形的面积是24”，结合AD＝3，求得线段AB，线段CD的长度，得到点B，点C的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的坐标，根据“S△CDE＝CE×CD”，代入求值即可得到答案；
（3）根据图象，结合D的坐标即可求得．
【解答】解：（1）根据题意得：点D的纵坐标为3，
把y＝3代入y2＝x得：x＝3，
解得：x＝4，
即点D的坐标为：（4，3），
把点D（4，3）代入y1＝得：3＝，
解得：k＝12，
即反比例函数的关系式为：y2＝，
（2）设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：3m＝24，
解得：m＝8，
即点B，点C的横坐标为：4+8＝12，
把x＝12代入y2＝得：y＝1，
∴点E的坐标为：（12，1），
∴CE＝3﹣1＝2，
∴S△CDE＝CE×CD＝＝8；
（3）观察图象，当x＞4时，y1的取值范围是0＜y1＜3，
故答案为0＜y1＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：（1）正确掌握代入法和待定系数法，（2）正确掌握矩形和三角形的面积公式，（3）数形结合．
21．（10分）（2022春•赣州月考）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．

（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）连接BD，根据题意可得CD＝14cm，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可解答；
（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，根据题意可得CF＝20cm，然后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH，FH的长，再在Rt△DFH中，利用勾股定理求出DH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）BD⊥DE，
理由：连接BD，

∵EC＝36cm，DE＝50cm，
∴CD＝DE﹣EC＝14cm，
∵BC＝50cm，BD＝48cm，
∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥DE；
（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，

∵BC＝AB＝50cm，
∴AC＝AB+BC＝100（cm），
∵CF＝AC，
∴CF＝×100＝20（cm），
在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，
∴FH＝CF•sin45°＝20×＝10（cm），
CH＝CF•cos45°＝20×＝10（cm），
∵DF＝30cm，
∴DH＝＝＝10（cm），
∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm，
∴CD的长为（10+10）cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（12分）（2018秋•越秀区校级月考）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当3＜x＜5时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝30，求出此时点P的坐标．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；模型思想．
【分析】（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）两点坐标代入y＝x2+bx+c可求出b、c，进而确定函数关系式，再将二次函数写出顶点式，进而得出顶点坐标；
（2）根据抛物线的关系式，求出当x＝3、x＝5时相应的y的值即可；
（3）求出AB的长为6，要使S△PAB＝30，则其高为10，再在抛物线上找一点使其纵坐标的绝对值为10即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）两点坐标代入y＝x2+bx+c得，
，解得，，
∴二次函数的关系式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
答：二次函数的关系式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标为（1，﹣9）；
（2）当x＝3时，y＝4﹣9＝﹣5，
当x＝5时，y＝16﹣9＝7，
所以当3＜x＜5时，﹣5＜y＜7；
（3）∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S△PAB＝30＝×6×yP，
∴yP＝10，
又∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣9），
∴点P在x轴上方的抛物线上，
当y＝10时，即10＝x2﹣2x﹣8，
解得，x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标为（1+，10）或（1﹣，10）．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数a、b、c是解决问题的关键．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在劣弧AC上，连接AD、BD、CD．
（1）求证：∠ADB+∠ADC＝180°；
（2）若∠ABD＝45°，tan∠CAD＝，AB•BC＝4，求⊙O的半径．

【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】（1）根据圆周角定理以及圆的内接四边形性质解答即可；
（2）作辅助线，构建直角三角形，利用边角关系与已知条件，得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADB+∠ADC＝180°；

（2）连接OD，连接AO，交BC于E，交BD于F，

∵∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∴△BFE∽△DEO，
设BE＝y，OD＝OA＝OB＝x，
∵AB•BC＝4，
∴AB•BE＝2，
AB＝，
∵AB2＝AE2+BE2，BO2＝OE2+BE2，
∴，
解得，
故⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和解直角三角形，熟练运用圆周角定理，构建直角三角形是解此题的关键．