2022年中考数学考前30天迅速提分专题15 与圆相关的三种位置关系与真题训练（含答案）

这是一份2022年中考数学考前30天迅速提分专题15 与圆相关的三种位置关系与真题训练（含答案），共38页。
2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）
专题2.6与圆相关的三种位置关系与真题训练

题型一： 点与圆的位置关系
一．选择题（共1小题）
1．（2021•花都区一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
二．填空题（共1小题）
2．（2021•西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 　 　．
三．解答题（共2小题）
3．（2022•南岗区模拟）已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接OC交BD于点F，点G为上一点，AG＝BC，求证：∠GAB＝∠ACO+90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交DG的延长线于点H，若∠HAB＝135°，EF＝1，GH＝，求线段BD的长．









4．（2021•海珠区校级二模）已知AB为⊙O的直径，点C位于AB上方的半圆上，点E在AB上且AE＝AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）如图所示，当点D与点O重合时，求tan∠DCE．
（2）在（1）的条件下，延长CE交于⊙O点F，若OE＝6，求△BEF与△ACE的面积之比．
（3）以DE为边在⊙O内构造正方形DEPM，点M在直线CD上，连接AM并延长交⊙O于点N，试猜想PN与PE的数量关系，并说明理由．

















题型二：直线与圆的位置关系
一．填空题（共1小题）
1．（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 　 　；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为 　 　．

二．解答题（共4小题）
2．（2022•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为（﹣1，0），AB＝3，BC＝6，边AD与y轴交于点E．
（1）直接写出点A、C、D的坐标；
（2）在x轴上取点F（3，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过点E，与x轴交于点M，连接EF．
①当∠MEF＝15°时，求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；
②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．


3．（2022•禅城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是AD上一点，且DE＝3．动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE交AB于点F，过点F作FG∥BC交CE于点G，连结PG．当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）求PF的长（用含t的代数式表示；
（2）当点P在何处时，△PFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）作PFG的外接圆⊙O，在点P的运动过程中，是否存在实数t，使⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．





















4．（2022•南岗区模拟）已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接OC交BD于点F，点G为上一点，AG＝BC，求证：∠GAB＝∠ACO+90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交DG的延长线于点H，若∠HAB＝135°，EF＝1，GH＝，求线段BD的长．






















5．（2011•山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆，圆心为O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE，
（2）综合与运用：在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：
①AD与⊙O的位置关系是 　 　．
②线段AE的长为 　 　．













题型三：圆与圆的位置关系
一．选择题（共1小题）
1．（2021秋•武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（　　）
A．4π B．9π C．5π D．13π
二．解答题（共1小题）
2．（2021秋•婺城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝20°，求阴影部分的面积．






【真题训练】
一．选择题（共1小题）
1．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　）

A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣
二．解答题（共3小题）
2．（2016•漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．






3．（2010•厦门）如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
（1）求的长；
（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．









4．（2005•嘉兴）在坐标平面内，半径为R的⊙O与x轴交于点D（1，0）、E（5，0），与y轴的正半轴相切于点B．点A、B关于x轴对称，点P（a，0）在x的正半轴上运动，作直线AP，作EH⊥AP于H．
（1）求圆心C的坐标及半径R的值；
（2）△POA和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；若给定a＝6，试判定直线AP与⊙C的位置关系（要求说明理由）．


2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）
专题2.6与圆相关的三种位置关系与真题训练

题型一： 点与圆的位置关系
一．选择题（共1小题）
1．（2021•花都区一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【分析】本题根据题意可作图可知d＜r，即可判定点P与⊙O的位置关系．
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：

∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据d与r的关系判断是解题关键．
二．填空题（共1小题）
2．（2021•西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 　上　．
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，若PO＝4，
∴4＝4，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆上．
故答案是：上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
三．解答题（共2小题）
3．（2022•南岗区模拟）已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接OC交BD于点F，点G为上一点，AG＝BC，求证：∠GAB＝∠ACO+90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交DG的延长线于点H，若∠HAB＝135°，EF＝1，GH＝，求线段BD的长．


【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；
（2）连接DG，OD，过点O作OH⊥CD于点H，利用圆周角定理和平行线的判定定理可得AC∥DG，再利用等腰梯形的性质和直角三角形的性质即可得出结论；
（3）通过证明△AGH≌△DCE可得CE＝HG＝，利用勾股定理可得CF；利用切线的性质定理和（2）的结论通过计算可得∠OAB＝45°．，利用圆周角定理可得∠ACB＝45°，设BE＝x，则BF＝x+1，BM＝＝，则BC＝BM+CM＝，利用勾股定理列出方程即可求得x值，最后利用垂径定理可得BD＝2BF．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD
∴∠BAC＝∠DAC．
∴．
∴BC＝CD．
（2）证明：连接DG，OD，过点O作OH⊥CD于点H，如图，

∵OC＝OD，OH⊥CD，
∴∠COH＝∠COD．
∵∠CAD＝∠COD，
∴∠COH＝∠CAD．
∵AG＝BC，BC＝CD，
∴BC＝CD＝AG．
∴．
∴∠BAC＝∠CAD＝∠ADG＝∠COH．
∵∠CAD＝∠ADG，
∴AC∥DG．
∵AG＝CD，
∴四边形ACDG为等腰梯形．
∴∠GAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠ACO+∠OCD，
∴∠GAC＝∠ACO+∠OCD．
∵OH⊥CD，
∴∠COH+∠OCD＝90°．
∴∠OCD+∠BAC＝90°．
∴∠BAG＝∠BAC+∠CAG＝∠BAC+∠ACO+∠OCD＝90°+∠ACO．
（3）解：连接OA，OB，过点E作EM⊥BC于点M，如图，

∵AH是⊙O的切线，
∴∠HAG＝∠ADG．
∵AG＝BC，
∴∠ADG＝∠BDC．
∴∠HAG＝∠BDC．
∵∠AGD+∠ACD＝180°，∠AGH+∠AGD＝180°，
∴∠AGH＝∠ACD．
在△AGH和△DCE中，
，
∴△AGH≌△DCE（ASA）．
∴GH＝EC＝．
∵，
∴OF⊥CD．
∴CF＝＝＝3．
∵AH是⊙O的切线，
∴OA⊥AH．
∴∠OAH＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠HAC＝∠HAO+∠CAO＝90°+∠ACO．
∵∠GAB＝∠ACO+90°，
∴∠HAC＝∠GAB．
∴∠BAC＝∠HAG．
∵∠HAB＝135°，
∴∠OAB+∠OAH＝135°．
∴∠OAB＝45°．
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°．
∵EM⊥BC，
∴EM＝MC＝CE＝＝．
设BE＝x，则BF＝x+1，BM＝＝．
∴BC＝BM+CM＝．
在Rt△BCF中，
∵BF2+CF2＝BC2，
∴．
解得：x＝5或﹣．
经检验它们都是原方程的根，但x＝﹣不合题意舍去，
∴x＝5．
∴BF＝BE+EF＝6．
∵OF⊥BD，
∴BF＝FD＝BD．
∴BD＝2BF＝12．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰梯形的判定与性质．连接圆的半径，利用同圆的半径相等是解决此类问题常添加的辅助线．
4．（2021•海珠区校级二模）已知AB为⊙O的直径，点C位于AB上方的半圆上，点E在AB上且AE＝AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）如图所示，当点D与点O重合时，求tan∠DCE．
（2）在（1）的条件下，延长CE交于⊙O点F，若OE＝6，求△BEF与△ACE的面积之比．
（3）以DE为边在⊙O内构造正方形DEPM，点M在直线CD上，连接AM并延长交⊙O于点N，试猜想PN与PE的数量关系，并说明理由．


【分析】（1）利用AC＝AE，AO＝CO，表示出OE即可求解；
（2）先证明△ACE∽△FBE，将所求面积之比转化为BE与CE之比的平方，利用直径可求BE，利用等腰三角形和勾股定理可求CE，即可得出结果；
（3）先利用角度转换的关系证明△ACM∽△ANC，再利用AC＝AE证明△AEM∽△ANE，从而得到M，E，N三点共圆，即可求解．
【解答】解：（1）∵AE＝AC，CD⊥AB，AO＝CO，
∴AE＝AC＝CO，
∴OE＝AE﹣AO＝AE﹣CO＝CO﹣CO＝（﹣1）CO，
∴tan∠DCE＝＝﹣1；
（2）如图，连接BF，

∵∠ACE＝∠FBE，∠AEC＝∠FEB，
∴△ACE∽△FBE，
∴＝（）2＝，
设圆的半径为r，
∴AB＝2r，AO＝CO＝r，
∴AE＝AC＝r，
∴BE＝AB﹣AE＝2r﹣r＝（2﹣）r，DE＝AE﹣AO＝r﹣r＝（﹣1）r，
∴BE2＝（6﹣4）r2，
在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，
∴CE2＝CD2+DE2，即：
CE2＝r2+[（﹣1）r]2＝（4﹣2）r2，
∴＝＝＝；
（3）如图，连接CN，BC，ME，NE，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝90°，
∴∠CBA＝∠ACD，
∵∠CNA＝∠CBA，
∴∠CNA＝∠ACD，
∵∠CAM＝∠NAC，
∴△ACM∽△ANC，
∴＝，
∴AC2＝AM•AN，
∵AC＝AE，
∴AE2＝AM•AN，
∴＝，
∵∠EAM＝∠NAE，
∴△AEM∽△ANE，
∴∠AEM＝∠ANE＝45°，
∵四边形DEPM为正方形，
∴∠MPE＝90°，PM＝PE，
∴点M，E，N三点在以P为圆心，PE为半径的圆上，
∴PN＝PE．
【点评】本题考查解直角三角形，圆周角定理，正方形的性质等知识点，难度在于证明△ACM∽△ANC和△AEM∽△ANE，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
题型二： 直线与圆的位置关系
一．填空题（共1小题）
1．（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 　（4，3+3）　；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为 　（0，3±）或（0，﹣3±）　．

【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知AB＝6，OC的半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；
②同理根据作辅助线，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．
【解答】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，

∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），
∴AB＝7﹣1＝6，
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝3，
∴PC＝3，
∵点P在直线x＝4上，
∴AD＝4﹣1＝3，
∴AD＝BD，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝3，
∴P（4，3+3），
故答案为：（4，3+3）；
②如图2所示，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，

在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，
则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴PO＝3+，
同理得：OP1＝3﹣，
∴P（0，3±），
同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0，﹣3±），
综上分析，点P的坐标为（0，3±）或（0，﹣3±），
故答案为：（0，3±）或（0，﹣3土）．
【点评】本题主要考查了坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题关键是作△APB的外接圆．
二．解答题（共4小题）
2．（2022•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为（﹣1，0），AB＝3，BC＝6，边AD与y轴交于点E．
（1）直接写出点A、C、D的坐标；
（2）在x轴上取点F（3，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过点E，与x轴交于点M，连接EF．
①当∠MEF＝15°时，求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；
②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．

【分析】（1）利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；
（2）①求出线段OF，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时，Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）点B的坐标为（﹣1，0），
∴OB＝1．
∵矩形ABCD中AB＝3，BC＝6，
∴CD＝3，OC＝5，AE＝1，DE＝5．
∴A（﹣1，3），C（5，0），D（5，3）；
（2）①∵点F（3，0），
∴OF＝3．
∵OE＝3，
∴OE＝OF．
∴∠OEF＝∠OFE＝45°．
∵∠MEF＝15°，
∴∠OEM＝60°．
∴OM＝OE•tan60°＝3．
∴M（3，0）．
∴．
解得：．
∴直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式为：y＝﹣x+3；
②设EM的中点为G，过点G作GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点N，则GN⊥CD，如图，

由题意：以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AD，BC所在直线相交．
∴以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB，CD所在直线可能相切．
Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时，
则GH＝EM．
设M（m，0），则OM＝m．
∴EM＝＝．
∵GH⊥AB，OB⊥AB，EA⊥AB，
∴AE∥GH∥BM．
∵EG＝GM，
∴GH为梯形ABME 的中位线．
∴GH＝（1+1+m）＝．
∴．
解得：m＝．
经检验，m＝是原方程的根，
∴M（，0）；
Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，
则GN＝EM．
∵GN⊥CD，MC⊥CD，ED⊥CD，
∴DE∥GN∥CM．
∵EG＝GM，
∴GN为梯形CMED的中位线．
∴GN＝（5+5﹣m）＝．
∴．
解得：m＝．
经检验，m＝是原方程的根，
∴M（，0）．
综上，当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，点M的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
3．（2022•禅城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是AD上一点，且DE＝3．动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE交AB于点F，过点F作FG∥BC交CE于点G，连结PG．当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）求PF的长（用含t的代数式表示；
（2）当点P在何处时，△PFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）作PFG的外接圆⊙O，在点P的运动过程中，是否存在实数t，使⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先证明四边形CGFP是平行四边形，再证明△PFB∽△ECD，运用相似三角形性质即可得出答案；
（2）利用三角形面积可得：S△PFG＝BF•FG＝﹣6t2+10t，再运用二次函数最值即可得出答案；
（3）分三种情况：①如图2，当⊙O与AB相切时，FG是直径，由△PFB∽△FGP，建立方程求解即可；②如图3，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，根据PB＝MF＝MG＝FG＝PC，建立方程求解即可；③如图4，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，由△FGM∽△PFB，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，
∴BP＝3t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，
在Rt△ECD中，∠D＝90°，DE＝3，CD＝4，
∴CE＝＝＝5，
∵PF∥CE，FG∥BC，
∴四边形CGFP是平行四边形，
∴∠FPB＝∠ECB＝∠DEC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△PFB∽△ECD，
∴＝＝，即＝＝，
∴BF＝4t，PF＝5t；
（2）由（1）知：BF＝4t，BP＝3t，
∴CP＝BC﹣BP＝5﹣3t，
∵四边形CGFP是平行四边形，
∴FG＝CP＝5﹣3t，
∴S△PFG＝BF•FG＝×4t（5﹣3t）＝﹣6t2+10t，
∴当t＝﹣＝时，S△PFG的最大值＝﹣6×（）2+10×＝，
∵BP＝3t＝3×＝，
∴此时点P是BC的中点，
故当t＝，即点P在BC的中点时，△PFG的面积最大，最大面积是．
（3）存在．
①如图2，当⊙O与AB相切时，FG是直径，
∴∠FPG＝90°，
∵FG∥BC，
∴∠PFG＝∠FPB，
∵∠FPG＝∠B＝90°，
∴△PFB∽△FGP，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝；
②如图3，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，
∵OP⊥BC，BC∥FG，
∴PO⊥FG，
∴FM＝MG，
由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，
得：3t＝（5﹣3t），
解得：t＝；
③如图4，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，
∵OG⊥EC，BF∥EC，
∴GO⊥PF，
∴MF＝MP＝t，
∵△FGM∽△PFB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝．
综上所述，当t＝或或时，⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切．

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，垂径定理，平行四边形的性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，运用方程思想把问题转化为利用方程解决，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题．
4．（2022•南岗区模拟）已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接OC交BD于点F，点G为上一点，AG＝BC，求证：∠GAB＝∠ACO+90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交DG的延长线于点H，若∠HAB＝135°，EF＝1，GH＝，求线段BD的长．

【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；
（2）连接DG，OD，过点O作OH⊥CD于点H，利用圆周角定理和平行线的判定定理可得AC∥DG，再利用等腰梯形的性质和直角三角形的性质即可得出结论；
（3）通过证明△AGH≌△DCE可得CE＝HG＝，利用勾股定理可得CF；利用切线的性质定理和（2）的结论通过计算可得∠OAB＝45°．，利用圆周角定理可得∠ACB＝45°，设BE＝x，则BF＝x+1，BM＝＝，则BC＝BM+CM＝，利用勾股定理列出方程即可求得x值，最后利用垂径定理可得BD＝2BF．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD
∴∠BAC＝∠DAC．
∴．
∴BC＝CD．
（2）证明：连接DG，OD，过点O作OH⊥CD于点H，如图，

∵OC＝OD，OH⊥CD，
∴∠COH＝∠COD．
∵∠CAD＝∠COD，
∴∠COH＝∠CAD．
∵AG＝BC，BC＝CD，
∴BC＝CD＝AG．
∴．
∴∠BAC＝∠CAD＝∠ADG＝∠COH．
∵∠CAD＝∠ADG，
∴AC∥DG．
∵AG＝CD，
∴四边形ACDG为等腰梯形．
∴∠GAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠ACO+∠OCD，
∴∠GAC＝∠ACO+∠OCD．
∵OH⊥CD，
∴∠COH+∠OCD＝90°．
∴∠OCD+∠BAC＝90°．
∴∠BAG＝∠BAC+∠CAG＝∠BAC+∠ACO+∠OCD＝90°+∠ACO．
（3）解：连接OA，OB，过点E作EM⊥BC于点M，如图，

∵AH是⊙O的切线，
∴∠HAG＝∠ADG．
∵AG＝BC，
∴∠ADG＝∠BDC．
∴∠HAG＝∠BDC．
∵∠AGD+∠ACD＝180°，∠AGH+∠AGD＝180°，
∴∠AGH＝∠ACD．
在△AGH和△DCE中，
，
∴△AGH≌△DCE（ASA）．
∴GH＝EC＝．
∵，
∴OF⊥CD．
∴CF＝＝＝3．
∵AH是⊙O的切线，
∴OA⊥AH．
∴∠OAH＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠HAC＝∠HAO+∠CAO＝90°+∠ACO．
∵∠GAB＝∠ACO+90°，
∴∠HAC＝∠GAB．
∴∠BAC＝∠HAG．
∵∠HAB＝135°，
∴∠OAB+∠OAH＝135°．
∴∠OAB＝45°．
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°．
∵EM⊥BC，
∴EM＝MC＝CE＝＝．
设BE＝x，则BF＝x+1，BM＝＝．
∴BC＝BM+CM＝．
在Rt△BCF中，
∵BF2+CF2＝BC2，
∴．
解得：x＝5或﹣．
经检验它们都是原方程的根，但x＝﹣不合题意舍去，
∴x＝5．
∴BF＝BE+EF＝6．
∵OF⊥BD，
∴BF＝FD＝BD．
∴BD＝2BF＝12．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰梯形的判定与性质．连接圆的半径，利用同圆的半径相等是解决此类问题常添加的辅助线．
5．（2011•山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆，圆心为O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE，
（2）综合与运用：在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：
①AD与⊙O的位置关系是 　相切　．
②线段AE的长为 　　．

【分析】（1）①以AB为直径作圆O即可；
②分别以A、C为圆心，AC长为半径作弧交于点D，连接AD，CD即可；
③根据题意连接，找到交点即可．
（2）①可证∠BAD＝90°，由切线的判定得出AD与⊙O的位置关系．
②根据三角形的面积公式即可求出线段AE的长．
【解答】解：评分说明：第①小题（2分），第②小题（2分），第③小题（1分）．
（1）如图．若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分．

（2）①∵AB＝4，BC＝2，△ACD是等边三角形，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝30°+60°＝90°，
∴AD与⊙O的位置关系是 相切．
②AD＝AC＝AB•＝2，
BD＝＝2，
AE＝AB•AD÷（BD）＝．
故线段AE的长为 ．
故答案为：相切． ．

【点评】考查了直角三角形的外接圆，等边三角形的作法，切线的判定，勾股定理及三角形面积公式，综合性较强．
题型三：圆与圆的位置关系
一．选择题（共1小题）
1．（2021秋•武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（　　）
A．4π B．9π C．5π D．13π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×32﹣π×22＝5π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
二．解答题（共1小题）
2．（2021秋•婺城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝20°，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB＝∠ABC＝∠C，由DF⊥AC，得∠CDF+∠C＝90°，等量代换可证∠ODF＝90°，从而证明结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理知∠ADB＝90°，从而证明△CFD∽△CDA，得CD2＝CF•AC，而CD＝BC，代入即可；
（3）连接OE，AD，OD，过点O作OH⊥AC于H，分别求出扇形AOE和△AOE的面积，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠CDF+∠C＝90°，
∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC＝，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠DFC＝∠ADC＝90°，
∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，
即BC2＝4CF•AC；
（3）解：连接OE，AD，OD，过点O作OH⊥AC于H，

∵∠CDF＝20°，
∴∠C＝70°，
∴∠OAE＝40°＝∠OEA，
∴∠AOE＝100°，
∴AH＝cos40°×OA＝2cos40°，OH＝2sin40°，
∴AE＝2AH＝4cos40°，
∴S阴影＝﹣4cos40°×2sin40°＝﹣4sin40°×cos40°．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积的计算等知识，证明△CFD∽△CDA是解题的关键．
【真题训练】
一．选择题（共1小题）
1．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　）

A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣
【分析】连接OD，作OH⊥AC于H，根据切线的性质得到OD⊥BC，得到四边形ODCH为矩形，求出OH＝CD＝，进而出去OA＝2，计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算．
【解答】解：如图，连接OD，过O作OH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD＝，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA＝OH＝2，
在Rt△OBD中，∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．
二．解答题（共3小题）
2．（2016•漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．

【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1＝∠2，等量代换得到∠2＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD＝＝，根据切割线定理得到CD2＝AD•DE，根据勾股定理得到CE＝＝，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠2＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；

（2）方法1：连接CE，
∵AD＝2，AC＝，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝＝，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝AD•DE，
∴DE＝1，
∴CE＝＝，
∵C为的中点，
∴BC＝CE＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝3．
方法2：∵∠DCA＝∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AB＝3．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
3．（2010•厦门）如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
（1）求的长；
（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；
（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．
【解答】解：（1）连接OE、OF，
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OFA＝90°
∴四边形AFOE是正方形
∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝
∴的长＝＝π．

（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，
连接OM1、OR，
∵M1N1∥MN
∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°
∴∠EM1N1＝120°
∵MA、M1N1切⊙O于点E、R
∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°
在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1
∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．
过点D作DK⊥M1N1于K
在Rt△DM1K中
DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，
∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，
当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，
当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，
∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
4．（2005•嘉兴）在坐标平面内，半径为R的⊙O与x轴交于点D（1，0）、E（5，0），与y轴的正半轴相切于点B．点A、B关于x轴对称，点P（a，0）在x的正半轴上运动，作直线AP，作EH⊥AP于H．
（1）求圆心C的坐标及半径R的值；
（2）△POA和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；若给定a＝6，试判定直线AP与⊙C的位置关系（要求说明理由）．

【分析】（1）由题意知圆心C点的横坐标为DE中点的坐标，纵坐标和B点纵坐标相等，用切割线定理求出OB的长即可，C点的横坐标等于半径；
（2）因为△POA≌△PHE，OE的长为直角边和斜边的和，而OE的长已求，用OP表示PE，并且OA＝OB．
根据勾股定理求出OP的长即为a的值，过A作圆的切线为标准证明AP与⊙C的关系．
【解答】解：（1）连接BC，则BC⊥y轴．
取DE中点M，连CM，则CM⊥x轴．
∵OD＝1，OE＝5，
∴OM＝3．
∵OB2＝OD•OE＝5，
∴OB＝．
∴圆心C，半径R＝3．

（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA＝PE．
∵OA＝OB＝，OE＝5，OP＝a，
∴PA2＝a2+5，
PE2＝（5﹣a）2，
∴a2+5＝（a﹣5）2，
a＝2．

（3）解法一：
过点A作⊙C的切线AT（T为切点），交x轴正半轴于Q．
设Q（m，0），则QE＝m﹣5，QD＝m﹣1，
QT＝QA﹣AT＝QA﹣AB＝．
由QT2＝QE•QD，
得＝（m﹣5）（m﹣1），
2＝3m+10，
11m2﹣60m＝0．
∵m＞0，
∴m＝．
∵a＝6，点P（6，0），在点Q的右侧，
∴直线AP与⊙C相离．

解法二：
设射线AP、BC交于点F，作CT⊥AF于T．
∵△AOP∽△CTF，
∴．
而AO＝，AP＝，
CF＝BF﹣BC＝12﹣3＝9，
∴，
CT＝＝3＝R，
∴直线AP与⊙C相离．

【点评】考查了直线与圆的位置关系；能够根据全等，相似三角形，勾股定理求线段等多个知识点．