2022年中考数学考前30天迅速提分专题06 勾股定理、四边形、圆（含答案）

这是一份2022年中考数学考前30天迅速提分专题06 勾股定理、四边形、圆（含答案），共101页。试卷主要包含了6勾股定理、四边形、圆，5、6、6，5°，则∠ACE的度数为，5°B．31，5B．6C．8D．9等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）
专题1.6勾股定理、四边形、圆（全国中考59个考点真题训练）

1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
5．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
6．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
8．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

9．三角形综合题
三角形综合题．
10．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
11．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
12．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
13．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．
（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
16．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
17．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
18．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

19．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

23．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
24．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
25．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
26．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

27．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
28．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．

29．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
30．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．

31．中点四边形
中点四边形．
32．四边形综合题
四边形综合题．
33．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
34．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
35．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
36．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
37．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
38．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
39．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
40．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
41．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
42．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
43．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
44．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
45．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
46．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
47．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
48．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
49．切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．
50．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
51．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
52．相切两圆的性质
相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．
这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．
53．相交两圆的性质
（1）相交两圆的性质：
相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．
注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
（2）两圆的公切线性质：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．
两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．
54．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
55．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
56．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
57．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
58．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
59．圆的综合题
圆的综合题．
【真题训练】
一．勾股定理（共1小题）
1．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
二．勾股定理的证明（共1小题）
2．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）

A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
三．勾股定理的逆定理（共1小题）
3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
四．勾股数（共1小题）
4．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
五．勾股定理的应用（共1小题）
5．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
六．平面展开-最短路径问题（共1小题）
6．（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）

A． B． C． D．
七．等腰直角三角形（共1小题）
7．（2021•绵阳）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）

A．22°或42° B．23° C．25° D．27°
八．三角形中位线定理（共1小题）
8．（2021•梧州）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
九．三角形综合题（共1小题）
9．（2021•锦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．
一十．多边形（共1小题）
10．（2020•湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．
一十一．多边形的对角线（共1小题）
11．（2021•陕西）七边形一共有　 　条对角线．
一十二．多边形内角与外角（共1小题）
12．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
一十三．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
13．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
一十四．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2021•滨州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（　　）

A．130° B．125° C．120° D．115°
一十五．平行四边形的判定（共1小题）
15．（2021•资阳）下列命题正确的是（　　）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分
一十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）
16．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

一十七．菱形的性质（共1小题）
17．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（　　）

A．4 B． C．6 D．8
一十八．菱形的判定（共1小题）
18．（2021•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
一十九．菱形的判定与性质（共1小题）
19．（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二十．矩形的性质（共1小题）
20．（2021•西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
二十一．矩形的判定（共1小题）
21．（2021•河池）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
二十二．矩形的判定与性质（共1小题）
22．（2021•罗湖区）如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为　 　．

二十三．正方形的性质（共1小题）
23．（2021•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二十四．正方形的判定（共1小题）
24．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）

A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
二十五．正方形的判定与性质（共1小题）
25．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
二十六．梯形（共1小题）
26．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（　　）

A．6m B．8m C．4m D．8m
二十七．直角梯形（共1小题）
27．（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值．

二十八．等腰梯形的性质（共1小题）
28．（2015•潍坊）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝50，AB＝20，∠B＝60°，则AD＝　 　．

二十九．等腰梯形的判定（共1小题）
29．（2013•绵阳）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
三十．梯形中位线定理（共1小题）
30．（2018•内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为　 　．

三十一．中点四边形（共1小题）
31．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
三十二．四边形综合题（共1小题）
32．（2021•东营）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
三十三．圆的认识（共1小题）
33．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）

A．2 B． C．3 D．
三十四．垂径定理（共1小题）
34．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
三十五．垂径定理的应用（共1小题）
35．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　）

A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
三十六．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
36．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 　 　cm．

三十七．圆周角定理（共1小题）
37．（2021•巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）

A． B． C． D．
三十八．圆内接四边形的性质（共1小题）
38．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．72° D．36°
三十九．相交弦定理（共1小题）
39．（2016•泉州）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝　 　．

四十．点与圆的位置关系（共1小题）
40．（2021•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是（　　）

A．3 B．3 C． D．
四十一．确定圆的条件（共1小题）
41．（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．

四十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
42．（2021•内江）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．
四十三．直线与圆的位置关系（共1小题）
43．（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）

A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
四十四．切线的性质（共1小题）
44．（2021•青岛）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（　　）

A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
四十五．切线的判定（共1小题）
45．（2020•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．
求证：（1）BE＝CE；
（2）EF为⊙O的切线．

四十六．切线的判定与性质（共1小题）
46．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为 　 　．
A.3
B.
C.5
D.

四十七．弦切角定理（共1小题）
47．（2011•台北市）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　）

A．97° B．104° C．116° D．142°
四十八．切线长定理（共1小题）
48．（2020•西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）

A． B．2 C． D．3
四十九．切割线定理（共1小题）
49．（2011•赤峰）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为　 　．

五十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
50．（2021•西宁）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．4﹣π D．
五十一．圆与圆的位置关系（共1小题）
51．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为l，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP＝10，CP＝9，则下列角度关系何者正确？（　　）

A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
五十二．相切两圆的性质（共1小题）
52．（2019•德阳）如图，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为⊙O1上一点，∠AO1O2＝30°，点P为线段O1O2上的一个动点，过P作O1A的平行线l，如果在⊙O2上有且仅有2个点到直线l的距离为，则O1P的取值范围是（　　）

A．＜O1P≤ B．＜O1P＜3 C．＜O1P≤ D．＜O1P＜
五十三．相交两圆的性质（共1小题）
53．（2018•莱芜）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为　 　．

五十四．正多边形和圆（共1小题）
54．（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（　　）

A．9π B．π C．π D．π
五十五．弧长的计算（共1小题）
55．（2021•黔西南州）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（　　）

A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
五十六．扇形面积的计算（共1小题）
56．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
五十七．圆锥的计算（共1小题）
57．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
五十八．圆柱的计算（共1小题）
58．（2016•台湾）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（　　）

A．4.5 B．6 C．8 D．9
五十九．圆的综合题（共1小题）
59．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．



2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）
专题1.6勾股定理、四边形、圆（全国中考59个考点真题训练）

1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
5．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
6．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
8．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

9．三角形综合题
三角形综合题．
10．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
11．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
12．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
13．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．
（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
16．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
17．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
18．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

19．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

23．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
24．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
25．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
26．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

27．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
28．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．

29．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
30．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．

31．中点四边形
中点四边形．
32．四边形综合题
四边形综合题．
33．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
34．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
35．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
36．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
37．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
38．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
39．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
40．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
41．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
42．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
43．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
44．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
45．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
46．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
47．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
48．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
49．切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．
50．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
51．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
52．相切两圆的性质
相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．
这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．
53．相交两圆的性质
（1）相交两圆的性质：
相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．
注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
（2）两圆的公切线性质：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．
两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．
54．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
55．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
56．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
57．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
58．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
59．圆的综合题
圆的综合题．
【真题训练】

一．勾股定理（共1小题）
1．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵，
∴，
解得CD＝2.4，
故选：D．

【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
二．勾股定理的证明（共1小题）
2．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）

A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
三．勾股定理的逆定理（共1小题）
3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
四．勾股数（共1小题）
4．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设，，
则
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，
∴依次正确的是①②．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．
五．勾股定理的应用（共1小题）
5．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，
根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，
解得h＝12，
∴水深为12尺，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
六．平面展开-最短路径问题（共1小题）
6．（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）

A． B． C． D．
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：蚂蚁也可以沿A﹣B﹣C的路线爬行，AB+BC＝6，
把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝1.5π，
所以AC＝
＝
＝
＝＜6，
故选：C．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
七．等腰直角三角形（共1小题）
7．（2021•绵阳）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）

A．22°或42° B．23° C．25° D．27°
【分析】作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则MP＝NP＝CP，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．
【解答】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，

∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∴CH＝CG＝MN，
∵PC＝MN，
存在两种情况：
如图，CP＝CP1＝MN，

①P是MN中点时，
∴MP＝NP＝CP，
∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMC＝∠PCM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CPM＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CPB＝117°，
∴∠BPM＝117°﹣100°＝17°，
∵∠PMC＝∠PBM+∠BPM，
∴∠PBM＝40°﹣17°＝23°，
∴∠ABP＝45°﹣23°＝22°．
②CP1＝MN，
∴CP＝CP1，
∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，
∵∠BP1C＝117°，
∴∠BP1M＝117°﹣80°＝37°，
∴∠MBP1＝40°﹣37°＝3°，
∴∠ABP＝42°．
综上，∠ABP＝22°或42°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建矩形CNGM证明P是MN的中点是解本题的关键．
八．三角形中位线定理（共1小题）
8．（2021•梧州）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
【分析】根据三角形中位线定理分别求得两个小直角三角形的直角边的长度，然后利用直角三角形的面积公式和分割法求得答案．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AC＝8，BC＝6，
∴AE＝AC＝4，ED是直角△ABC的中位线．
∴ED∥BC且ED＝BC＝3
∴AE⊥ED．
∴S△AED＝＝＝6．
同理BF＝BC＝3，DF＝AC＝4，DF⊥BC，
∴S△BFD＝＝＝6．
∴S四边形CEDF＝﹣S△AED﹣S△AED＝﹣6﹣6＝12．
故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理和三角形的面积，根据三角形中位线定理推知直角△AED和直角△BFD的直角边的长度是解题的难点．
九．三角形综合题（共1小题）
9．（2021•锦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是线段BE，利用面积法求出RT，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵α＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．

（2）解：①结论：＝．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC﹣AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．

②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴点E的运动轨迹是线段BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，
∴RT＝＝，
∵EC+EH＝ER+EH≥RT，
∴EC+EH≥，
∴EC+EH的最小值为．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．
一十．多边形（共1小题）
10．（2020•湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
【解答】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
一十一．多边形的对角线（共1小题）
11．（2021•陕西）七边形一共有　14　条对角线．
【分析】可根据多边形的对角线与边数的关系求解．
【解答】解：七边形的对角线总共有：＝14条．
故答案为：14．
【点评】考查了多边形的对角线的条数，n边形的对角线条数＝．
一十二．多边形内角与外角（共1小题）
12．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】由正多边形的外角和为360°，及正多边形的一个外角等于60°，可得结论．
【解答】解：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查正多边形的外角，熟知多边形外角和为360°是解题关键．
一十三．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
13．（2021•铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
一十四．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2021•滨州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（　　）

A．130° B．125° C．120° D．115°
【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD∥BC，DC∥AB，然后即可得到∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，再根据∠A＝60°，BE平分∠ABC，即可得到∠DEB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠DEB＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
一十五．平行四边形的判定（共1小题）
15．（2021•资阳）下列命题正确的是（　　）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分
【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即可选出正确答案．
【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故A选项说法错误，是假命题；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项说法正确，是真命题；
C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故C选项说法错误，是假命题；
D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故D选项说法错误，是假命题．

（∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴S△ADE：S四边形DECB＝1：3．）
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握这些定理、定义．
一十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）
16．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

【分析】（1）证△AEO≌△DCO（AAS），得到AE＝CD，再由CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得AB＝CD，再证CD＝AC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△AEO和△DCO中，
，
∴△AEO≌△DCO（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥DC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：四边形ACDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AC，
∴CD＝AC，
∴四边形ACDE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定，证明△AEO≌△DCO是解题的关键．
一十七．菱形的性质（共1小题）
17．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（　　）

A．4 B． C．6 D．8
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DO＝CO＝AO，AD＝2AO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝4+4，
∴AO+AO＝4+4，
∴AO＝4，
∴AD＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
一十八．菱形的判定（共1小题）
18．（2021•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
一十九．菱形的判定与性质（共1小题）
19．（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由轴对称的性质可得AC＝CD，AB＝BD，可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质可得AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，在Rt△BOD中，利用勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求EO，AE的长，即可求解．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝＝＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝＝，
∴，
∴EO＝，
∴AE＝，
∴＝＝，
方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB，可求解．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出EO的长是解题的关键．
二十．矩形的性质（共1小题）
20．（2021•西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD＝4，再根据三角形中位线定理可得EF＝BO＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝BO＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
二十一．矩形的判定（共1小题）
21．（2021•河池）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
二十二．矩形的判定与性质（共1小题）
22．（2021•罗湖区）如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为　（，+3）　．

【分析】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，得出S矩形OABC＝12，由OC＝3，得出OA＝4，由∠CFB＝90°，C、B均为定点，F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
【解答】解：当点D与点A重合时，如图：
∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，
∴S矩形OABC＝12，
∵C点坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∴OA＝4，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
则MF＝BC＝2，OM＝＝，
∴OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，
设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，
∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，
解得：x＝（负值舍去）
∴2x＝+2，3x＝+3
∴点F坐标（，+3）
故答案为：（，+3）

【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键．
二十三．正方形的性质（共1小题）
23．（2021•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到BE＝AB，CF＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE＝BE，根据全等三角形的性质得到BC＝AH＝AD，由AG是斜边的中线，得到AG＝DH＝AD，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF．故③正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
故选：D．

【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二十四．正方形的判定（共1小题）
24．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）

A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【分析】①由条件a可得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，①正确；
②由条件b得到四边形是平行四边形，添加d平行四边形是矩形，再添加c矩形是正方形，②正确；
③由a和b都可得到四边形是平行四边形，再添加c得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，③不正确．
【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
二十五．正方形的判定与性质（共1小题）
25．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二十六．梯形（共1小题）
26．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（　　）

A．6m B．8m C．4m D．8m
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE中，
AE＝ABsin45°＝4，
在Rt△DCF中，
∵∠DCB＝30°，
∴DF＝CD，
∴CD＝2DF＝2×4＝8，
故选：B．

【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
二十七．直角梯形（共1小题）
27．（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值．

【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到结论．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝3，
∴CE＝＝6，
∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴，
∵BD＝＝＝10，
∴＝，
∴CH＝3，
∴BH＝＝＝6，
∴∠DBC的正切值＝＝＝．

【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二十八．等腰梯形的性质（共1小题）
28．（2015•潍坊）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝50，AB＝20，∠B＝60°，则AD＝　30　．

【分析】首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE＝CD＝AB＝20，AD＝EC，易得△ABE是等边三角形，即可求得AD的长．
【解答】解：过点A作AE∥CD交BC于点E，

∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB＝20，AD＝EC，
∵∠B＝60°，
∴BE＝AB＝AE＝20，
∴AD＝BC﹣BE＝50﹣20＝30．
故答案为：30
【点评】此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．
二十九．等腰梯形的判定（共1小题）
29．（2013•绵阳）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【分析】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，对角线相等的梯形是等腰梯形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了对菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
三十．梯形中位线定理（共1小题）
30．（2018•内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为　12　．

【分析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE＝（AD+BC），所以S四边形ABCD＝OE•CD＝3CD，只有当CD＝AB＝4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值．
【解答】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA＝OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE＝（AD+BC），
∴S四边形ABCD＝（AD+BC）•CD＝OE•CD＝3CD，
当CD＝AB＝4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12．
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
三十一．中点四边形（共1小题）
31．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
【分析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．
【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：C．

【点评】此题主要考查了矩形的性质（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不大．
三十二．四边形综合题（共1小题）
32．（2021•东营）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【分析】①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH即可；
③将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，由“SAS”可证△DBE≌△NBE，可得DE＝NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的关系，可判断③；
④先证△AGE，△DCH都是等边三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定理判定即可．
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：

∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：

∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，

∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴▱BHFG是菱形，故④正确，
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形，找出AE，CD，DE的关系是解题的关键．
三十三．圆的认识（共1小题）
33．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．
【解答】解：连接AM，

∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵AC＝，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上．
三十四．垂径定理（共1小题）
34．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
三十五．垂径定理的应用（共1小题）
35．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　）

A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
三十六．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
36．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 　5　cm．

【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
【解答】解：如图，连接OA，

∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．
三十七．圆周角定理（共1小题）
37．（2021•巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意连接OA、OC，OC交AB于点E，根据垂径定理推出OC⊥AB，且AE＝BE＝3，再由圆周角定理推出∠AOC＝2∠ADC＝60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，

连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴OE＝AE＝，
故圆心O到弦AB的距离为．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线OA，OC，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
三十八．圆内接四边形的性质（共1小题）
38．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
三十九．相交弦定理（共1小题）
39．（2016•泉州）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝　2：3　．

【分析】根据相交弦定理得到AE•BE＝CE•DE，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，
∴AE•BE＝CE•DE，
∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，
故答案为：2：3．
【点评】此题考查了相交弦定理，熟练掌握相交弦定理是解题的关键．
四十．点与圆的位置关系（共1小题）
40．（2021•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是（　　）

A．3 B．3 C． D．
【分析】取AC中点O，连接OP，BO，由勾股定理的逆定理可求∠APC＝90°，可得点P在以AC为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BP≥BO﹣OP，当点P在线段BO上时，BP有最小值，由锐角三角函数可求∠BOC＝60°，即可求解．
【解答】解：取AC中点O，连接OP，BO，

∵PA2+PC2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的圆上运动，
在△BPO中，BP≥BO﹣OP，
∴当点P在线段BO上时，BP有最小值，
∵点O是AC的中点，∠APC＝90°，
∴PO＝AO＝CO＝，
∵tan∠BOC＝＝，
∴∠BOC＝60°，
∴△COP是等边三角形，
∴S△COP＝OC2＝×3＝，
∵OA＝OC，
∴△ACP的面积＝2S△COP＝，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，找出点P在以AC为直径的圆上运动是解题的关键．
四十一．确定圆的条件（共1小题）
41．（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　5　．

【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，

以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
四十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
42．（2021•内江）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC＝120°，过点O作OM⊥BC，然后结合，等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质分析求解．
【解答】解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，

∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
又∵OB＝OC，OM⊥BC，
∴∠COM＝∠BOC＝60°，MB＝MC，
∴在Rt△COM中，∠OCM＝30°，
∴OM＝OC＝1，CM＝OM＝，
∴BC＝2CM＝2，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．
四十三．直线与圆的位置关系（共1小题）
43．（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）

A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
【分析】由题意可知：直线l与⊙A相切，设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，利用直线l的解析式设出点B的坐标，可得线段BE，OB的长，由直角三角形的边角关系可得tan∠AOB＝；解直角三角形ABO可得OB的长，利用勾股定理可求OA的长，点A坐标可得，同理可求当A在x轴的正半轴上的坐标为（13，0）．
【解答】解：当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，直线l与⊙A相切，
设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，如图，

∵点B在直线y＝x上，
∴设B（m，m），
∴OE＝﹣m，BE＝﹣m．
在Rt△OEB中，tan∠AOB＝．
∵直线l与⊙A相切，
∴AB⊥BO．
在Rt△OAB中，tan∠AOB＝．
∵AB＝5，
∴OB＝12．
∴OA＝．
∴A（﹣13，0）．
同理，在x轴的正半轴上存在点（13，0）．
综上所述，点A的坐标为（±13，0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
四十四．切线的性质（共1小题）
44．（2021•青岛）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（　　）

A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【解答】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB＝58.5°，
∴∠B＝90°﹣∠ADB＝31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝58.5°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BAC＝31.5°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
四十五．切线的判定（共1小题）
45．（2020•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．
求证：（1）BE＝CE；
（2）EF为⊙O的切线．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EH⊥BC，
∴EH⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
四十六．切线的判定与性质（共1小题）
46．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为 　B或D　．
A.3
B.
C.5
D.

【分析】根据“⊙A与两坐标轴同时相切”分为⊙A在第二象限，第四象限两种情况进行解答．
【解答】解：如图，当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切时，连接AM，
在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO﹣OM＝4﹣1＝3，
∴tan∠ABO＝＝；
当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切时，连接A′M′，A′B
在Rt△A′BM′中，A′M′＝1＝OM′，BM′＝BO+OM′＝4+1＝5，
∴tan∠A′BO＝＝；
故答案为：B或D．

【点评】本题考查切线的性质和判定，解直角三角形，根据不同情况画出相应的图形，利用直角三角形的边角关系求出答案是解决问题的前提．
四十七．弦切角定理（共1小题）
47．（2011•台北市）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　）

A．97° B．104° C．116° D．142°
【分析】先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数．
【解答】解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
【点评】此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
四十八．切线长定理（共1小题）
48．（2020•西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．
【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．

【点评】本题主要考查了切线长定理，判断出△PAB是等边三角形是解题的关键．
四十九．切割线定理（共1小题）
49．（2011•赤峰）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为　4　．

【分析】根据切割线定理求得PA的长，进一步求得圆的半径．
【解答】解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2＝PA•PB，
即PA＝9，
则AB＝9﹣1＝8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
【点评】此题考查了切割线定理．
五十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
50．（2021•西宁）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．4﹣π D．
【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，r＝＝2，再说明四边形OFCE是正方形，得S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴＝，
∴r＝＝2，
∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE＝90°，
∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
五十一．圆与圆的位置关系（共1小题）
51．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为l，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP＝10，CP＝9，则下列角度关系何者正确？（　　）

A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；
【解答】解：如图，∵直线l是公切线
∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
∵PA＝10，PC＝9，
∴PA＞PC，
∴∠C＞∠A，
∴∠D＞∠B．

故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解题的关键是证明AC∥BD．
五十二．相切两圆的性质（共1小题）
52．（2019•德阳）如图，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为⊙O1上一点，∠AO1O2＝30°，点P为线段O1O2上的一个动点，过P作O1A的平行线l，如果在⊙O2上有且仅有2个点到直线l的距离为，则O1P的取值范围是（　　）

A．＜O1P≤ B．＜O1P＜3 C．＜O1P≤ D．＜O1P＜
【分析】过点O2作O2B⊥直线l于B．求出两种特殊情形的O1P的值即可判断．
【解答】解：过点O2作O2B⊥直线l于B．
当O2B＝1+＝时，⊙O2上有且只有一个点到直线l的距离为，
∵AO1∥PB，
∴∠BPO2＝∠AO1P＝30°，
∴PO2＝2O2B＝，
∴O1P＝O1O2﹣O2P＝3﹣＝，
当O2B′＝1﹣＝时，同法可得P′O2＝2O2B′＝此时O1P′＝3﹣＝，
观察图可知：＜O1P＜，
故选：D．

【点评】本题考查相切两圆的性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是性质寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
五十三．相交两圆的性质（共1小题）
53．（2018•莱芜）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为　　．

【分析】作EF的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE＝FG＝，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE＝a，即可得到EF＝a．
【解答】解：如图，作EF的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，
连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE＝GD＝x，则CG＝2a﹣x，CE＝a，
Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2＝x2，
解得x＝，
∴GE＝FG＝，
同理可得，EH＝FH＝，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO＝BC＝a，
∴Rt△OEG中，OE＝＝a，
∴EF＝a，
故答案为：a．

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
五十四．正多边形和圆（共1小题）
54．（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（　　）

A．9π B．π C．π D．π
【分析】连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为3，进而可得半径为3，根据弧长公式可求弧AB的长．
【解答】解：如图

连接OA，OB，则OA＝OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB＝＝3，
∴OA＝OB＝3，
∴弧AB的长L＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
五十五．弧长的计算（共1小题）
55．（2021•黔西南州）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（　　）

A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
【分析】先求出OC，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，
∴OC＝OA﹣AC＝12cm，
又OA和OB的夹角为150°，
∴的长为：＝10π（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．
五十六．扇形面积的计算（共1小题）
56．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．
【解答】解：连接BC，如图，
由作法可知AC＝BC＝AB＝2，
∴△ACB为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O
＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O
＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O
＝4×﹣2××22﹣π×12
＝π﹣2．
故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．
五十七．圆锥的计算（共1小题）
57．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度，
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
五十八．圆柱的计算（共1小题）
58．（2016•台湾）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（　　）

A．4.5 B．6 C．8 D．9
【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径＝2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积＝22：12＝4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a＝3a，根据原有的水量为3a×12＝36a，即可得到结论．
【解答】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径＝2：1，
∴水桶底面积：铁柱底面积＝22：12＝4：1，
设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，
则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a＝3a，
∵原有的水量为3a×12＝36a，
∴水桶内的水面高度变为＝9（公分）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．
五十九．圆的综合题（共1小题）
59．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB＝∠ODA，则∠CAD＝∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE＝3，AD＝2，解直角三角形得到∠DAB＝30°，则∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，DF＝2，再根据S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM＝，EM＝，则MB＝，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△OGD∽△EGA，
∴＝，
∵＝，⊙O的半径为2，
∴＝，
∴AE＝3，
如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即＝，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，
∴∠F＝30°，
∵OD＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB＝×2×2﹣＝2﹣；
（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，

在Rt△AEM中，AM＝AE•cos60°＝3×＝，EM＝AE•sin60°＝，
∴MB＝AB﹣AM＝4﹣＝，
∴BE＝＝＝．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．