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2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第十章 §10.6 事件的相互独立性与条件概率
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§10.6 事件的相互独立性与条件概率考试要求 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．知识梳理1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\to(B)，eq \x\to(A)与B，eq \x\to(A)与eq \x\to(B)也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．常用结论1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．( √ )(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．( √ )教材改编题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85答案 B解析 由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.2．若P(A|B)＝eq \f(1,9)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(AB)的值是( )A.eq \f(1,27) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,4)答案 A解析 由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝eq \f(1,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).3．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A.eq \f(1,100) B.eq \f(1,60) C.eq \f(1,50) D.eq \f(1,30)答案 B解析 设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，则P(A1)＝eq \f(2,3)，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq \f(2,3)×0.02＋eq \f(1,3)×0.01＝eq \f(1,60).题型一 条件概率例1 (1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10)C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)答案 D解析 根据条件概率的计算公式可得，P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq \f(3,5).(2)(多选)(2022·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(1,2)答案 ABC解析 P(A)＝eq \f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故A正确；P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故B正确；P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)，故C正确；P(eq \x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，P(eq \x\to(A)B)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq \f(3,10)，P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(P\x\to(A)B,P\x\to(A))＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故D错误．教师备选1．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)答案 D解析 记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(B))A))＝eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A)))＝eq \f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq \f(2,3).2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)答案 B解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，则P(AB)＝eq \f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,10))＝eq \f(1,15)，P(A)＝eq \f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,10))＝eq \f(1,5)，所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,3).思维升华 求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).(2)样本点法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．跟踪训练1 (1) (多选)下列说法正确的是( )A．P(A|B)0，P(B|A)＋P(eq \x\to(B))＝1，则事件A与事件B( )A．互斥 B．对立C．相互独立 D．以上均不正确答案 C解析 依题意，P(B|A)＋P(eq \x\to(B))＝P(B|A)＋1－P(B)＝1，则P(B|A)＝P(B)，即eq \f(PAB,PA)＝P(B)，于是得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立．4．某道数学试题含有两问，当第一问正确做答时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )A．0.72 B．0.8C．0.9 D．0.2答案 C解析 做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72，设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.72,0.8)＝0.9.5．(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件B＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”答案 CD解析 在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)，P(MN)＝eq \f(1,4)，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件．6．(多选)(2022·合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为eq \f(2,7)D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为eq \f(2,7)答案 BC解析 记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为次品”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，对于A，即P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A错误；对于B，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，B正确；对于C，P(A2|B)＝eq \f(PA2·PB|A2,PB)＝eq \f(0.3×0.05,0.052 5)＝eq \f(2,7)，C正确；对于D，P(A3|B)＝eq \f(PA3·PB|A3,PB)＝eq \f(0.45×0.05,0.052 5)＝eq \f(3,7)，D错误．7．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为eq \f(2,3)，且各生产环节相互独立．则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________．答案 eq \f(8,27)解析 由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合格，∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27).8．某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________．答案 0.7解析 设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得：P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.9．“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；(2)求甲队得2分乙队得1分的概率．解 (1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P(A)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(1,27)；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率P(B)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9).(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D，事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，则P(C)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(5,18)，甲队得2分乙队得1分即事件B，C同时发生，则P(D)＝P(B)P(C)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,18)＝eq \f(10,81).10．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出的零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解 设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．(1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝eq \f(2,3)×(1－0.03)＋eq \f(1,3)×(1－0.02)≈0.973.(2)P(A2|B)＝eq \f(PA2B,PB)＝eq \f(PA2PB|A2,PA1PB|A1＋PA2PB|A2)＝eq \f(\f(1,3)×0.02,\f(2,3)×0.03＋\f(1,3)×0.02)＝0.25.11．(多选)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是( )A．P(A)＝eq \f(3,7) B．P(AB)＝eq \f(9,35)C．P(B)＝eq \f(2,7) D．P(B|A)＝eq \f(3,5)答案 ABD解析 由题意得P(A)＝eq \f(C\o\al(2,6),C\o\al(3,7))＝eq \f(15,35)＝eq \f(3,7)，故A正确；P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,4)＋1,C\o\al(3,7))＝eq \f(9,35)，故B正确；P(B)＝1－eq \f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝1－eq \f(10,35)＝eq \f(5,7)，故C错误；P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(9,35),\f(3,7))＝eq \f(3,5)，故D正确．12．(2022·张家口模拟)某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，b，eq \f(1,2)，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为eq \f(1,5)，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为( )A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,10)答案 D解析 由题意知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为eq \f(1,5)，则ab·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \f(1,2)a(1－b)＋eq \f(1,2)b(1－a)＝eq \f(1,5)，所以eq \f(1,2)(a＋b)－eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,5)，所以a＋b－ab＝eq \f(2,5)，所以该同学一个社团都不进入的概率P＝(1－a)(1－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)[1－(a＋b)＋ab]＝eq \f(1,2){1－[(a＋b)－ab]}＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq \f(3,10).13．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为eq \f(1,9)，则A与B都发生的概率可能为( )A.eq \f(8,9) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,9)答案 D解析 因为A，B是相互独立事件，设A不发生的概率为x，B不发生的概率为y，则xy＝eq \f(1,9)，0Qn；当n＝3k＋1(k∈N*)时，Pn＝Qn；当n＝3k＋2(k∈N*)时，Pn
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