2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第三章 §3.8　隐零点与极值点偏移问题　培优课

§3.8　隐零点与极值点偏移问题题型一　隐零点问题导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．例1　(2022·扬州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．(1)解　f′(x)＝eq \f(1,x)－a＝eq \f(1－ax,x)(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,a)，所以当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．(2)证明　设函数φ(x)＝ex－2－ln x(x>0)，则φ′(x)＝ex－2－eq \f(1,x)，可知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又由φ′(1)0知，φ′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x0，且10，即不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．思维升华　零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．跟踪训练1　(2022·淄博模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,a)x2＋ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,a)))x(a≠0)．(1)当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)g(1)＝0，所以ln t－eq \f(2t－1,t＋1)>0，故x1＋x2>2.课时精练1．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,x)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围．解　(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，由已知f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)－eq \f(1,x2)＝－eq \f(ln x,x2)，当01时，f′(x)0，g′(x)0，所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增．又h(1)＝0，因此h(t)>h(1)＝0.于是当t>1时，有ln t>eq \f(2t－1,t＋1).所以ln x1＋ln x2>2成立，即x1x2>e2得证．