2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第三章 §3.7　利用导数研究函数零点

§3.7　利用导数研究函数零点题型一　数形结合法研究函数零点例1　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x＋2)，即eq \f(1,a)＝eq \f(x＋2,ex)，所以函数y＝eq \f(1,a)的图象与函数φ(x)＝eq \f(x＋2,ex)的图象有两个交点，φ′(x)＝eq \f(－x－1,ex)，当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)0)，f′(x)＝eq \f(x2－xln 2,2x)(x>0)，令f′(x)>0，则00)，则g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)(x>0)，令g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＝0，得x＝e，当0e时，g′(x)e时，g(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，又g(1)＝0，所以00，h(x)单调递增，当x∈(－2,1)时，h′(x)0，h(x)单调递增，又当x→－∞时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)0且g(x)→0，作出函数g(x)＝eq \f(ln x＋1,ex)的图象如图所示．结合图象知，当a>eq \f(1,e)时，f(x)无零点，当a≤0或a＝eq \f(1,e)时，f(x)有1个零点，当00，所以eq \f(x2－a,sin x)－2＝0可转化为x2－a－2sin x＝0，设g(x)＝x2－a－2sin x，则g′(x)＝2x－2cos x，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，g′(x)>0，所以g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cos x，此时h′(x)＝2＋2sin x>0，所以g′(x)在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，又 g′(0)＝－20，所以存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))使得g′(x)＝0且x∈(0，x0)时g(x)单调递减，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(π,2)))时g(x)单调递增．综上，对于连续函数g(x)，当x∈(0，x0)时，g(x)单调递减，当x∈(x0，π)时，g(x)单调递增．又因为g(0)＝－a0，即a