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2022年山西省吕梁市高考数学二模试卷（理科）（含答案解析）

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这是一份2022年山西省吕梁市高考数学二模试卷（理科）（含答案解析），共17页。试卷主要包含了9LB，9974，0，【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

2022年山西省吕梁市高考数学二模试卷（理科）

设全集，集合，，则

A. B. C. D.

已知复数，则

A. B. C. D.

如图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额单位：万元的折线图．
根据该折线图判断，下列结论正确的是

A. 为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠
B. 为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠
C. 投资额与年份负相关
D. 投资额与年份的相关系数

为得到函数的图象，只需将函数的图象

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和10cm，高为“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装

A. B. C. D.

函数的部分图象大致为

A.
B.
C.
D.

已知点F为抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．若AB中点的纵坐标为2，则

A. 6 B. 7 C. 9 D. 10

在中，，E是AD上一点．若，则

A. B. C. D.

已知球O的直径为8，平面截球O得截面圆为圆M的圆心，圆M的面积为，平面截球O得截面圆为圆N的圆心，圆M和圆N的相交弦若二面角的大小为，则圆N的面积为

A. B. C. D.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BD为AC边上的中线，，且，则的面积为

A. 2 B. C. D.

已知，则一定成立的是

A. B. C. D.

已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，和的内心分别为M，N，则的取值范围是

A. B. C. D.

______.
已知的展开式中的系数是，则______.
已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是______.
在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，他每次射击相互独立，且击中的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则______.
已知为数列的前n项和，且；数列是各项均为正数的等差数列，，4，成等比数列，且
求数列和的通项公式；
若，证明：
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，点E在PC上，且
证明：平面BDE；
求二面角的正弦值．

某厂新开设了一条生产线，生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10件产品，监测各件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：

求表数据的平均数和方差；
若认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布如果出现了之外的零件，就认为生产过程出现了异常，需停止生产并检查设备．
下面是另一天抽检的核心指标数据：

用中的平均数和标准差s作为和的估计值和，利用和判断这天是否需停止生产并检查设备；
假设生产线状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则，，

已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点
求椭圆C的方程；
直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为，直线OB的斜率为，且，求的取值范围．
已知函数
当时，讨论函数的单调性；
若，求ab的最大值．
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
求曲线C和的直角坐标方程，并分别说明表示什么曲线；
若点A为曲线C上的动点，点B为曲线上的动点，点M为和A的中点，求的最小值．

已知函数
当时，解不等式；
若恒成立，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：全集，集合，
或，又，

故选：
由已知直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．

2.【答案】C

【解析】解：，

故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】解：因2009年之前与2010年之后投资额变化较大，故为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠，所以A错误，B正确；
随年份的增长，投资额总体上在增长，所以投资额与年份正相关，，故CD错误．
故选：
根据折线图数据变化趋势，结合回归分析思想即可逐项判断．
本题考查了折线图，回归分析，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】解：因为，
所以要得到函数的图象，
只需将函数的图象向右平移个单位长度．
故选：
根据三角函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于基础题．

5.【答案】C

【解析】解：由台体的体积公式可知，
，，
故选：
根据台体的体积计算公式即可计算．
本题主要考查台体体积的计算，属于基础题．

6.【答案】B

【解析】解：函数的定义域为R，
，可得为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项C；
，排除选项A；
可得，即，可得，
，可排除选项
故选：
首先判断的奇偶性，可得图象的对称性，再求得的零点，计算与1的关系，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．

7.【答案】D

【解析】解：直线AB的方程为，设点，，线段AB的中点为M，
由，消去x得，，可得，，

故选：
设出AB坐标，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解t，然后推出，利用抛物线的性质求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．

8.【答案】A

【解析】解：如图所示，设，
则，
又，
，

故选：

根据图形可设，从而得到，根据已知条件，即可求出的值．
本题考查了向量的线性运算，是基础题．

9.【答案】D

【解析】解：如图，由题意可知，，，，
设D为AB中点，则，，

故，，
又，，故，
圆N的半径，
圆N的面积为
故选：
作出图形，设D为AB中点，根据几何关系求出球心到圆M的距离，求出大小，从而可求大小，求出ON，在中即可求得圆N半径
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．

10.【答案】C

【解析】解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由余弦定理可得b²²²，即得a²²，
因为，
所以²²²，即得²²，
解得，
所以，
故选：
由正弦定理整理可求得B，利用余弦定理得到a，c的方程，再利用三角形中线向量定理得到a，c的另一个方程，联立求得ac，进而根据三角形面积公式即可求得三角形面积．
本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用，三角形中线向量定理，考查学生转化问题的能力，计算能力，属于中档题．

11.【答案】B

【解析】解：令，
则，
在上单调递增，
，
，
①，故B正确，C错误；
又，即，
②，故A错误，
由①②得，
若，即时，；
若，即时，；故D错误，
综上所述，只有B正确，
故选：
令，求导分析知在上单调递增，问题转化为与，与，与的大小关系，分析可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】A

【解析】解：记边、、上的切点分别为R、S、T，
有M、T横坐标相等，则，，，
由，
即，得，
即，记M的横坐标为，则，
于是，得，
同样内心N的横坐标也为a，则有轴，
设直线AB的倾斜角为，则，，
在中，，
由双曲线的离心率为即，
可得，
由于直线AB为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
可得，即，
可得的范围是
故选：
利用平面几何图形的性质可得M、N的横坐标相等为a，得到轴且过双曲线右顶点E，设AB的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的内心的概念和切线长定理，三角函数的化简和求值，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．

13.【答案】

【解析】解：

故答案为：
由已知利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

14.【答案】2

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的系数为，解得，
故答案为：
求出展开式的通项公式，令x的指数为3建立方程，由此即可求出a的值．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

15.【答案】29

【解析】解：等差数列中，，
则，，，
所以，，
则满足的正整数
故答案为：
由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，

，
，当时，最大，

故答案为：
根据相互独立事件同时发生的概率公式，利用导数求出的最大值，由此求出
本题考查了概率的计算问题，也考查了相互独立事件概率计算公式等知识，是中档题．

17.【答案】解：由，，得，分
由，
得，，分
所以，
所以，分
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故分
设数列的公差为d，
由，4，成等比数列，，得，得分
又的各项均为正数，故，
所以分
证明：由可知，
故分
当时，；分
当时，，故，分
所以分

【解析】求出首项，推出数列是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式，设数列的公差为d，由，4，成等比数列，，求解公差，然后推出通项公式．
推出利用放缩法推出，然后求解数列的和，即可推出结果．
本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，放缩法的应用，是中档题．

18.【答案】证明：如图，连接AC，交BD于点F，连接

由，，所以
又，所以，故
又平面BDE，平面BDE，所以平面
解：不妨设，
则
以D为坐标原点，分别以直线DA，DB为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系

所以
设为平面PBC的一个法向量，则有
可取
设为平面CPD的一个法向量，则有
可取，
所以
所以，
所以二面角的正弦值为

【解析】连接AC，交BD于点F，连接EF，由，得到，再由，得到，进而得到，利用线面平行的判定定理证明；
以D为坐标原点，分别以直线DA，DB为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量和平面CPD的一个法向量，由求解．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．

19.【答案】解：由数据表，得，

由可知，
所以，，
表中第9个数据，故这天需停止生产并检查设备．
抽取一个零件尺寸在之内的概率为，
所以抽取一个零件其尺寸在之外的概率为，
故，
所以
X的数学期望为

【解析】由均值和方差的计算公式可得所求值；
正态分布的原则可得结论；由正态分布的概率分布推得，再由对立事件的概率和期望公式可得所求值．
本题考查一组数据的均值和方差，正态分布的概率的特点，考查运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：由题意，，又，解得
所以椭圆C为
设，，
若直线l的斜率存在，设l为，联立，
消去y得：，，
则，又，
故且，即，则，又，，
所以，
整理得，则且恒成立．
，
又，且，故
当直线l的斜率不存在时，，，又，又，解得，则
综上，的取值范围为

【解析】由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程；
讨论直线斜率的存在性，设，及l为，联立椭圆方程，应用判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．

21.【答案】解：当时，，定义域为，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
由，得，故
设点为上一点，，
则在点处的切线为
设，则，
当时，，当时，，
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
故，所以
令，
则，设，分，
当时，，当时，
故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
故，所以ab的最大值为

【解析】求出函数的定义域，求解导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
由，得设点为上一点，，求出切线方程，设，利用函数的导数判断函数的单调性，推出令，得到，构造函数，通过函数的导数求解函数的单调性，然后求解最值即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．

22.【答案】解：由，，，
得，所以，即；
所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆．
由，得，所以曲线是一条直线．
曲线C的参数方程为为参数，设
又点M为和A的中点，
所以
对于每一个确定的点M，M到直线：的距离，
又，，
所以当时，d取得最小值，故的最小值为

【解析】首先利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

23.【答案】解：当时，
当时，，解得；
当时，恒成立；
当时，，解得
综上，当时，不等式的解集为
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
解得或
故实数a的取值范围为