2022年江西省萍乡市高考数学二模试卷（理科）（含答案解析）

2022年江西省萍乡市高考数学二模试卷（理科）

1. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

2. 复数z满足，则的最大值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. 北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．如图是年我国已投入运营的室内滑雪场数量家与同比增长率与上一年相比的统计情况，则下面说法错误的是
    

A. 年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势
B. 年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快
C. 年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底
D. 年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长

4. 等比数列中，，，则

A.  B. 2 C. 4 D. 8

5. 若函数的图象在点处的切线斜率为3，则

A.  B.  C. 1 D. 2

6. 在中，AD为BC边上的中线，E在线段AD上，，则

A.  B.  C.  D.

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 3
B. 2
C. 1
D.
 

8. 函数，若，，则的范围是

A.  B.  C.  D.

9. 抛物线C：的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

10. 高尔顿钉板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块如图所示，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线左顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 正方体棱长为2，动点P在线段上含端点，以下结论不正确的为

A. 三棱锥的体积为定值
B. 过P，B，三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C. 当点P和重合时，三棱锥的外接球体积为
D. 直线PD与面所成角的正弦值的范围为

13. 若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______.
14. 在的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为______结果用数字作答
15. 已知函数，等差数列满足，则______.
16. 若函数的最小值为，则函数的最小值为______.
17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②；③；④
    题干中的③与④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
    请选择一组使有解的三个条件，并求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在五面体ABCDE中，已知平面BCD，，为正三角形，且
    求证：平面平面ABC；
    求二面角的余弦值．
    
     

19. 若四点恰有三点在椭圆上．
    求椭圆T的方程；
    动直线与椭圆交于E，F两点，EF中点为M，连其中O为坐标原点交椭圆于P，Q两点，证明：
    
    
    
    
    
    
     
20. 为庆祝建党一百周年，某卫视开展了“学党史”知识竞赛答题活动，每位参赛嘉宾共需要回答且次答题，以获得扶贫基金．若每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，且各次答题相互独立．规定第一次答题时，若回答正确得200元，回答错误得100元．第二次答题时，设置了两种答题方案供参赛嘉宾选择．方案一：若回答正确得500元，回答错误得0元；方案二：若回答正确则获得上一次获得答题基金的两倍，回答错误得100元．从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束．
    如果，参赛嘉宾甲应该选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；
    记参赛嘉宾甲第i次获得的基金为，期望为，且选择方案二．记，请直接写出用表示的表达式，并求
    参考数据：，
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    求在上的值域；
    若函数，试讨论的零点个数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
    求曲线C的极坐标方程；
    若A，B是曲线C上的两点，且，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
解不等式；
若不等式恒成立，求实数a的取值范围．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由，
，
，
，

故选：
先化简集合A，B，再求出，由交集的运算，即可求得答案．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：因为，
所以复数z所对应的点在以为圆心，以1为半径的圆上，
则的最大值即求圆上点到原点距离的最大值，根据圆的性质可知，所求最大值为
故选：
结合复数的几何意义及圆的性质即可求解．
本题主要考查了复数的几何意义及圆的性质，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由柱状图可知，
年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势，
由折线图可知，
年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底，
在2018年首次出现正增长；
故选项B说法错误；
故选：
根据图形分别分析年我国已投入运营的室内滑雪场数量与同比增长率，从而判断即可．
本题考查了数据分析能力，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：等比数列中，，，
，
解得，

故选：
利用等比数列的通项公式直接求解．
本题考查等比数列的第3项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：由函数，得
，
函数的图象在点处的切线斜率为3，则，
，
故选：
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，列出方程求解即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，导数的几何意义，是基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：
，
故选：
由题意知
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为1和2的直角三角形，高为3的三棱锥
如图所示：

故
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：作出函数的图象如图，

，，
，即，；
由，得，
则，

故选：
画出分段函数的图象，由已知结合对数的运算性质求得，再求出c的范围，进一步求得的范围．
本题考查分段函数的应用，考查对数的运算性质，考查数形结合思想，是中档题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为
由抛物线的方程可得焦点，
则，解得，
所以，
所以点A关于直线的对称点为，
故，
当且仅当，P，F三点共线时，等号成立，
即的最小值为
故选：
不妨设A为第一象限内的点，坐标为，由抛物线的定义可得，解得A点的坐标，设点A关于直线的对称点为，由对称性可得，即可得出答案．
本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：由题意小球知小球落到第⑤个格子的概率为：

故选：
利用独立重复试验概率计算公式能求出小球落到第⑤个格子的概率．
本题考查概率的求法，考查独立重复试验概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：如图，
设双曲线的一条渐近线方程为，
联立，解得，，
，且轴，
，，
，，则，
，，
得，即
故选：
由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P，Q的坐标，得到，，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又，

易证平面，故到平面的距离为，
故三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，故A正确；
对于B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，故B正确；

当点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
故外接球的半径为，故外接球的体积为，故C正确；
设点P到平面的距离为h，
由，又，知点P到平面的距离，
当P在线段上运动时，，
当点P为线段的端点时，，
设直线与平面所成角为，，故D错误；
故选：
A用等体积法求体积判断；B作出截面图形可判断；C点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，由此可判断；D把问题转化为线段最值问题即可．
本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线面角计算和体积计算问题，以及线面角的正弦值的求法，属中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
令，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】18
 

【解析】解：先在个格选一个放白球，方法数有9种，
再放2个黑球，方法数有2种，
所以不同的放法数有种．
故答案为：
先放白球，然后放黑球，结合分步乘法计数原理求得正确答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：因为函数，
所以，
所以，
因为数列为等差数列，，
所以……，
即，，
……
故……，
所以，
故答案为：
根据的解析式可得，结合等差数列的性质计算可得结果．
本题考查了函数与数列的综合，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，
记，则，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以当时，，
此时，，
所以的最小值为，
故答案为：
，记，求导分析单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：，即，分
又，由余弦定理知，即分不符合，
所以③④两个条件不可以同时成立；分
若选择①②③，由可知，由，，
则，分
所以，分
若选择①②④，由，代入④得，分
由可知，则分
 

【解析】利用余弦的倍角公式求出A的值，再由余弦定理求出B的值，由此即可判断求解；选择①②③：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选择①②④：利用已知求出c的值，再由的结论以及三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，涉及到求解三角形面积问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：取BC中点M，AB中点N，
连接DM，MN，EN，
且，又，，
，且，
所以四边形MNED是平行四边形，
，且，
又平面BCD，平面ABC，
平面平面BCD，
又，，
又平面平面，平面BCD，平面ABC，又，
平面ABC，又平面ABE，
所以平面平面ABC；
由知，，且，平面ABC，平面平面ABC，
以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，，
则，，
设平面BDE法向量为，则，取，
又，则，又平面平面，平面ABC，
所以平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，
，
显然二面角为钝角，故其余弦值为
 

【解析】将面面垂直证明转化成线面垂直证明；
将二面角转化成两半平面法向量的夹角，再用向量夹角公式求解．
本题考查面面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．
 

19.【答案】解：由于，，两点关于原点对称，必在椭圆上，
则，且，
所以必在椭圆上，即有，，
所以椭圆；
证明：设，，联立，得，
则，，
，则，
联立，，
，
，

 

【解析】根据椭圆的对称性可得点、在椭圆上，结合点在椭圆上列出方程组，解之即可；
设、，联立动直线和椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出、，进而求出点M的坐标；联立直线和椭圆方程求出点P、Q的坐标，求出弦长MP，MQ，ME，MF，对，分别计算化简即可．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：若甲第2次答题选方案一，记两次答题累计基金为，
则可能取700，600，200，100，
，
，
，
，
则累计基金的期望，
若甲第2次答题选方案二，记两次答题累计基金为，
则可能取600，300，200，
则，
，
，
则累计基金的期望，
因为，所以应选择方案一；
依题意得，
的可能取值为200，100，其分布列为：

所以，
则，由得：，
所以为等比数列，
其中首项为，公比为，
所以，故，
元．
 

【解析】分别计算出甲2次答题选方案一和方案二的期望，比较大小即可；依题意找到的分布列和期望，进而得到为等比数列，利用等比数列求和公式求解即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

21.【答案】解：，
当时，单调递增；当时，单调递增；故在上单调递增，，即的值域为；分
，
 ①当，即时，在递减，在递增，，即有唯一的零点；分
 ②当，即时，在递增，在递减，，即有唯一的零点；分
③当，即时，有两根和，其中在和递增，在递减，，
当，即时，在有一个零点，在有一个零点，即有两个零点；分
当，即时，在无零点，在有一个零点，即有唯一零点；分
④当时，，恰有一个零点；分
 ⑤当，即时，有两根和，其中，
在和递增，在递减，
当，即时，在有一个零点，在无零点，即有一个零点；分
当，即时，在有一个零点，在有一个零点，即有两个零点；分
综上所述：或或，存在一个零点；
时或时，存在两个零点．分
 

【解析】求出导函数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，推出结果．
求出，通过 ，，，，时时，利用函数的单调性，判断函数的零点个数，推出结果．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数零点个数的判断，是难题．
 

22.【答案】解：由参数方程可得；
两式相乘得普通方程为，
故曲线C的极坐标方程为，即
因为，所以可设，，
；
故当且仅当时，的最小值为
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：，分
当时，，则，分
当时，，则，分
当时，，则，分
综上，分
法一：令
当时，，，，故不合题意；分
当时，如图所示，为，的图象，恒过定点，
故恒成立，又，则…………分
法二：当时，为，显然成立，；……分
当时，化为，……………………分
令，则，分
当且仅当且时等号成立．，分
综上知：分
 

【解析】利用零点分区间法去绝对值，解不等式即可；
法一：令，分和两种情况讨论，利用数形结合法即可求解；
法二：当时，不等式显然成立；当时，参变量分离可得，令，求出的最大值即可求解a的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．