山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷及答案

山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．设，则复数在复平面内对应的点为（　　）

A． B． C． D．

3．已知向量，且，则实数（　　）

A．-1 B． C．1 D．

4．已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的2倍，则（　　）

A． B． C． D．2

5．若，则（　　）

A． B．0 C．1 D．

6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

7．将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若恰好在函数的图像上，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

8．若的展开式中的系数为35，则正数（　　）

A． B．2 C． D．4

9．已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

10．某车间加工某种机器的零件数（单位：个）与加工这些零件所花费的时间（单位：min）之间的对应数据如下表所示：

由表中的数据可得回归直线方程，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（　　）

A． B． C． D．

11．已知实数满足，给出下列结论：

①；②；③；④.

则所有正确结论的序号为（　　）

A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④

12．已知数列满足，，记的前项和为，的前项和为，则（　　）

A．-5409 B．-5357 C．5409 D．5357

二、填空题

13．设满足约束条件则的最大值为　     　.

14．若直线是曲线的一条切线，则实数　     　.

15．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点（点在轴上方），过分别作的垂线，垂足分别为，连接.若，则直线的斜率为　     　.

16．三棱锥的平面展开图如图所示，已知，若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为　     　.

三、解答题

17．在中；内角的对边分别为，已知.

（1）求A；

（2）若，点为的中点，求的最大值.

18．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）点在线段上，若，求二面角的余弦值.

19．足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮了）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望：

（2）现有甲､乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出的概率；

（ii）求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的概率.

20．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）证明：.

21．已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）点关于原点的对称点为点B，与直线AB平行的直线与交于点，直线与交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程；

（2）设与交于两点，若，求的直角坐标方程.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，，求的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】A

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】D

12．【答案】B

13．【答案】15

14．【答案】-1

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：在中，由正弦定理得.

因为，所以.

又，所以，所以.

因为中，，所以.

（2）解：在中，由及余弦定理，

得，

所以，所以，当且仅当时等号成立.

又点为的中点，所以

，

所以，

即AD的最大值为.

18．【答案】（1）证明：因为矩形中，为的中点，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以.

因为，

所以平面BDM.

因为平面BDM，

所以，又，

所以平面.

（2）解：由（1）知两两相互垂直，所以以D为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，令，连接，

则，

所以.

设平面的一个法向量为，

则，得，

所以，令，得，所以，

由（1）知是平面的一个法向量，

所以，

故二面角的余弦值为.

19．【答案】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，

门将在前三次扑出点球的个数的可能取值为.

，

，

则X的分布列为

X的数学期望.

或（易知）.

（2）解：（i）记事件“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出"为事件A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进3个点球，对应的概率为

（ii））记“点球大战在第6轮结束，且乙队以（不含常规赛和加时赛得分）胜出”为事件B，意味着前5轮结束后比分为，第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为

20．【答案】（1）解：函数，定义域为，

（i）当时，单调递增；

（ii）当时，时，单调递减；

时，单调递增，

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）证明：由（1）知，当时，，且，

所以，

因为，所以不等式等价于，

令，则在时恒成立，

所以当时，，

又，所以，

故，即.

21．【答案】（1）解：由题意得，解得，

所以椭圆的方程是.

（2）解：点是在定直线上，理由如下，

由（1）知，设，

，将的方程与联立消，得，

则，得且，且，

因为，

所以直线的方程为，即，

直线的方程为，即，

联立直线与直线的方程，得，

得，

所以

所以点在定直线上.

22．【答案】（1）解：因为的参数方程为（为参数），所以消去参数可得的直角坐标方程为，即，

又，所以的极坐标方程为.

（2）解：由于与交于两点，联立得，

设两点所对应的极径为，则，

故，

整理得，则，

所以的直角坐标方程为.

23．【答案】（1）解：当时，；

当时，，解得：，；

当时，，解得：，；

当时，，解得：，；

综上所述：不等式的解集为.

（2）解：当时，，即；

①当时，，即恒成立；

，解得：；

②当时，，即恒成立；

，不等式组解集为；

综上所述：实数的取值范围为.