2023年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（理科）-普通用卷

2023年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，两个区域分别对应集合，，其中，则阴影部分表示的集合为(    )

A.
B.
C.
D.

2.  若复数满足是虚数单位，的共轭复数是，则的模是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列命题中错误的是(    )

A. 命题“”的否定是“，”
B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
C. “两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D. 若“或”为假命题，则，均为假命题

4.  已知，，执行如图所示的程序框图，输出的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  若，则(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知等差数列满足，则可能取的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  “寸影千里”法是周髀算经中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天如夏至的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为寸的标杆与，与的差结合“寸影千里”来推算，两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，，两地的距离大约为(    )

A. 里 B. 里
C. 里 D. 里

8.  已知直线：和圆：满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知直线：经过椭圆：的左焦点，且直线与轴交于点，与椭圆在第一象限内交于点若，则椭圆的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足若将的图象向左平移个单位得到的图象对应的函数为，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点，(    )

A. 的最小为
B. 若平面，则
C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D. 若为线段的中点，且，则

12.  已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制转化二进制位若将正整数对应的二进制中的个数记为，例如，，则，，，则下列结论正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  二项式的展开式中，常数项的值为______．

14.  冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇、滑冰、滑雪、冰球个大项，现有甲、乙、丙三名志愿者，设表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者”，表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，则 ______ ．

15.  已知直线：，定点，是直线上的动点，若经过点，的圆与直线相切，则这个圆的面积的最小值为______ ．

16.  在三角形中，，，为的中点，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
记为数列的前项的和，已知，是公差为的等差数列．
求数列的通项公式；
令，记数列的前项和为，试求除以的余数．

18.  本小题分
某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为，．
若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
已知，则：
，取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
在第问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？

19.  本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的正三角形，顶点在底面的投影为的中点，已知与底面内所有直线所成角中的最小值为，为棱上一点．
求三棱锥的体积；
若，求二面角大小的正弦值．

20.  本小题分
已知双曲线：过点，且渐近线方程为．
求双曲线的方程；
如图，过点的直线交双曲线于点、直线、分别交直线于点、，求的值．

21.  本小题分
已知函数，，．
判断的单调性；
若有唯一零点，求的取值范围．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
写出曲线的参数方程；
设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求，之间距离的最大值．

23.  本小题分
已知，，．
证明：；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则阴影部分表示的集合为：
．
故选：．
求出集合，阴影部分表示的集合为．
本题考查交集、补集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
所以，，
所以．
故选：．
首先根据题意得到，再求的模长即可．
本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，命题“”的否定是“，”，故A正确；
对于，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；
对于，若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；
对于，若“或”为假命题，则，均为假命题，故D正确．
故选：．
利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及的真假进行判断．
本题考查命题的否定与否命题的概念以及复合命题的真假判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据程序框图可知，执行程序输出的结果是，，三个数中的最小值．
因为，，，
所以，所以输出的值为．
故选：．
根据程序框图比较，，的大小，输出三个数中的最小值．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而求解．

【解答】

解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：设，，
则，
所以．
故选：．
根据题意，令，，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
则，，
，
按照“寸影千里”的原则，，两地的距离大约为．
故选：．
根据已知条件，结合三角形的性质，求出，，将二者作差，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：圆的标准方程为，
圆心为，半径为，
对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，
直线与圆相切或相离，
，解得．
故选：．
分析可知直线与圆相切或相离，可知圆心到直线的距离不小于圆的半径，可得出关于实数的不等式，解之即可．
本题考查直线与圆的位置关系，不等式思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设椭圆的右焦点为．

因为直线的斜率是，所以，
所以．
因为，所以．
在中，由余弦定理可得，则．
由椭圆的定义可得，
则椭圆的离心率．
故选：．
根据直线可得，从而确定，利用余弦定理与椭圆定义可得，即可求得椭圆的离心率．
本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
所以，又，所以，
所以，
图象与轴的交点为，
则，所以，
又，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
因为，
所以，即，又，解得，
所以，将的图象向左平移个单位，
得到的图象对应的函数为，
所以，故B，，D错误．
故选：．
根据图象，利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：平面，，，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，故A错误；
在正四面体中，平面，，则点为正四面体内切球的球心，，
，设正四面体内切球的半径为，因为，
，解得，故，故B错误；
设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，
解得，则三棱锥外接球的表面积为，故C错误；
，
设则，
，所以，则，解得，故，故D正确．
故选：．
利用正四面体的性质，逐项计算判断即可．
本题考查空间几何体的性质，以及利用向量法解决几何问题的方法，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设正整数其中个系数，其中
则正整数的二进制系数和也是正整数的二进制系数中的个数，正整数的二进制系数中的个数为，
，
，
，故B错误；
，
的二进制系数中的个数为，
的个数，故A错误；
，
的二进制系数中的个数为，
而，
的二进制系数中的个数为，
，
故的二进制的系数中的个数为
，故C正确；
，系数和，
的二进制中的个数为，故D错误．
故选：．
根据题意，设正整数，得到正整数的二进制系数和，及正整数的二进制系数中的个数为，进而逐项判定，即可求解．
本题主要考查进位制，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由二项式的展开式的通项为，
令，
解得：，
即常数项的值为，
故答案为：．
由二项式定理及展开式通项公式得：常数项的值为，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：冬奥会设有个大项，有甲、乙、丙三名志愿者，则每人可有种选择，共有种选择，
对事件：
若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，则，
对于事件：
若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者，
甲不能选雪车，则甲有种选法，乙有种选法，丙有种选法，共种，
但甲不选雪橇，则乙就有可能选雪橇，则要减去乙选雪橇，甲从剩下的种选，丙依然有种选择，共种，
则，
则．
故答案为：．
通过条件概率的公式与求法分析求解即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，设圆的圆心为，则圆心到的距离等于到直线的距离，
故的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
当点与原点重合时，半径最小为，
此时，圆心到直线的距离为，
直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为．
故答案为：．
确定的轨迹为抛物线，抛物线方程为，当点与原点重合时，半径最小为，计算得到面积．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，，设，
由，得，
整理得，，

点的轨迹方程为，
当与圆相切时，最大，记圆心为，此时，，
．
故答案为：．
以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，可得点的轨迹方程为，可得与圆相切时，最大，进而可求的最大值．
本题考查利用坐标法解三角形，考查数形结合思想，考查转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：由，是公差为的等差数列，可得，
即，
则时，，
当时，符合上式，
所以，；
，
则数列的前项和为，
，
所以除以的余数为． 

【解析】由等差数列的通项公式和数列的递推式，计算可得所求通项公式；
由等比数列的求和公式和二项式定理，结合整除概念可得所求余数．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及二项式定理的应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：每小组投进的次数之和不少于次的称为“神投小组”，
则可能的情况有甲投中一次，乙投中两次；甲投中两次，乙投中一次；甲投中两次，乙投中两次；
，，
他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为；
由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率
，
，，
又，，则，
令，则，

在上单调递增，则，
此时；
他们小组在轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足，
，则，
平均要进行轮游戏． 

【解析】可能的情况有甲投中一次，乙投中两次；甲投中两次，乙投中一次；甲投中两次，乙投中两次，利用已知计算可求概率；
由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率，可求最大概率；
他们小组在轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足，可求的值．
本题考查离散型随机变量的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
 

19.【答案】解：在三棱柱中，为在底面投影，
面，面，
又为中点，，，
，因为与底面内所有直线所成角中的最小值为，且面，
，，
；
以为原点，，，为，，轴，如图，

可得：可得，
又因为，所以，
所以．
设为平面的一个法向量，
令，则；
设为平面的一个法向量，
令，则．
所以，
则二面角大小的正弦值为，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】根据，利用锥体的体积公式即可求解．
以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出面，法向量，由空间向量法即可求解．
本题考查空间立体几何的体积，及利用向量法解决空间二面角的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，
代入点，即，
故双曲线的方程为；
由双曲线的方程为的方程可得，
由题意可得点，则有：
当直线与轴垂直时，则，
可得直线，令，则，
即点，
同理可得：点，
故，即；
当直线不与轴垂直时，设直线：，，，
联立方程，消去得，
则，
可得直线，
令，则，
即点，
同理可得：点，
，
即点，关于轴对称，故，即；
综上所述：的值为． 

【解析】根据渐近线方程设双曲线的方程为，代入点，运算求解即可得结果；
设：，，，根据题意求点，的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与轴垂直．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 

21.【答案】解：定义域为，
记，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
故，
，
在上单调递增．
定义域为，，
当时，有唯一零点，符合题意；
当时，，当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
故，
若，则，无零点，不符题意；
若，有唯一零点，符合题意；
若，则，又，时，，，，，
故在内各有一个零点，函数有两个零点，不符题意；
当时，当时，，
当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
又，时，
令，
，
令，
，
即在单调递增，故，
故在单调递增，则，
所以，故，则，
故此时在上有唯一零点，符合题意；
综上，的取值范围为． 

【解析】求出函数的导数，判断其正负，即可确定函数单调性．
求出函数的导数，对分类讨论，判断函数单调性，结合函数最值以及零点存在定理判断函数零点个数，综合即可求得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查分类讨论思想以及运算求解能力，解答本题第二问根据零点的个数求参数的范围时，综合性较强，计算量大，求出函数的导数后，对分类讨论，判断函数的单调性，结合导数知识以及零点存在定理，判断零点个数，即可解决问题．
 

22.【答案】解：根据曲线的极坐标方程为可得，，即，
所以曲线的直角坐标方程为，
根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线的参数方程为，为参数；
由曲线的极坐标方程为可得，
曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径，
由题意可得设，
易知，之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，
即，
由二次函数性质可知，当时，，
所以，之间距离的最大值为． 

【解析】利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程为，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程为，为参数；
根据题意可得，之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次函数性质即可求得最大值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】证明：由，得，
又，所以，当且仅当时等号成立，分
而，
当且仅当时等号成立．
故分
，
当且仅当时等号成立．
故分 

【解析】推导出，，再由，由此能证明．
，由此能证明．
本题考查不等式的证明，考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．