17第八讲 牛吃草问题

这是一份17第八讲 牛吃草问题，共4页。试卷主要包含了 原有的初始工作量是多少等内容，欢迎下载使用。

知识要点与学法指导：
牛吃草问题是英国伟大的数学家牛顿提出来的，因而叫做“牛顿问题”。
“牛顿问题”的难点在于草每天都在生长，草的数量在不断变化。因此，解答这类题的关键是从变化中找到不变的量，即原有的草量和每天新长出的草量。
解题时通常都是把1个个体在1个时间单位内完成的工作量假设为1份，从而逐步弄清：
1. 原有的初始工作量是多少。
2. 每个时间单位均匀增加的份额是多少。
3. 把参加完成工作者分成两部分，一部分解决原始工作量，另一部分解决均匀增长的工作量。
4. 原始工作量完成之时，均匀增长也同时停止。
为帮助同学们正确解答牛吃草问题，在这里把解法步骤编成口诀，帮助大家熟练掌握解题技巧。
牛吃草问题冷静想，关键是找不变量。
1头牛1天吃1份，头数乘天数是总量。
总量、天数各相差，两差相除求生长。
总量去新长是原有草，牛分两路吃草忙。
新草每天要吃光，牛与长量要相当，
余牛去除原有草，吃草天数显真相。
英国著名科学家牛顿在他所著的《普通算术》中有这样一道题：12头牛4周吃草3 EQ \F(1,3) 格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少头牛18周吃完？（格尔是牧场面积单位）
这道题粗看好像与我们平时做的几头牛吃一堆干草的题没什么区别，但再仔细想一想，你就会发现它们大不一样：几头牛吃一堆干草，干草的总量是不变的。这道题中牛吃的却是牧场上的青草，它们每天都在不断地生长，也就是青草的总量在不断地变化。像这样的问题我们称为“牛顿问题”，也叫“牛吃草问题”。
解答这类问题的关键是把一头牛一周吃的青草量看成一份，通过两组条件的比较，求出每周新长的草量，然后把牧场的草分成原有的草和新长的草两部分，相应地把牛也分成两部分，让一部分牛去吃新草，一部分牛去吃原有的草，从而使问题得以解决。
例1 牧场上有一片青草，每天都在匀速生长，这片青草可供21头牛吃8周，可供18头牛吃12周，可供20头牛吃几周？
【分析与解】
假设一头牛一周吃草量为1份，21头牛8周吃草量为21×8＝168（份），18头牛12周吃草量为18×12＝216（份），两组条件进行比较发现：这些牛吃的都是同一个牧场上的青草，而最终的吃草总量却不一样，原因就在于所用时间不同，导致新长的青草总量不同。由此可知每周新长的青草总量为：（216－168）÷（12－8）＝12（份），原来牧场上的青草量为：168－12×8＝72（份）或216－12×12＝72（份），根据每周新长青草量12份，我们可安排12头牛去吃，其余的（20－12）头牛去吃原有的青草。这样，就可求出所用的时间，具体解答过程如下：
设一头牛一周吃草量为1份
（1）每周新长的青草量为：
（18×12－21×8）÷（12－8）＝12（份）
（2）牧场上原有的青草量为：
21×8－12×8＝72（份） 或 18×12－12×12＝72（份）
（3）20头牛吃的时间：
72÷（20－12）＝9（周）
答：可供20头牛吃9周。
试一试1
一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
例2 一片牧场，可供27头牛吃6天，如果放牛23头，则可吃9天，如果牧场上的草都在匀速生长，可供多少头牛吃12天？
【分析与解】
此题与上一题的区别在于一个求的是时间，一个求的是牛的头
数，解题思路一样。
设一头牛一天吃的青草量为1份
（1）每天新长的青草量：
（23×9－27×6）÷（9－6）＝15（份）
（2）原有的青草量：
27×6－15×6＝72（份） 或 23×9－15×9＝72（份）
（3）原有的青草量可供12天吃的牛的只数：
72÷12＝6（头）
（4）每天新长的青草量为15份，相当于可供15头牛吃一天，这块草地可供牛的只数：
15＋6＝21（头）
答：可供21头牛吃12天。
通过上面的例题我们可知，用数学知识去解决生活中的实际问题时，可以把一种量分成几部分后分别去研究，然后再综合起来，这样可使问题简单化。
试一试2
牧场里的草能够供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，如果牧场上的草每天都在匀速生长，可供多少头牛吃5天？
例3 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，如果牧场上的草可供25头牛吃6天，或可供20头牛吃7天，可供多少头牛吃10天？
【分析与解】
此题与前两题的不同之处在于牧场上的青草在不断地减少，但解题思路相同。
设每头牛每天吃青草量为1份
（1）每天减少的青草量：
（25×6－20×7）÷（7－6）＝10（份）
（2）原有的青草量：
25×6＋10×6＝210（份） 或 20×7＋10×7＝210（份）
（3）可供吃10天牛的头数：
（210－10×10）÷10＝11（头） 或 210÷10－10＝11（头）
答：可供11头牛吃10天。
试一试3
因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
例4 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进入了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？
【分析与解】
该题表面上既不涉及牛，也没提到草，似乎与“牛吃草”问题无关，但这里每小时进入船内的水一样多，所以这里的人舀水可以看成是牛在吃草，即“牛吃草”问题。关键还是要求出发现漏洞时已经进入的水和每小时进入船内的水量。
假设每人每小时舀的水量为1份。
（1）每小时进入船内的水量为：
(5×10－12×3)÷(10－3)＝2（份）
（2）发现漏洞时已进入船内的水量为：
12×3－2×3＝30（份） 或 5×10－2×10＝30（份）
（3）已漏进的水加上2小时漏进的水，需几个人2小时舀完？
(30＋2×2)÷2＝17（人）
答：需要17人。
试一试4
有一眼泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多。如果用10台抽水机20小时可以把水抽干，用15台同样的抽水机，10小时可以把水抽干，那么用30台这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
练习八
1. 牧场上有一片青草，每天都在匀速生长，这片青草可供24头牛吃6周，可供19头牛吃9周，可供18头牛吃几周？
2、牧场上有一片青草，每天都在匀速生长，这片青草可供24头牛吃6天，可供20头牛吃10天，可供19头牛吃几天？
3、 一片牧场，青草每天都在匀速生长，这片青草可供24头牛吃12天，供20头牛吃16天，可供多少头牛吃8天？
4. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，知道这片牧场的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，那么可供11头牛吃几天？
5. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需20分钟，为使15分钟内检票队伍消失，需至少开多少个检票口？
6. 自动扶梯以均匀速度由下向上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？
7.牧场上有一片青草，每天都在匀速生长，这片青草可供20头牛吃15天，或者可供25头牛吃10天。可供多少头牛吃5天？
8．一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
9．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端，男孩用了100秒，女孩用了300秒。问：该扶梯共有多少梯级？
10．一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人舀水，3小时舀完；如5人舀水8小时舀完。如果要求2小时舀完，要安排多少人舀水？
11.由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知草地上的草可供20头牛吃5天，或者可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？