小升初冲刺名校数学拓展——第11节：牛吃草问题

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模块一：牛吃草问题
在牛顿编著的《普通算术》一书中有这样一道题：12头牛4周吃牧草3 格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔，问24格尔牧草多少头牛吃18周吃完？于是，人们又把这类问题称为牛顿问题，表面上看''牛吃草问题。似乎是一个归一问题，只要算出一个量就可以了。其实不然，跟其他的应用题有一个很大的不同，就是牧场上的草每天都在生长，时间越长，新长的草就越多，草的总量也就越多，而草的总量是由两部分组成，一部分是某个时间期限前牧场上原有的的草，一部分则是这个时间期限后牧场上每天新长出的草。原有的草与每天新长出的草，这两个量是固定不变的，因此解题时必须设法先求出这两个不变的量。
【例1】内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？
【例2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供21头牛吃10天，或可供30头牛吃8天，照此计算，可供45头牛吃多少天。
【例3】一片牧场，草每天生长的速度相同，现在这片牧场可供16头牛吃20天，或可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么 10头牛和60只羊一起可以吃多少天？
【例4】红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？
一堆草，可供3头牛和5只羊吃15天，或者5头牛和6只羊吃10天。那么这堆草可供4头牛18只羊吃多少天？【每头牛的食量相同，每只羊的食量也相同】
2.一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么。这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？
3.（7分）有三片牧场，场上的草长的一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是5公顷、15公顷和24公顷。第一片牧场饲养10头牛可以维持30天，第二片牧场饲养28头牛可以维持45天。问再第三片牧场上饲养多少头牛可以维持80天？

模块二：水管问题
【例1】一水池装有两个相同的进水管和一个排水管如果开1个进水管，6小时可将空池灌满；如果开1个进水管和1个排水管，12小时可将空池灌满。现在将2个进水管和1个排水管同时打开，请问：多长时间能灌满整个池子的二分之一？
【例2】日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？
【例3】蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管。单开甲管需要10小时灌满水池，单开乙管12小时灌满水池，单开排水管需要20小时排空水池。上午8点三个管同时打开，中间排水管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：排水管在何时关闭？
从上午8点到下午2点，并不是所有的水管都一直开着．我们可以先把一直
1.一个水池有若干相同的进水管和若干相同的排水管，如果单独打开一个进水管，那么24小时可以将空水池灌满；如果单独打开一个排水管，那36小时可以将满池水排光。请根据题意，回答下列问题：
(1)同时打开2个进水管，多少小时可以将空水池灌满？
(2) 同时打开3 个进水管和1 个排水管，多长时间可以将空水池灌满？
(3) 同时打开1 个进水管和2 个排水管，多长时间可以将满池的水排光？
2.一水池装有两个相同的进水管和一个排水管．如果只开1个排水管，6小时可将一池水排空；如果开1个进水管和1个排水管，3小时可以将空池灌满．现在将2个进水管和1个排水管同时打开，请问：多少时间能将空池灌满？
3.蓄水池有一根进水管和一根排水管．如果想灌满整池水，单开进水管需10小时；如果想排空整池水，单开排水管需15 小时上午6点将两个管同时打开，中间排水管因故关闭，结果到下午6点水池被灌满．问：排水管在何时被关闭？
模块三：其它类型举例
【例1】 广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？
【例2】春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等）
【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩子每分钟走16级楼梯，女孩子每分钟走12级楼梯，结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上，该扶梯共有多少级？
1.(8分)画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个人场口，9点5分就没有人排队，问第一个观众到达时间是8点 分。

2.用2台同样的抽水机抽干一个有泉水的水库需40小时，用3台这样的抽水机抽干这个水库需24小时，试问，若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机多少台？(泉水均匀地向水库渗水)
3.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？
第11节：牛吃草问题参考答案
模块一：牛吃草问题
在牛顿编著的《普通算术》一书中有这样一道题：12头牛4周吃牧草3 格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔，问24格尔牧草多少头牛吃18周吃完？于是，人们又把这类问题称为牛顿问题，表面上看''牛吃草问题。似乎是一个归一问题，只要算出一个量就可以了。其实不然，跟其他的应用题有一个很大的不同，就是牧场上的草每天都在生长，时间越长，新长的草就越多，草的总量也就越多，而草的总量是由两部分组成，一部分是某个时间期限前牧场上原有的的草，一部分则是这个时间期限后牧场上每天新长出的草。原有的草与每天新长出的草，这两个量是固定不变的，因此解题时必须设法先求出这两个不变的量。
【例1】内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？
【解析】 设1头牛一天吃的草为1份。
24头牛12天吃草的总量：1×24×12﹦288（份）
30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份）
每天新长出的草的量：（288－240）÷（12－8）﹦12（份）
这片牧场原有的草量：288－12×12＝144（份）或240－12×8＝144（份）
可供多少头牛吃4天？（144＋12×4）÷4＝48（头）
答：这片牧场可供48头牛吃4天。
【例2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供21头牛吃10天，或可供30头牛吃8天，照此计算，可供45头牛吃多少天。
【解析】设1头牛一天吃的草为1份。
21头牛10天吃草的总量：1×21×10﹦210（份）
30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份）
每天减少的草的量：（240－210）÷（10－8）﹦15（份）
这片牧场原有的草量：210+10×15＝360（份）或240+8×15＝360（份）
可供45头牛吃多少天？360÷（45+15）＝6（天）
答：这片牧场可供45头牛吃6天。
【例3】一片牧场，草每天生长的速度相同，现在这片牧场可供16头牛吃20天，或可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么 10头牛和60只羊一起可以吃多少天？
【解析】设1头牛一天吃的草为1份
① 每天新长出的草量：（16×20-20×12）÷（20－12）=10（份）
② 牧场原有草量：16×20-20×10=120（份）
③ 10头牛和60只羊一起可以吃的天数：120÷（25－10）﹦8（天）
答：可以吃8天。
【例4】红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？
【解析】为解决这个问题，只需要将三块草地的面积统一起来，求5、15、36的最小公倍数180， 因为5公顷草地可供12头牛吃28天，180÷5=36，所以180公顷草地可供12×36=432头牛吃28天，因为15公顷草地可供21头牛吃63天，180÷15=12，所以180公顷草地可供21×12=252头牛吃63天，因为180÷36=5，所以180公顷草地可供5×36=180头牛吃多少天，因为草地面积相同，所以原题可变为：“一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？
解：设1头牛一天吃的草为1份
① 每天新长出的草量：（252×63-432×28）÷（63－28）=108（份）
② 牧场原有草量：252×63-108×63=9072（份）
③ 可供180头牛吃的天数：9072÷（180－108）﹦126（天）
答：第三块草地可供36头牛吃126天。
1.一堆草，可供3头牛和5只羊吃15天，或者5头牛和6只羊吃10天。那么这堆草可供4头牛18只羊吃（ 7 ）天。【每头牛的食量相同，每只羊的食量也相同】
2.一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么。这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？
【解析】设1头羊一天吃的草为1份，则1头牛一天吃4份草。
① 每天新长出的草量：（120×20-36×4×15）÷（20－15）=48（份）
② 牧场原有草量：120×20-20×48=1440（份）
③ 10头牛和60只羊一起可以吃的天数：1440÷（40×4+32－48）﹦10（天）
答：可以吃10天。
3.（7分）有三片牧场，场上的草长的一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是5公顷、15公顷和24公顷。第一片牧场饲养10头牛可以维持30天，第二片牧场饲养28头牛可以维持45天。问再第三片牧场上饲养多少头牛可以维持80天？
【解析】假设1头牛1天吃1份草，每公顷草场每天长份草。


（份）
（头）
答：第三片牧场上饲养42头牛可以维持80天.
模块二：水管问题
【例1】一水池装有两个相同的进水管和一个排水管如果开1个进水管，6小时可将空池灌满；如果开1个进水管和1个排水管，12小时可将空池灌满。现在将2个进水管和1个排水管同时打开，请问：多长时间能灌满整个池子的二分之一？
【解析】题目只给了我们进水管的效率，没有给排水管的效率．那怎么求出排水管的效率呢？
详解：进水管的效率为，排水管的效率为，将2个进水管和1个排水管同时打开，小时能将灌满整个池子的一半。
【例2】日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？
解：设一根出水管放出的水量为单位“1：
① 6根出水管15分钟的出水量为： 6×15﹦90
② 7根出水管12分钟的出水量：7×12＝84
③ 一根进水管每分钟的进水量：（90－84）÷（15－12）＝2
④ 池内原有水量：90－2×15＝60 或84－2×12＝60
⑤ 出水管的跟数：（60＋2×10）÷10＝8（根）
答：这个水池装有8根出水管。
【例3】蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管。单开甲管需要10小时灌满水池，单开乙管12小时灌满水池，单开排水管需要20小时排空水池。上午8点三个管同时打开，中间排水管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：排水管在何时关闭？
从上午8点到下午2点，并不是所有的水管都一直开着．我们可以先把一直
【解析】开着的水管灌或排的水量求出来，进而求出其他水管的水量．
详解：从上午8点到下午2点共6个小时，进水管的工作量，多出来的工作量即是排水管的工作量，排水管工作了小时，因此排水管在上午10点被关闭。
1.一个水池有若干相同的进水管和若干相同的排水管，如果单独打开一个进水管，那么24小时可以将空水池灌满；如果单独打开一个排水管，那36小时可以将满池水排光。请根据题意，回答下列问题：
(1)同时打开2个进水管，多少小时可以将空水池灌满？
(2) 同时打开3 个进水管和1 个排水管，多长时间可以将空水池灌满？
(3) 同时打开1 个进水管和2 个排水管，多长时间可以将满池的水排光？
简答： 一个进水管的效率是， 一个排水管的效率是。
(1)小时
(2)小时
(3)小时．
2.一水池装有两个相同的进水管和一个排水管．如果只开1个排水管，6小时可将一池水排空；如果开1个进水管和1个排水管，3小时可以将空池灌满．现在将2个进水管和1个排水管同时打开，请问：多少时间能将空池灌满？
【解析】排水管的效率是， 进水管的效率是． 如果6开2 个进水管1 个排水管， 进水的效率是， 需要个小时将空池灌满．
3.蓄水池有一根进水管和一根排水管．如果想灌满整池水，单开进水管需10小时；如果想排空整池水，单开排水管需15 小时上午6点将两个管同时打开，中间排水管因故关闭，结果到下午6点水池被灌满．问：排水管在何时被关闭？
【解析】从上午6 点到下午6 点， 进水管一直开着， 灌进的水量为， 超过． 说明排水管一共排出的水量是．排水管开着的时间是个小时那么在上午9点就关上了．
模块三：其它类型举例
【例1】 广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？
解：设一个检票口1分钟检票人数为“1”。
① 每分钟新来的旅客：（5×30-20×6）÷（30－20）=3（人）
② 原有旅客数：5×30-3×30=60（人）
③ 要使等候的队伍10分钟消失需要的检票口数：（60+10×3）÷10=9（个）
答：需要同时开9个检票口。
【例2】春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等）
【解析】设1台抽水机1天抽1份水。
途中每天蒸发：（3×6-4×4）÷（6－4）=1（份）
养殖场原有水：3×6+6×1=18（份）
2天内把水量抽足，需要抽水机：（18+2×1）÷2=10（台）
答：需要10台抽水机.。
【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩子每分钟走16级楼梯，女孩子每分钟走12级楼梯，结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上，该扶梯共有多少级？
【解析】(1)自动扶梯每分钟走：(16×5-12×6)÷(6-5)=8(级)
自动扶梯的级数：16×5+8×5=120(级)或12×6+8×6=120(级)
答：该扶梯共有120级。
1.(8分)画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个人场口，9点5分就没有人排队，问第一个观众到达时间是8点 分。
【解析】设每分进入人数为1份
(9×3-5×5)÷(9-5)=0.5(份)
9×3-0.5×9=22.5(份)
22.5÷0.5=45(份)
9:00-0:45=8:15
2.用2台同样的抽水机抽干一个有泉水的水库需40小时，用3台这样的抽水机抽干这个水库需24小时，试问，若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机多少台？(泉水均匀地向水库渗水)
【解析】设每台抽水机每小时的抽水量为“1”。
(1)泉水每小时的渗水量：(40×2-24×3)÷(40-24)=0.5
(2)水库原有蓄水量：40×2-40×0.5=60或24×3-24×0.5=60
(3)抽水机的台数：(60+0.5×8)÷8=8(台)
答：需要这样的抽水机8台。
3.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？
【解析】自动扶梯每分钟走：(40×9-45×6)÷(9-6)=30(级)
自动扶梯共有级数：40×9-30×9=90(级)或45×6-30×6=90(级)
答：该扶梯共有90级。